Klausur zur Analysis I WS 01/02

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1 Klausur zur Analysis I WS 0/0 Prof. Dr. E. Kuwert. Februar 00 Aufgabe (4 Punkte) Berechnen Sie unter a) und b) jeweils die Ableitung von f für x (0, ): a) f(x) = e sin x b) f(x) = x α log x a) f (x) = e sin x cos( x) b) f(x) = x α log x x (Kettenregel) f (x) = αx α log x x α x = x α (α log x + ). (Produktregel) Aufgabe (6 Punkte) Beantworten Sie für (i), (ii) und (iii) jeweils die folgenden zwei Fragen. Antwort eine kurze Begründung. Geben Sie für jede a) Ist die Folge (a n ) n N beschränkt? b) Ist die Folge (a n ) n N konvergent? (i) a n = n + 3n 7. 3n + 5 (ii) a n = n sin ( π + n π ) n + cos(n π) (iii) a n = en n (i) a n = n + 3n 7 3n + 5 (wobei e = exp()). (mit n ). a) nein, denn a n = n /n n 3 + 5/n 8. b) nein, denn a n ist nicht beschränkt. (ii) a n = n sin ( π + n π ) n + cos(n π) a) ja, denn a k = b) nein, siehe bei a). (iii) a n = e n /n + /k, a k+ = /(k + ).

2 a) nein, denn mit x = e > 0 folgt e n /n = ( + x) n /n ( ) n x /n = n x. Alternativ kann der Satz aus der Vorlesung über das Wachstum der Exponentialfunktion zitiert werden. b) nein, denn a n ist nicht beschränkt. Aufgabe 3 (3 Punkte) Leiten Sie eine Formel her, die cos(3α) durch cos α und sin α ausdrückt. Entweder mit der Eulerschen Formel: cos(3α) = Re (e i3α ) (Eulersche Formel) Alternativ mit den Additionstheoremen: cos(3α) = cos(α + α) = Re (e iα ) 3 (Funktionalgleichung) = Re (cos(α) + i sin(α)) 3 (Eulersche Formel) = cos 3 α 3 sin α cos α. = cos(α) cos(α) sin(α) sin(α) (Additionstheorem) = (cos α sin α) cos α sin α cos α sin α (Additionstheoreme) = cos 3 α 3 sin α cos α. Aufgabe 4 (7 Punkte) Betrachten Sie die Funktion cot : (0, π) R, cot(t) = cos t sin t. Begründen Sie die Existenz und Differenzierbarkeit der zugehörigen Umkehrfunktion arccot : R (0, π), und zeigen Sie die Formel arccot (x) = + x. cot (t) = sin t cos t sin = cot t oder cot t = t sin t. cot < 0 cot(t) ist streng monoton fallend, also injektiv t 0 cos t, sin t 0 f(t) + t π cos t, sin t 0 f(t) Zwischenwertsatz f : (0, π) R surjektiv, also umkehrbar Umkehrfunktion differenzierbar, da cot (t) 0 (Satz Vorlesung). arccot (x) = cot (arccotx) = + cot (arccotx) = + x..

3 Aufgabe 5 (3 Punkte) Welche Aussagen sind wahr, welche falsch? a) Die Dezimal-Darstellung einer rationalen Zahl ist eindeutig bestimmt. b) Eine Dezimal-Darstellung einer irrationalen Zahl ist nicht endlich. c) Die Menge der Zahlen, die eine endliche Dezimal-Darstellung erlauben, ist abzählbar. wahr kurze Begründung, bei falsch Gegenbeispiel ohne Begründung. a) nein, denn zum Beispiel, 0 = 0, ist rational. b) ja, denn ein endlicher Dezimalbruch ist eine endliche Summe von Potenzen von 0, also rational. c) ja, denn die endlichen Dezimalzahlen sind Teilmenge von Q, und Q ist abzählbar. Alternativ: Es gibt nur endlich viele Zahlen mit genau n Stellen. Zähle nacheinander die die Zahlen mit einer Stelle, mit zwei Stellen, usw. Bei Aufgabe 6 (4 Punkte) Berechnen Sie die Ableitung (falls existent) der Funktion { x cos f(x) = x x 0 0 x = 0 in allen Punkten x 0 R. x 0 f (x) = x cos ( x + x sin ) ( x ) x x 0 = 0 = xcos x + sin x. f(x) f(0) x 0 = x cos 0 mit x 0, x da cos x. Also gilt f (0) = 0. Aufgabe 7 (3 Punkte) Zeigen Sie anhand der Definition der Stetigkeit (ε δ Kriterium), dass die Funktion im Punkt x 0 = 0 stetig ist (wobei f(0) = 0). f : [0, ) R, f(x) = x Sei ε > 0 gegeben. Wähle δ := ε und schliesse, da die Wurzelfunktion monoton wachend ist, x = x 0 < δ x 0 δ = ε. 3

4 Aufgabe 8 (4 Punkte) Sei f : [, ] R differenzierbar und f (0) = 0. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? a) f (0) 0 f hat im Nullpunkt ein lokales Maximum. b) f (0) > 0 f(0) = min x [,] f(x). c) f(0) = min x (,) f(x) f (0) 0. Bei wahr kurze Begründung, bei falsch Gegenbeispiel ohne Begründung. a) falsch, denn f(x) = x 3 hat f (x) = 3x, also f (0) = 0. Es gilt x 3 > 0 für x > 0, also hat f in x = 0 kein lokales Maximum. b) falsch, denn f(x) = x x 4 hat f (x) = x 8x 3, also f (0) = > 0. Trotzdem gilt f() = < 0 = f(0). c) wahr, denn wäre f (0) < 0, so hat f nach Vorlesung in x = 0 ein isoliertes, lokales Maximum, im Widerspruch zur Voraussetzung. Aufgabe 9 (6 Punkte) Skizzieren Sie die folgenden zwei Funktionen mit Angabe von mindestens 3 Funktionswerten: a) f(x) = e x / (x R) b) f(x) = sin x (x > 0). siehe Vorlesung. Aufgabe 0 (5 Punkte) Berechnen Sie für die Funktion f : [0, ] R, f(x) = x das Integral S(f) = anhand der Definition, also mit geeigneten Riemannschen Summen. Unterteilung 0 = x 0 <... < x N = mit x k = k/n für k = 0,,..., N. Stützstellen ξ k = k/n für k =,..., N. Dann gilt x k = /N und es ergibt sich für die 0 f 4

5 zugehörige Riemannsche Summe S D (f) = = f(ξ k ) x k k= k= = N = k N N k k= N(N ) / mit N. N Da f stetig auf dem kompakten Intervall [0, ], ist f Riemannintegrierbar und es folgt 0 f = lim N S D(f) = /. Aufgabe (6 Punkte) Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge x n+ = + x n für n 0, Startwert x 0 = konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. Wir wollen das Konvergenzkriterium der Monotonie und Beschränktheit verwenden. Es gilt x n = f(x n ) für n mit der Funktion f : [, ) R, f(x) = + x. f ist monoton wachsend, denn f (x) = / + x 0 (Alternative: Satz aus Vorlesung über Monotonie der Wurzelfunktion zitieren). Induktion liefert x n : das ist wahr für n = 0, und induktiv gilt x n+ = f(x n ) [f(), f()] [, ]. Weiter gilt, auch per Induktion, x n x n für alle n. Denn x = = x 0, und induktiv folgt für n x n x n f(x n ) f(x n ) x n+ x n. Somit ist (x n ) monoton wachsend und nach oben beschränkt, also konvergent (Satz Vorlesung). Setze lim n x n =: ξ. Dann gilt ξ, und aus x n+ = f(x n ) folgt mit n, da f stetig in ξ ist, ξ = lim x n+ = lim f(x n) = f(ξ) = + ξ. n n Es folgt ξ = ( + 5). 5