ARBEITSBLÄTTER. Verknüpft mit den Lehrwerken: Lineare Funktion und Quadratische Funktion / Parabel. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

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1 Verknüpft mit den Lehrwerken: Lineare Funktion und Quadratische Funktion / Parabel ARBEITSBLÄTTER Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes 28 besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 2016 Gernot Mühlbacher 0

2 Folie 3 1. Stufe: Suche nach den zwei Lösungswegen! Gehe dabei nach dem 4-Stufen-Prinzip vor! Hilfe: Wenn du Schwierigkeiten hast, dann verfolge unsere Vorschläge auf Folie 3 und erklimme mit uns nach und nach die vier Stufen! Löse dann hier die Aufgabe als Ganzes aus dem Gedächtnis! 1. Lösungsweg: 2. Lösungsweg: 2. Stufe: 3. Stufe: 4. Stufe:

3 Folie 4 Definition: Quadratische Gleichung Beispiel: x 2 + x 1 + = 0 Suche nach einer verständlichen Definition für eine Quadratische Gleichung! Ergänze die fehlenden Stellen mit Hilfe des Textes! Nutze evtl. dein Mathe-Buch oder das Internet! Vergleiche dann mit Folie 2! Die Variable darf auch Vorzahlen (Koeffizienten) haben. Außerdem darf auch ein absolutes Glied c auftreten. allgemein: Schreibweise: Sprache: a ε R* oder a ε R 0 b,c ε R è Allgemeine Form einer gemischtquadratischen Gleichung Die Variable x tritt in erster und zweiter Potenz auf! a kann jede reelle Zahl R sein. Ausnahme: a darf nicht Null sein, denn dann hätten wir sofort nur noch eine lineare Gleichung. Für b und c können wir jede reelle Zahl R einsetzen. Sonderfälle: è Unvollständig gemischtquadratische Gleichung: Wenn c den Wert Null annimmt, dann tritt dieser Sonderfall ein. è Reinquadratische Gleichung: Wenn b den Wert Null annimmt, dann tritt dieser Sonderfall ein. a x 2 + a b x 1 + a c = 0 a = 1 a b = p a c = q Natürlich können wir die Gleichung durch die Vorzahl a des quadratischen Gliedes dividieren, so dass a den Wert 1 erhält. Zur Vereinfachung ersetzen wir die Bruchterme durch p und q. x 2 + x 1 + = 0 è Normalform (oder pq-form) der gemischtquadratischen Unser Gleichung Beispiel: x 2 + x + = 0 Unser Ziel: Für jede Form ein günstiges Lösungsverfahren!

4 Folie 5 REINQUADRATISCHE GLEICHUNG ax 2 + c = 0 Die unbekannte Variable x tritt nur in 2. Potenz auf. Schreibe durch eine Veränderung beim absoluten Glied eine reinquadratische Gleichung auf, bei der es in der Folge zu einem negativen Radikanden kommt! Was bedeutet das? Rechne nach! Folie 6 UNVOLLSTÄNDIG GEMISCHT QUADRATISCHE GLEICHUNG Wiederhole hier die bisherigen Lösungsschritte aus dem Gedächtnis! Fertige auch eine Probe! 4x 2-10x = 0 Proben: Berechne alle folgenden Übungsaufgaben! 4x 2 + 8x = 0 Unterliegt der Definitionsbereich einer Beschränkung? Gibt es Zahlen, die ich nicht einsetzen darf? 7x 2-35x = 0 Überprüfe durch eine Probe, ob x = -4 ebenfalls eine Lösung wäre! Das 20fache einer Zahl ist zweimal so groß wie deren Quadratzahl. 1

5 Folie 8 Vollständig GEMISCHT QUADRATISCHE GLEICHUNG 1x 2 + 3x - 10 = 0 Wagst du dich alleine an die Lösung? Sei mutig und probiere es! Gehe die gleichen Lösungsschritte, indem du statt der konkreten Zahlen 3 und 10 die Parameter p und q verwendest! Lösungsschritte: 1. Alle absoluten Zahlen auf die rechte Seite! 2. Quadratische Ergänzung 3. Erste binomische Formel rückwärts anwenden! 4. Auf beiden Seiten der Gleichung radizieren!! 5. Variable x isolieren und berechnen!

6 Folie 9 Löse die selbe Gleichung (vorige Folie) jetzt noch einmal mit der pq-formel! Vergiss das Überprüfen nicht! x 2 + 3x - 10 = 0 p = +3 q = -10 x 1,2 = - p 2 ± p 2 ( ) 2 - q Löse auch diese Gleichung mit der pq- Formel! Halte die angegebene Schrittfolge ein! x 2-0,75x - 2,4 = 0 Rechne mit Bruchzahlen bis zum Endergebnis! x x = 0 8 x 1,2 = Probe: Probe: Unser Ratschlag: 1. Notiere zuerst die Werte von p und q! Achte dabei sehr auf die Vorzeichen! 2. Schreibe dann immer die allgemeine Formel an den Anfang! 3. Setze die Werte von p und q in die Formel ein! Vermeide hastiges Vorgehen! 4. Rechne dann x 1 und x 2 aus! Probe:

7 Folie 10 Welche Möglichkeit fällt dir ein, diese Gleichung mit deinen Mitteln zu lösen? 2x 2 + 6x - 8 = 0 Leite die abc-formel aus dem Gedächtnis noch einmal her! Löse nun die Gleichung, indem du die pq-formel anwendest!

8 Folie 11 Löse die Gleichung noch einmal, aber jetzt mit der abc-formel! Löse diese Gleichung mit der abc-formel! 2x 2 + 6x - 8 = 0 2x 2-3x + 1 = 0 Löse diese Gleichung mit der abc-formel! -3x 2 + 0,5x + 7 = 0

9 Folie 12 Löse diese Gleichung mit der abc-formel und auch mit der pq-formel! 3x 2-18x + 27 = 0 Markiere links und rechts die Orte in den Lösungsformeln, wo sich entscheidet, dass die Gleichung nur eine Lösung hat! Kringel! An welcher Stelle in der jeweiligen Rechnung wird dies zum ersten Mal deutlich sichtbar? Kringel! 3x 2-18x + 27 = 0 Forsche nach, welche Aussagemöglichkeiten sich aus dem Wert der Diskriminante ergeben können! D = b 2 4ac D = Anzahl Lösungen: x 1 = x 2 = p 2 D = ( )- q 2 D = Anzahl Lösungen: x 1 = x 2 = D = x 1 = x 2 = D = x 1 = x 2 = Untersuche die Diskriminante in vier voran gehenden Aufgaben! (zur abc-formel/folie 9 und 12) Fülle die Tabelle aus! D = D = x 1 = x 2 = x 1 = D = D = x 1 = x 2 = x 1 = Untersuche die Diskriminante in vier voran gehenden Aufgaben! (zur pq-formel/folien 11 und 12) Fülle die Tabelle aus!

10 Folie 13 Beginne den Lösungsweg beider Gleichungen jeweils mit der passenden Lösungs-Formel bis du nicht mehr weiter kommst! -3,5x 2 + 4x - 2 = 0 x 2-4x + 5 = 0 Welche drei Wertbereiche bzw. welche drei möglichen Fälle kann die Diskriminante folglich aufzeigen? D Anzahl Lösungen: =, > oder < D 0 Folie 9-11 Lösungen =, > oder < D 0 Folie 12 Lösung Sieh dir in diesem Lösungsweg die Diskriminante D an! Was stellst du fest? Sieh dir in diesem Lösungsweg die Diskriminante D an! Was stellst du fest? =, > oder < D 0 Folie 13 Lösung Was bedeutet dies für die Lösungsmöglichkeit(en) dieser Aufgabe? Was bedeutet dies für die Lösungsmöglichkeit(en) dieser Aufgabe?

11 Folie 14 Was weißt du über François Viète oder Frtanziscus Vieta? Überprüfe mit Hilfe des Satzes des Vieta die sechs Beispiele in der Tabelle! Streiche das falsche Ergebnis! Wie müsste der x-wert der falsch gelösten Gleichung richtig lauten? Aufgabe 1 Aufgabe 2 Gleichung p q x 1 x 2 x 2 + 5x + 6 = x 2-3x + 2 = x 2-4,5x + 2 = 0 4 0,5 x 2 + 3x -10 = x x - 5 = / 2-5 / 4 x 2-0,75x - 2,4 = 0 1,97 (-1,22) Notiere die Koeffizienten p und q der jeweiligen gemischt quadratischen Gleichungen (Normalform) in der obigen Tabelle! Betrachte die gemischt quadratischen Aufgaben (Normalform)! Wenn du genau hinschaust, wirst du feststellen, dass eine Lösung nicht stimmen kann! Weitere Hilfe KLICK in der Folie Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6

12 Folie 15 A. Überprüfen des Ergebnisses Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Satzes des Vieta! Beispiel 1: Du hast die Gleichung berechnet: x 2 + 3x - 10 = 0 L ={2;-5} Probe: Beispiel 3: Welche gemischt quadratische Gleichung gehört zum Lösungspaar L ={2+ 3;2-3} Welche Werte hättest du für p und q erhalten, wenn du das Lösungspaar L sofort in Dezimalbrüche verwandelt hättest? L {3,73..;0,23..} p Beispiel 5: q Eine gemischt quadratische Gleichung (Normalform) hat nur eine Lösung. L ={3} Wie heißt die Funktionsgleichung? B. Bestimmen der Gleichung (p und q) bei bekannten Lösungen Beispiel 2: Du kennst das Lösungspaar einer quadratischen Gleichung in der Normalform: L ={3;2} Wie lautet die dazu gehörende Gleichung? Gleichung: x 2 x = C. Bestimmen fehlender Angaben Beispiel 4: Du kennst von einer gemischt quadratischen Gleichung (Normalform):q = 5 und L ={x 1 ;1} Bestimme die fehlenden Größen zur Lösung und zur Gleichung! Gleichung: x 2 + x + = 0 x 2 - x + 5 = 0 L ={ ;1} Gleichung: x 2 + x + = 0

13 Folie 16 Von der gemischt quadratischen Gleichung 2x 2-1,5x + c = 0 ist eine Lösung bekannt: x 1 = 1. Bestimme c und die zweite Lösung x 2 der Gleichung! Es gibt zwei Lösungswege. Gehe nach dem 4-Stufen-Prinzip vor! 1. Lösungsweg 2. Lösungsweg 1. Stufe 2. Stufe 3. Stufe 4. Stufe

14 Folie 17 Du siehst den Graphen einer Funktion y = x 2 + px + q (verschobene Normalparabel). Ermittle die Bestimmungsgleichung und die Funktionsgleichung! Setze die beiden Lösungen in den Klammerterm ein! x 1 x 2 (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 çè 2-5 (x - ) (x - ) = 0 çè Multipliziere den Klammerterm aus! (Klammer mal Klammer) Notiere das Lösungspaar L {x 1 ;x 2 } der Bestimmungsgleichung bzw. die Nullstellen der Funktion! L ={ ; } Zwei weitere Beispiele: (x - ) (x - ) = 0 (x - ) (x - ) = 0 Verfahre genau so wie beim obigen Rechenbeispiel und ermittle die Bestimmungs- und Funktionsgleichungen! Bestimmungsgl. Funktionsgl. Bestimmungsgl. Funktionsgl.

15 Folie 18 Eine Bestimmungsgleichung liegt in allgemeiner Form vor: ax 2 + bx + c = 0 Beispiel: 2x 2 + 6x + 4 = 0 1. Parameter a notieren! Wie zerlege ich in die Linearfaktoren? Verfahre nach dem skizzierten Lösungsvorschlag (links und rechts)! Wie heißt die entsprechende Funktionsgleichung in allgemeiner Form? 1. Streckungsfaktor a notieren! 2. Lösungen x 1 und x 2 berechnen! abc-formel: 2. Nullstellen berechnen! Überprüfe das Ergebnis durch Erstellen einer Wertetabelle und Zeichnung des Schaubildes! 3. Formel der Linearfaktoren: (Parameter a vorangestellt) Überprüfe das Ergebnis durch Ausmultiplizieren! Probe: 3. Funktionsgleichung in Linearform durch Bildung der Linearfaktoren: (Streckungsfaktor a vorangestellt) 2 (x + 1) (x + 2) = 0 Linearform y = (x + 1) (x + 2) 2 Linearform

16 Folie 19 I x 2 + px + q = 0 II ax 2 + bx + c = 0 Lies alle wichtigen Daten zu den Funktionsgleichungen aus dem Schaubild ab! Notiere sie! DIE FUNKTIONSGLEICHUNGEN DER PARABEL sind quadratische Gleichungen Nullstellen: N 1 ( / ) N 2 ( / ) Scheitel: S 1 ( / ) q = Nullstellen: N 3 ( / ) N 4 ( / ) Scheitel: S 2 ( / ) c = Ermittle zu jedem Schaubild: die Gleichung in Linearform! die Scheitelgleichung die Normalform bzw. allgemeine Form der Gleichung Zur Kontrolle zurück zur Folie 19 (Bildschirm)!

17 Folie 20 a. Wie würdest du auf diese Überraschung reagieren? Kreuze an!... dann zurück zur Folie! überrascht neugierig gefrustet angeregt d. Geh zum nächsten AB und bearbeite die Themen der Liste, indem du in überlegter b. Notiere alle Gedanken und Reihenfolge voranschreitest! Einfälle, die dir in den Sinn kommen!... dann zurück zur Folie! c. Suche Oberbegriffe, unter die du dann die Unterthemen eintragen sollst!... dann KLICK! mutlos ratlos... du kannst die 3 Parabeln auch auf dem nächsten Arbeitsblatt sehen. 16

18 Folie 21/22 Bearbeite die Themen der Liste! Ergänze den Text und zeichne in das Schaubild ein! I II III Parabel I hat Nullstellen: N I,1 ( / ) N I,2 ( / ) Parabel II hat Berührpunkt: B II (3/0) Parabel III hat... Schnitt-/ Berührpunkt mit der x-achse Scheitelpunkte ( Mittelsenkr..): S I ( / ) S II ( / ) S III ( / ) y-achsen-abschnitte: Q I ( / ) Q II ( / ) Q III ( / ) Ermittle den Streckungsfaktor a! a = (Vergleiche die Parabel II und die Normalparabel!) Von der Scheitelpunktsform... y I = a(x 2 - d) + e y I = (x ) 2 + y I = (x ) 2 y II = a(x 2 - d) + e y II = (x ) 2 + y II = (x ) 2 y III = a(x 2 - d) + e y III = (x ) 2 + y III = (x ) 2 Betrachte und ergänze bzw. streiche durch! Parabeln nach unten unten geöffnet. Parabeln senkrecht parallel.... Parabeln gestaucht gestreckt (Vergl. die Normalparabel!)... zur allgemeinen Form ( jeweils Binom ausrechnen) y I = 0,5(x 2-6x + 9) - 2 y II =... y III =... y I =... II y II =... y III =... y I =... y III =...

19 Folie 23 Parabel: Best. Gl.: Nullsetzen zur Berechnung der Nullstellen! I y I = 0,5x 2-3x + 2,5 II y II = 0,5x 2 3x + 4,5 III y III = 0,5x 2 3x + 6 I 0,5x 2-3x + 2,5 = 0 II 0,5x 2-3x + 4,5 = 0 III 0,5x 2-3x + 6 = 0 Gleichung I hat...lösung(en). Die Parabel I hatte...nullstellen. Erkläre den Begriff Diskriminante! L I = L II = L III = Gleichung II hat...lösung(en). Parabel II hatte... Berührpunkt mit der x-achse. Gleichung III hat... Lösung(en). Parabel III hatte... Schnittoder Berührpunkt mit der x-achse.