Statistik I. 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt

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1 Statistik I 1. Klausur Wintersemester 2010/2011 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Art der Anmeldung: STiNE FlexNow Zulassung unter Vorbehalt Unterschrift der/des Studierenden: Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 90 Note

2 Klausur Statistik I Aufgabe 1 Hamburg, Aufgabe 1 (18 Punkte): Aufgabe 1.1 (9 Punkte): Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie: Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1, 5 Punkte (a) Die relative Häufigkeit einer aufgetretenen Merkmalsausprägung x i (i {1,..., n}) kann Null sein. (b) Bei einem Histogramm ist die Summe aller Rechtecksflächen gleich Eins. (c) Für Extremereignisse kann die empirische Verteilungsfunktion F Werte größer als Eins annehmen. (d) Hat man für einen Datensatz das dritte und das vierte nicht-zentrierte empirische Moment gegeben (also m 3 und m 4 ) so lässt sich daraus immer das zweite zentrierte empirische Moment ( M 2 ) bestimmen. (e) Für die Varianz s 2 eines Datensatzes gilt: s 2 0. (f) Für die Wölbung γ 2 eines Datensatzes gilt (mit M 2 0): γ 2 0. Aussage (a) (b) (c) (d) (e) (f) wahr falsch Aufgabe 1.2 (9 Punkte): Ein verhältnisskaliertes Merkmal X wurde an n = 120 Personen ermittelt. Dabei ergab sich nachfolgende absolute Häufigkeitstabelle: x i n i h i α i Man fülle die letzten beiden Zeilen sowie die letzte Spalte der Tabelle aus, also die relative Häufigkeit h i und den Winkel α i, der für die Zeichnung eines Kreisdiagramms benötigt wird. Hinweise: Genauigkeit: 3 Nachkommastellen. Ein Rechenweg ist nicht nötig. Es soll kein Diagramm erstellt werden. -2-

3 Klausur Statistik I Aufgabe 1 Hamburg, x i n i h i 0,075 0,225 0,125 0,125 0,05 0,275 0,025 0,1 1 α i

4 Klausur Statistik I Aufgabe 2 Hamburg, Aufgabe 2 (18 Punkte): Aufgabe 2.1 (9 Punkte): Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie: Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1, 5 Punkte (a) Der Modus eines Datensatzes kommt immer in den Daten vor und ist somit immer exakt ein Wert des Datensatzes. (b) Für eine gerade Anzahl an Merkmalsausprägungen (n gerade) kann der Median niemals ein Wert des Datensatzes sein. (c) Das geometrische Mittel x Geo kann keine negativen Werte annehmen. (d) Das harmonische Mittel ist immer echt größer als Null. (e) Das 50%-Quantil ist identisch mit dem Median. (f) Der Interquartilsabstand kann nicht negativ sein. Aussage (a) (b) (c) (d) (e) (f) wahr falsch Aufgabe 2.2 (9 Punkte): Für n = 8 Personen ist in nachfolgender Tabelle das Jahreseinkommen x i (in Tausend EUR) gegeben. i x i Man gebe in einer Tabelle die Werte u j und v j an, die nötig sind um eine Lorenzkurve zu zeichnen (Hinweis: Die zugehörige Lorenzkurve soll nicht gezeichnet werden). Außerdem berechne man den Gini-Koeffizienten G sowie den korrigierten Gini-Koeffizienten G (Genauigkeit: 4 Nachkommastellen). i u i 0 0,125 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1 v i 0 0,076 0,164 0,264 0,374 0,504 0,660 0,820 1 G = 0,1595 G = 0,

5 Klausur Statistik I Aufgabe 3 Hamburg, Aufgabe 3 (18 Punkte): Aufgabe 3.1 (9 Punkte): Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie: Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1, 5 Punkte (a) Für eine gegebene Kontingenztabelle kann der χ 2 -Koeffizient nur approximativ berechnet werden. (b) Für den χ 2 -Koeffizienten gilt: χ 2 0. (c) Die Kovarianz s x,y kann Werte kleiner als Null annehmen. (d) Der Korrelationskoeffizient r x,y von Bravais-Pearson ist normiert. (e) Für den Korrelationskoeffizienten r Sp x,y von Spearman gilt: r Sp x,y = r 2 x,y (f) Sind in einem bivariaten Datensatz alle Merkmalsausprägungen positiv, so folgt daraus, dass die Regressionsgerade eine positive Steigung besitzt. Aufgabe 3.2 (6 Punkte): Aussage (a) (b) (c) (d) (e) (f) wahr falsch Gegeben sei nachfolgende Kontingenztabelle. n i,j x 1 x 2 x 3 x 4 y y y Man trage in nachfolgende Tabelle die Werte ein, die bei statistischer Unabhängigkeit vorliegen müssten (Genauigkeit: 2 Nachkommastellen). Die Berechnung von ñ 2;3 gebe man explizit an (auf die restlichen expliziten Berechnungsangaben kann verzichtet werden). ñ i,j x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3-5-

6 Klausur Statistik I Aufgabe 3 Hamburg, ñ i,j x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 4,96 10,54 7,13 8,37 31 y 2 5,92 12,58 8,51 9,99 37 y 3 5,12 10,88 7,36 8, Aufgabe 3.3 (3 Punkte): Für einen bivariaten Datensatz, bei dem die Merkmale X und Y erhoben wurden ist bekannt, dass das Merkmal X nur in 4 verschiedenen Ausprägungen vorkommt, während das Merkmal Y mit 12 verschiedenen Ausprägungen im Datensatz vorhanden ist. Für den bivariaten Datensatz wurden n = 200 Personen (bzgl. Merkmal X und Merkmal Y ) befragt. Man berechne die obere Schranke des χ 2 -Koeffizienten. Die obere Schranke ist

7 Klausur Statistik I Aufgabe 4 Hamburg, Aufgabe 4 (18 Punkte): Aufgabe 4.1 (9 Punkte): Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind. Beachten Sie: Richtig gesetztes Kreuz = +1, 5 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 1, 5 Punkte (a) Sei Ω := {5; 7; 12}. Dann ist A := {Ω, {5; 7}, {12}} eine σ-algebra. (b) Die Verteilungsfunktion F X einer Zufallsvariablen X ist streng monoton steigend. (c) Die Dichtefunktion f X einer stetigen Zufallsvariablen X kann Werte größer als Eins annehmen. (d) Der Erwartungswert einer Konstanten c R kann nicht berechnet werden. (e) Für eine Zufallsvariable X sei E[X] und E[X 2 ] gegeben. Mit diesen Angaben kann die Varianz V ar(x) der Zufallsvariablen ermittelt werden. (f) Aus der Unabhängigkeit dreier Ereignisse A, B und C aus demselben Ereignissystem folgt sofort die paarweise Unabhängigkeit dieser drei Ereignisse. Aussage (a) (b) (c) (d) (e) (f) wahr falsch Aufgabe 4.2 (9 Punkte): Eine diskrete Zufallsvariable X besitze nachfolgende Wahrscheinlichkeitsfunktion: { a 2 (1+x) für x {0; 1; 2} P (X = x) = Dabei ist a R eine geeignet zu wählende Konstante. (a) Man bestimme a R. (b) Man berechne P (X > 1) und P (1 < X 4). (c) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (X = 2 X 2)? (a) a = 0,625 (b) P (X > 1) = 0,5; P (1 < X 4) = 0,5 (c) P (X = 2 X 2) = 1-7-

8 Klausur Statistik I Aufgabe 5 Hamburg, Aufgabe 5 (18 Punkte): Aufgabe 5.1 (9 Punkte): Kreuzen Sie an, welche der nachfolgenden Funktionen die Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, einer Dichtefunktion bzw. einer Verteilungsfunktion erfüllt. Richtig gesetztes Kreuz = +3 Punkte Falsch gesetztes Kreuz = 3 Punkte (a) (b) (c) 1 für x {1; 2} 4 1 g : R R, x g(x) := für x = 3 2 g : R R, x g(x) := g : R R, x g(x) := { x für x [0; 1] { 1 für x [0; 1] Funktionstyp (a) (b) (c) Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtefunktion Verteilungsfunktion keine der genannten Funktionstypen Aufgabe 5.2 (9 Punkte): Die Zufallsvariable X besitze nachfolgende Verteilungsfunktion: 0 für x < 0 F X (x) = x für 0 x 1 1 für x > 1 (a) Man berechne das 20%- sowie das 70%-Quantil der Zufallsvariablen. (b) Man gebe die Dichtefunktion (in expliziter Form) der Zufallsvariablen X an. (c) Man berechne E[X]. -8-

9 Klausur Statistik I Aufgabe 5 Hamburg, (a) z 0,2 = 0,04; z 0,7 = 0,49 (b) f X (x) = { 1 2 x für 0 x 1 (c) E[X] =