Wohltemperiert in guter Stimmung

Transkript

1 Wohltemperiert in guter Stimmung Plauderei zu Mathematik und Musik Johannes Huber, Markus Mayrock Lehrstuhl für Informationsübertragung Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

2 Tonleiter C Dur 7 Töne in einer Oktave 5 Ganzton, Halbtonschritte Halbtöne in einer Oktave Konsonanz? Dissonanz? Weshalb ist das so und nicht ganz anders? Hat das was mit Mathematik zu tun? Johannes Huber, Markus Mayrock

3 Ton: akustische Welle periodische Schwankungen von Luftdruck und Luftteilchen Luftdruckschwankung (-Gleichdruck) p(t) T t Periodendauer: T Kammerton a Tonhöhe: Frequenz f = /T f = 44 Hz T =,7 s Klangfarbe: Kurvenform Versuch: Aufnahme von Tönen, Zeitbereichsdarstellung Johannes Huber, Markus Mayrock 3

4 Fourieranalyse periodischer Funktionen: Fourier Reihe (Joseph Fourier ) Eine periodische Funktion mit der Frequenz f kann als Summe von Cosinus Schwingungen mit den Frequenzen: f : Grundschwingung f :. Oberschwingung 3f : 3. Oberschwingung 4f : 4. Oberschwingung usw. dargestellt werden: p( t) Ci cos(π ( if) t + ϕi ) = i= Johannes Huber, Markus Mayrock 4

5 Beispiel: periodische Rechteckfunktion p(t) t T = Bild einfügen Fortlaufende Verbesserung der Approximation t [ms] Johannes Huber, Markus Mayrock 5

6 Beispiel: periodische Rechteckfunktion p(t) t T = Bild einfügen Fortlaufende Verbesserung der Approximation t [ms] Johannes Huber, Markus Mayrock 6

7 Beispiel: periodische Rechteckfunktion p(t) t T = Bild einfügen Fortlaufende Verbesserung der Approximation t [ms] Johannes Huber, Markus Mayrock 7

8 Beispiel: periodische Rechteckfunktion p(t) t T = Bild einfügen Fortlaufende Verbesserung der Approximation t [ms] Johannes Huber, Markus Mayrock 8

9 Beispiel: periodische Rechteckfunktion p(t) t T = Bild einfügen Fortlaufende Verbesserung der Approximation t [ms] Johannes Huber, Markus Mayrock 9

10 Begründung für die Fourier Analyse von Tönen: a) Unser Gehörsinn macht das so! Bis ca. 5 Schwingungen/Sekunde: zeitliche Wahrnehmung ab ca. 5 Schwingungen/Sekunde: spektrale Wahrnehmung als Ton Gehörsinn: Kurzzeit Spektralanalysator Versuch: zeitliche/spektrale Auflösung b) Die Überlagerung von Cosinus Schwingungen gleicher Frequenz ergibt wieder Cosinus Schwingungen, z.b. Überlagerung von Echos + n i= C h ( τ ) x( t τ ) dτ i cos(π f( t τi )) = C cos(π f( t + γ )) Damit ist die Cosinus Funktion Eigenfunktion der Faltungsoperation und damit Eigenfunktion aller linearen, zeitinvarianten, dispersiven Systeme (LTI Systeme) Johannes Huber, Markus Mayrock

11 (Betrags ) Spektrum eines Tones: Darstellung der Spektralanteile (hier: Fourierkoeffizienten) über der Frequenz X ( f Ci ) f f 3f 4f 5f f Ein einzelner Ton besteht bereits aus vielen Cosinus Schwingungen, deren Frequenzen Vielfache der Grundfrequenz sind! Versuch: Spektraldarstellung eines Tones Johannes Huber, Markus Mayrock

12 Wahrnehmung zweier Cosinus Schwingungen X ( f ) f f f +f ( ( f ) ) ( ( ) ) f f + f Additionstheorem: cos(π f t) + cos(π f t) = cos π t cos π t f f f Johannes Huber, Markus Mayrock

13 Wahrnehmung zweier Cosinus Schwingungen f f Für f f < 5 Hz ist anstatt von zwei Tönen ein Ton bei der Mittenfrequenz hörbar, der sich in der Lautstärke mit der Differenzfrequenz verändert. Schwebung Dissonanz Dissonanz: Eng benachbarte Spektralkomponenten, die zu einer zeitlich modulierten Wahrnehmung führen. Versuch: Wahrnehmung zweier Cosinus Schwingungen, Schwebung Johannes Huber, Markus Mayrock 3

14 Konsonanz zweier Töne Vermeidung von eng benachbarten Spektralkomponenten durch Koinzidenz der Oberschwingungen X ( f ) X ( f ) f f = f Oktave f f X ( f ) X ( f ) X 3 ( f ) Schwebung f 3 = 3/ f Quinte unreine Quinte X 4 ( f ) f f 3 f f 4 = 4/3 f Quarte Versuch: Stimmen eines Cellos (reine Quinten) Johannes Huber, Markus Mayrock 4

15 Die natürlichen musikalischen Intervalle: Frequenzverhältnisse innerhalb eines einzigen Tones X ( f ) f : :3 3:4 4:5 5:6 6:7 f Oktave Quinte Quarte große Terz kleine Terz??? oder: Schwingungsmoden einer schwingenden Saite, bzw. einer schwingenden Luftsäule im Rohr : :3 3:4 4:5 Oktave Quinte Quarte große Terz Flageolett Töne, bzw. Naturtöne beim Blasinstrument Versuch: Flageolett Töne, Naturtöne Johannes Huber, Markus Mayrock 5

16 Tonhöhenempfindung Oktave: Frequenzverdopplung; Oktaven: Frequenzvervierfachung Tonhöhe ~ log (Frequenz) Intervall ~ log (Frequenz /Frequenz ) (allg. Weber Fechnersches Gesetz der logarithmischen Wahrnehmung) Intervalle addieren Frequenzverhältnisse multiplizieren Beispiel: Quinte + Quarte = Oktave 3/ 4/3 = 4/ = große Terz + kleine Terz = Quinte 5/4 6/5 = 3/ Aber: Fourier Analyse f, f, 3 f, 4 f Addition der Grundfrequenz Widerspruch zur log. Wahrnehmung Ursache grundlegender Stimmungsprobleme!! Johannes Huber, Markus Mayrock 6

17 Saitenlänge bzw. Rohrlänge l und Schwingungsfrequenz f sind indirekt proportional c f = l Intervalle: Verhältnis der Saitenlängen = l c: Schallgeschwindigkeit f l f Oktave / : : Quinte : 3 3 : Quarte 3 : 4 4 : 3 Verhältnis der Schwingungsfrequenz Arithmetische Mittel zweier Größen a und b: m A = Harmonisches Mittel zweier Größen a und b: m H = a + b / (/a + /b) Dem arithmetischen Mittel zweier Frequenzen entspricht das harmonische Mittel der Längen und umgekehrt. Johannes Huber, Markus Mayrock 7

18 Johannes Huber, Markus Mayrock 8 Das Stimmungssystem der Pythagoreer Philolaos (ca. 45 v. Chr.) Harmonie: Frequenzverhältnis soll ein Bruch mit kleinem Zähler und Nenner sein! Oktave: Halbierung der Saitenlänge Verdopplung der Frequenz 4 3 / l l l l = + = 3 4 ) ( f f f f = + = Quarte: Arithmetisches Mittel der Oktave Harmonisches Mittel der Oktave 3 f f f f = + = / 3 ) ( l l l l = + = Quinte: Harmonisches Mittel der Oktave Arithmetisches Mittel der Oktave

19 Aus Mathematik in den Geisteswissenschaften von Knut Radbruch Johannes Huber, Markus Mayrock 9

20 Das Stimmungssystem des Philolaos (ca. 45 v. Chr.) Quinte: arithmetisches Mittel der Oktave 3 : Quarte: harmonisches Mittel der Oktave 4 : 3 Definition: zwischen Quinte und Quarte sei ein Ganzton 9 : 8 C D E F G A H c d e c Oktave ( : ) = 5 Ganztöne (9 : 8) + Halbtöne (56 : 43) Quinte (3 : ) = 3 Ganztöne + Halbton Quarte (4 : 3) = Ganztöne + Halbton Johannes Huber, Markus Mayrock

21 Eigenschaften: Pro: alle Quarten und Quinten stimmen exakt! Kontra: zu kleine Halbtöne 56/43, zwei Halbtöne ergeben keinen Ganzton die große Terz ist zu groß Das System des Philolaos widerspricht zum Teil der natürlichen Harmonie! Versuch: Quinte, große Terz im Stimmungssystem des Philolaos = = große Terz wird zur Dissonanz 56 < und 5 Oberschwingungen verfehlen sich um Faktor 8/8: Schwebung! 8/8: Syntonisches Komma 9 8! Johannes Huber, Markus Mayrock

22 Nun Danket Alle Gott in C Dur Johannes Huber, Markus Mayrock

23 Das Stimmungssystem des Philolaos (ca. 45 v. Chr.) Quinte: arithmetisches Mittel der Oktave 3 : Quarte: harmonisches Mittel der Oktave 4 : 3 Definition: zwischen Quinte und Quarte sei der Ganzton 9 : 8 eis =,7774 C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H c cis d dis e f fis c f = =, Johannes Huber, Markus Mayrock 3

24 3 / Die Quintenspirale (nach außen) his 3 / 9 3 / 7 eis c F /3 g 3/ ais d 9/8 B 6/ dis Wolfsquinte gis Es 3/7 cis As 8/8 8 Des 56/43 Halbton! Ges 4/79 fis 79/5 h 43/8 3 Wolfsquinte: = =, =, (3/ ) 3 a 7/6 E 8/64 Das fundamentale Problem der pythagoreischen Stimmung : Quinten = 7 Oktaven Pythagoreisches Komma: : = 5 79 =, Johannes Huber, Markus Mayrock 4 9

25 Quinten ergeben mehr als 7 Oktaven Quinten 7 Oktaven Das pythagoreische Komma 3 = 7 9, = = 3,34 % Fehler Da die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen eindeutig ist, gilt: : 3 l m 5 n für alle l, m, n, IN,343 Quinten, Oktaven und Terzen können nie zusammenkommen! 7 Annähernde Aufteilung der Oktave in Halbtöne, da für l =, m = 9 der Fehler relativ klein ist: Musikalische Stimmungssysteme erfordern immer faule Kompromisse! 5 Jahre Geschichte der temperierten Stimmung Versuch: Wolfsquinte, Choral in C und As Johannes Huber, Markus Mayrock 5 = 3 9 =

26 Johannes Huber, Markus Mayrock 6

27 Das Stimmungssystem des Archytas (ca v. Chr.) auch nach Didymos (. vorchr. Jahrhundert) benannt Quarte und Quinte, Ganztondefinition wie bei Philolaos, aber große und kleine Terz als arithmetisches und harmonisches Mittel aus der Quinte große Terz: kleine Terz: f + f f = = f f 3 3/ 5 4 f vereinbar mit Obertonreihe 6 = = f vereinbar mit Obertonreihe ( + ) 5 f c d e f g a h c diatonische oder auch reine Stimmung Johannes Huber, Markus Mayrock 7

28 Das Stimmungssystem des Archytas wiederentdeckt durch Gioseffo Zarlino (57-59) Pro: alle Intervalle sind bezüglich des Kriteriums kleine Zähler und Nenner so harmonisch wie möglich. Dur Dreiklänge auf der., 4., 5. Stufe sind rein (, 5/4, 3/) Moll Dreiklänge auf der 3. und 6. Stufe sind rein (, 6/5, 3/) Kontra: Ganztonintervalle unterschiedlich 3 9/8; /9!Synt. K.!! 6 9 zwei Halbtöne ergeben keinen Ganzton > 5 8 > 9 Moll - Dreiklang auf der. Stufe ist grob unrein!!synt. K.!! 3 4 (, =,85 =,!, =,48 =,5 ) 7 7 auch die reine Stimmung ist problembehaftet keine Halbtöne vorhanden, kein Tonartwechsel möglich Subdominante in Moll ist grob unsauber Versuch: große Terz, Dreiklang, Kadenz, d moll Akkord Johannes Huber, Markus Mayrock 8

29 Nun Danket Alle Gott in C Dur Johannes Huber, Markus Mayrock 9

30 Die mitteltönige Stimmung Gioseffo Zarlino (539), Michael Praetorius (69) Verkleinerte, unreine Quinten zugunsten reiner großer Terzen Fehler der großen Terz beim System des Philolaos: 8/8 syntonisches Komma 4 reine Quinten = große Terz mit Fehler + Oktaven Verminderung der Quinte um ein Viertel des syntonischen Kommas Quinte: qm 8 = 3/ 8 def = Aber: mitteltönige Quinten ergeben wiederum nicht 7 Oktaven 3 / 4, < 8 8 / 4,5 = reine große Terzen 5 < 8 Versuch: Terz, Quinte, Dreiklang = 7 Johannes Huber, Markus Mayrock 3

31 Die mitteltönige Quintenspirale (nach innen) / q m F c = qm g q m / qm B ais eis his d q m / 3 / qm Es dis 9 q m / 3 a 3 q m / Wolfsquinte: gis 8 q m cis /6 7 q m /6 e 4 q m / 4 = 5/ 4 Wolfsquinte fis /8 3 8/ qm 8 = =, = 8 q /6 q m m 6 q m 3 h 5 q m / 4 +,337 Versuch: Wolfsquinte, Choral Johannes Huber, Markus Mayrock 3

32 Nun Danket Alle Gott in C Dur Johannes Huber, Markus Mayrock 3

33 Johannes Huber, Markus Mayrock 33

34 Subsemitonische Instrumente Tasteninstrumente mit Unterteilung der Halbtonschritte, z.b. doppelte schwarze Tasten Cis Dis Fis Gis B C D E F G A H C Italienisches Cembalo mit gebrochenen Obertasten Rekonstruktion des Cembalo universale Gebräuchlich ca (Gottfried Fritzsche: Orgel für die kurfürstliche Schloßkapelle Dresden, 6) Johannes Huber, Markus Mayrock 34

35 Das Stimmungssystem von Euler (7 783) (Tentamen novae theoriae musicae, 739) Eindeutige Definition von Halbtönen zum diatonischen System des Archytas: Jedem Ton wird eine ganze Zahl, bestehend nur aus den Primfaktoren, 3, 5, zugeordnet: Z i = αi 3 βi 5 γi α i, β i, γ i, IN Ziel: rationale Verhältnisse mit relativ kleinem Zähler und Nenner, Vermeidung einer Koinzidenz beim 7.,., 3. usw. Oberton Des Es Ges As B C Cis D Dis E F Fis G Gis A Ais H C Gradus Funktion einer rationale Zahl mit G (m) = + (α ) + 3 (β ) + 5 (γ ) mit m = α 3 β 5 γ z n : G KGV( z, n) GGT( z, n) Versuch: Dreiklänge in verschiedenen Tonarten, Choral Mathematisch höchst ästhetisch, aber musikalisch furchtbar! Johannes Huber, Markus Mayrock 35

36 Nun Danket Alle Gott in Es Dur Johannes Huber, Markus Mayrock 36

37 q /3 Die gleichschwebende Stimmung (Gioseffo Zarlino: Sopplimenti musicali, 588) Zwangsweise, gleichmäßige Schließung des Quintenzirkels Def.: gleiche Quinten ergeben 7 Oktaven 3 q = 7 q = 7 =,4983 = q q /64 /8 eis his Halbton: g q c p = =,59463 ais d q / ( ), 7 dis q 9 /3 gis q 8 /6 cis q 7 /6 fis q 6 /8 h q 5 /4 a q 3 / e q 4 /4 Die Halbtöne bilden bzgl. Multiplikation und Reduktion um Oktaven math. eine Gruppe! Mathematisch höchst ästhetisch!!!gruppenzwang!! C Cis D Es E F Fis G Gis A B H C p p p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p p p Johannes Huber, Markus Mayrock 37

38 Die gleichschwebende Stimmung + Vorteile: Fehler (pyth. Komma) geometrisch gleichmäßig verteilt keine Wölfe gleiche Stimmungsverhältnisse für allen Tonarten Nachteile: kein Intervall (außer Oktave) ist rein (= Deckung von Obertönen) alle Frequenz (bzw. Längen ) verhältnisse sind irrational Tonarten verlieren ihre Eigenarten, ihre Charaktereigenschaften Approximationsprobleme der alten Meister Definition der Tonhöhe in Cent (Hundertster Teil eines Halbtons) log Cent Bezug f C = f C Cis D Es E F Fis G Gis A B H C p p p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p p p Johannes Huber, Markus Mayrock 38

39 Versuch: Vergleich: gleichschwebende, reine, Philolaos (Quinten) Stimmung Es gibt unüberschaubar viele weitere Vorschläge für Stimmungssysteme in der Musikgeschichte, z.b.: Werckmeister I bis VII Silbermann I bis V Kirnberger I und II Neidhardt I bis III Malcolm, Huygens, Kepler, Mattheson.???Bach??? Johannes Huber, Markus Mayrock 39

40 , Einige Stimmungssysteme im Vergleich + 3 Differenz zur gleichschwebenden Stimmung in Cent (Oktave c, Halbton c) Philolaos -3 3,7 3,9-5,87 7,8 -,96,7,96 5,6 5,87-3,9 9,78,3 mitteltönig -4-6,8-3,7 3,4 -,5-3,4-7,4 -,3 6,8-7, Werckmeister III Silbermann II Bach Archytas 3, Euler c cis d es e f fis g gis a h b c Johannes Huber, Markus Mayrock 4

41 Approximation der gleichschwebenden Stimmung Vincenzo Galilei (ca. 5 59), Schüler von Zarlino, Vater von Galileo Galilei Halbton 8/7 =,588; zu nur,6 % Fehler! Problem: Die Oktave wird deutlich verfehlt (8/7) =,98556 Die Laute des Daniel Strähle (743) 7 4 Teile f f x = x 48 x {,,... } x Fehler (in Cent) zur gleichschwebenden Stimmung C Cis D Es E F Fis G Gis A B H C +,37 +,93 +,85 +,3 +,46 -,5 -,46 -, -,6 -,5 -,69 Johannes Huber, Markus Mayrock 4

42 Das iterative Verfahren des Christoph Gottlieb Schröter (754) Iteration (Mitglied der Societät der Musicalischen Wissenschaften, gemeinsam mit Händel, Telemann, Bach usw.), , usw Fehler in Cent (4) (4) Reihe p p p 3 mit p = nach wenigen Iterationen sehr gut angenähert!. Iteration 3,8 5, 5, 3,8,96,9,96 3,35 4, 3,8, Iteration,3,6,7,7,6,3,65,,4,4, Iteration <, Cent Johannes Huber, Markus Mayrock 4

43 Johannes Huber, Markus Mayrock 43 Das iterative Verfahren des Christoph Gottlieb Schröter (754) (Mitglied der Societät der Musikalischen Wissenschaften, gemeinsam mit Händel, Telemann, Bach usw.) Mathematischer Hintergrund: T i i i i x x x x x...) (,,, = = = r r r r r mit oder A A Dominierender Eigenwert Mit Eigenvektor n max + = λ n T n p p p p p c e )...,,, ( = = r = O M M M M M M M M L L L L A

44 Wie stimmte Bach sein Klavier (Clavichord) in weniger als 5 min?? Leider nicht überliefert. (Kontroverse der Bach Schüler Kirnberger und Marpurg) Johannes Huber, Markus Mayrock 44

45 Girlande auf dem Titelblatt zu Bachs Wohltemperierten Klavier, Teil, von 7 Bei der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker Vereinigung 999 stellte Andreas Sparschuh die (gewagte) These auf: Johannes Huber, Markus Mayrock 45

46 Girlande auf dem Titelblatt zu Bachs Wohltemperierten Klavier, Teil, von 7 Johannes Huber, Markus Mayrock 46

47 Isenheimer Altar Matthias Grünwald (Mathis Gothart Nithardt ) Engelskonzert Johannes Huber, Markus Mayrock 47

48 Bildquellen: Archytas: Gioseffo Zarlino: Italienisches Cembalo mit gebrochenen Obertasten Urheber: Alexander Kerschhofer Rekonstruktion des Cembalo universale : Urheber: Wikiwal Die Laute des Daniel Strähle: Aus G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues: Mathematik und Musik, Seite 58, Fig. 3.3 Girlande auf dem Titelblatt zu Bachs wohltemperierten Klavier: Titelblatt zu Bachs wohltemperierten Klavier: Isenheimer Altar: isenheimer-altar-zweite-schauseite-mittelbild.html Johannes Huber, Markus Mayrock 48

49 Literaturverzeichnis G. Assayag, H.G. Feichtinger, J.F. Rodrigues: Mathematik und Musik A Diderot Mathematical Forum; Springer-Verlag Berlin Heidelberg ; Mark Lindley: Stimmung und Temperatur; Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie; Bd. 6, 987, S. 9-33, Darmstadt 987 S. 9-33; Knut Radbruch: Mathematik in den Geisteswissenschaften; Vandenhoeck u. Ruprecht, Göttingen, 989, (Kleine Vandenhoeck-Reihe: 54); Ambros P. Speiser: Musikalische Akustik; VCH Verlagsgesellschaft mbh, Weinheim; Physik in unserer Zeit,. Jahrgang 989, Nr. 5, S.38-43; E. Zwicker, R. Feldtkeller: Das Ohr als Nachrichtenempfänger; S. Hirzel Verlag Stuttgart 967,. Auflage Johannes Huber, Markus Mayrock 49

50 Vielen herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Herzlichen Dank an Frau Susi Koschny für die Unterstützung bei der Erstellung der Präsentation! Johannes Huber, Markus Mayrock 5