Dass die Rotation eines konservativen Kraftfeldes null ist, folgt direkt aus der Identität C 1 C 2 C 2 C 1

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1 I.1 Grundbegriffe der newtonschen Mechanik 11 I.1.3 c Konservative Kräfte Definition: Ein zeitunabhängiges Kraftfeld F ( r) wird konservativ genannt, wenn es ein Skalarfeld (3) V ( r) gibt, das F ( r) = V ( r) (I.10) erfüllt. V ( r) wird als Potential oder auch potentielle Energie bezeichnet. In Gl. (I.10) bezeichnet der Nabla-Operator, angewan auf eine skalare Funktion auf R 3, den Gradienten dieser Funktion. Für konservative Kraftfelder hängt die durch die Kraft zwischen zwei Punkten verrichtete Arbeit nicht vom Weg ab. Beweis: Das Resultat folgt aus W = r2 r 1 F ( x) d x = r2 r 1 [ V ( x) ] d x = [ V ( r2 ) V ( r 1 ) ] (I.11) unter Verwendung der Tatsache, dass V ( r) eine Stammfunktion von V ( r) ist. Bemerkung: Offensichtlich ist V ( r) nur bis auf eine additive Konstante eindeutig. Die Letztere wird oft so gewählt, dass das Potential im Unendlichen verschwindet. Behauptung: Sei ein Kraftfeld F ( r), definiert auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet G von R 3. (4) Dann ist F ( r) genau dann konservativ, wenn seine Rotation in jedem Punkt von G verschwindet: F ( r) = V ( r) F ( r) = 0 r G. (I.12) Dass die Rotation eines konservativen Kraftfeldes null ist, folgt direkt aus der Identität [ V ( r) ] = 0, die sich z.b. komponentenweise beweisen lässt: die i-te Komponente (in einem kartesischen Koordinatensystem) des Terms auf der linken Seite ist ɛ ijk j k V ( r), mit ɛ ijk dem Levi-Civita-Symbol und l die Ableitung nach dem Komponenten x l des Ortsvektors. Dabei ist ɛ ijk antisymmetrisch unter dem Austausch von j und k, während die zweite Ableitung j k symmetrisch ist, so dass die Summe über alle Werte dieser Indizes Null ergibt. Zum Beweis, dass ein rotationsfreies Kraftfeld F ( r) sich als (das Negative des) Gradienten eines skalaren Potentials V ( r) schreiben lässt, soll man zunächst einen beliebigen Punkt r 0 in G wählen und V durch r V ( r) = F ( r ) d r r 0 für jeden r G definieren. Das Integral auf der rechten Seite der obigen Formel ist eindeutig definiert, wenn Wegintegrale F d x von r0 nach r unabhängig vom gewählten Weg sind. Betrachte man zwei unterschiedliche Wege C 1, C 2 in G, die von r 0 nach r führen. Dann definiert C 1 C 2 C 2 r r 0 C 1 C 1 C 2 (3) D.h. eine zahlenwertige Funktion des Ortsvektors r. (4) Ein Gebiet wird als einfach zusammenhängend bezeichnet, wenn sich jeder geschlossene Weg im Gebiet stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt, ohne das Gebiet zu verlassen. Zum Beispiel ist eine Ebene (R 2 ) einfach zusammenhängend, während R 2 ohne einen Punkt nicht mehr einfach zusammenhängend ist.

2 12 Newtonsche Mechanik C 2 trivial einen Weg C 2 (mit gleicher Kurve und umgekehrter Parametrisierung) von r nach r 0, und somit einen geschlossenen Weg C 1 C 2 mit Anfangs- und Endpunkt in r 0. Aus dem Satz von Stokes folgt für das Wegintegral der Kraft entlang C 1 C 2 F ( r ) d r [ = F ( r ) ] d 2 S = 0, C 1 C 2 S wobei S die durch die Kurve C 1 C 2 abgeschlossene Fläche bezeichnet, während die letzte Gleichung aus der Annahme F = 0 folgt, die in jedem Punkt von S gilt (dank der Annahme eines einfach zusammenhängenden Gebiets). Andererseits gilt F ( r ) d r = C 1 C 2 F ( r ) d r C 1 F ( r ) d r, C 2 woraus die gesuchte Unabhängigkeit des Wegintegrals vom Weg folgt. I.2 Newtonsche Gesetze Basierend auf den in Abschn. I.1 eingeführten Begriffen, insbesondere auf der Existenz absoluter Raum und Zeit, können die dynamischen Gesetze, welche die Wirkung von Kräften auf mechanische Systeme bestimmen, angegeben werden. Dabei besagen diese Gesetze aber nichts über die mathematische Form der Kräfte: diese hängen von der Situation ab und sollen durch zusätzliche Theorien oder Modelle präzisiert werden. I.2.1 Erstes newtonsches Gesetz Das erste newtonsche Gesetz das auch erstes Axiom, lex prima oder Trägheitsgesetz genannt wird besagt die Existenz von bevorzugten Bezugssystemen, in denen der Bewegungszustand eines Körpers sich nicht ändert, so lange keine Kraft auf ihn ausgeübt wird: Erstes newtonsches Gesetz Es gibt besondere Bezugssysteme, sog. Inertialsysteme, in denen ein Massenpunkt, der keiner Kraft unterliegt, in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung beharrt. (I.13) Anders gesagt bleibt in Inertialsystemen die Geschwindigkeit x(t) eines kräftefreien Massenpunktes konstant, d.h. seine Beschleunigung x(t) verschwindet. Eigentlich wurde dieses Prinzip schon durch Galilei (b) formuliert, weshalb es auch seinen Namen trägt. Dazu ist der obige Ausdruck des Gesetzes in der Tat nicht die ursprüngliche Formulierung, denn es gab bei Newton keinen Bezug auf Inertialsysteme. Das Gesetz setzt die Existenz eines kräftefreien Zustands implizit voraus. In der Praxis ist dies eine Idealisierung, denn kein Körper kann von der (anziehenden) Schwerkraft der anderen Körper im Universum isoliert werden. Was aber praktisch realisierbar ist zumindest in sehr guter Näherung, ist dass die Resultierende der auf ein System wirkenden Kräfte verschwindet, was sich dann als äquivalent zur Abwesenheit von Kräfte herausstellt. Auf Inertialsysteme wird in Abschn. I.3 genauer eingegangen; als solches gilt für Experimente auf der Erde ein Bezugssystem, das sich relativ zu Fixsternen, oder besser weit entfernten Galaxien oder Quasars, nicht bewegt. (b) G. Galilei,

3 I.2 Newtonsche Gesetze 13 I.2.2 Zweites newtonsches Gesetz Das zweite newtonsche Gesetz auch zweites Axiom, lex secunda oder Bewegungsgesetz genannt beschreibt die Änderung der Bewegung eines Körpers mit Impuls p(t) unter dem Einfluss einer Gesamtkraft F : Zweites newtonsches Gesetz In Inertialsystemen gilt d p(t) p(t) = F. (I.14a) In dieser Bewegungsgleichung kann der Impuls p(t) durch die Masse m und die Geschwindigkeit v(t) des Körpers ausgedrückt werden. Wenn die Masse in der Bewegung konstant bleibt, so kann sie aus der Zeitableitung herausgezogen werden. Dann wird Gl. (I.14a) zu m d2 x(t) 2 = m d v(t) = m a(t) = F. (I.14b) Das heißt, die Beschleunigung des Körpers ist proportional zur Kraft, welche die Bewegung beeinflusst, und antiproportional zur Masse m. Das erste Gesetz ist ein Spezialfall des zweiten mit F = 0. Die Masse m in der Bewegungsgleichung (I.14b) ist die sog. träge Masse des Massenpunktes, die ein Maß für die Trägheit des letzteren gegenüber Änderungen seines Bewegungszustands darstellt. Bei der trägen Masse handelt es sich um eine universale Eigenschaft des Körpers, welche die gleiche bleibt, egal welchen Kräften er unterliegt. Im zweiten Gesetz wird implizit vorausgesetzt, dass die Kraft F auf einen Körper möglicherweise von seiner Position x und seiner Geschwindigkeit x abhängen kann, sowie von der Zeit t, nicht aber von höheren Ableitungen. Dank der letzteren Bemerkung stellt die vektorielle Bewegungsgleichung (I.14b) ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar. Wenn die mathematische Form der Kraft F = F ( t, x(t), x(t) ) sowie Anfangsbedingungen x(t 0 ), x(t 0 ) gegeben sind, mit t 0 irgend eine Referenzzeit, dann hat dieses System eine eindeutige Lösung x(t). Physikalisch bedeutet diese Eindeutigkeit der Lösung, dass die Kenntnis des Bewegungszustands ( x(t 0 ), x(t 0 ) ) zu einem beliebigen gegebenen Zeitpunkt ausreicht, um den Bewegungszustand ( x(t), x(t) ) zu irgendeinem anderen Zeitpunkt t vollständig festzustellen. Dementsprechend ist die newtonsche Mechanik völlig deterministisch. Beispiel: Massenpunkt im homogenen Schwerefeld mit Luftreibung Betrachtet sei die Bewegung eines Massenpunktes mit Masse m unter dem Einfluss der Schwerkraft und einer Reibungskraft. Die Resultierende der auf ihn wirkenden Kraft lautet F = F S + F R, (I.15a) wobei das Superpositionsprinzip für Kräfte (I.20) benutzt wurde. Dabei ist die Schwerkraft F S = m S g, (I.15b) wobei die Schwerebeschleunigung g prinzipiell nach unten gerichtet ist (5) obwohl das im Folgenden keine Rolle spielt, während m S die schwere Masse des Körpers bezeichnet. Experimentell ist die letztere proportional zur trägen Masse, m S m, wie sich im berühmten Ergebnis im Vakuum fallen alle Körper gleich widerspiegelt. Mit der Wahl m S = m gilt g 9, 8 m s 2 auf der Erdoberfläche. (5) Definitionsgemäß definiert die lokale Richtung der Schwerebeschleunigung die sog. Vertikale in einem Punkt.

4 14 Newtonsche Mechanik Hier werden zwei Annahmen gemacht, und zwar dass träge und schwere Masse erstens die gleiche Dimension M haben, und sich somit mit der gleichen Einheit quantifizieren lassen, und zweitens denselben numerischen Wert haben, was wiederum den Wert der Schwerkraftbeschleunigung g festlegt. Für die Reibungskraft wird die Form der Stokesschen (c) Reibung F R = α R v angenommen, mit α R einer positiven Konstanten. Unter diesen Voraussetzungen lautet die Bewegungsgleichung (I.14b) (I.15c) m d2 x(t) 2 = m g α R v(t), d.h., mit α R /m d v(t) + v(t) = g. (I.16) Somit ergibt sich eine lineare inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung. Ihre Lösung erfolgt wie üblich. Zuerst wird die allgemeine Lösung v h der assoziierten homogenen Differentialgleichung gesucht, und zwar d v h (t) + v h (t) = 0 v h (t) = C e t mit C R 3 beliebig. Zweitens ist eine spezielle Lösung v s der homogenen Differentialgleichung gebraucht: d v s (t) + v s (t) = g. Zum Beispiel kann die stationäre Lösung v s (t) = 1 g genommen werden. Mit deren Hilfe kann als dritter Schritt die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung als Summe aus v h (t) und v s (t) geschrieben werden: v(t) = v h (t) + v s (t) = C e t + 1 g. Dabei soll noch die Integrationskonstante C festgestellt werden, was unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (hier bei t = t 0 ) erfolgt. Aus der letzteren Gleichung folgt was schließlich zur Lösung v 0 v(t=t 0 ) = C e t g C = v 0 e t 0 et 0 g, v(t) = v 0 e (t t 0 ) + 1 e (t t 0 ) g (I.17) führt. Physikalisch findet man, dass der Einfluss der Anfangsgeschwindigkeit v 0 wegen der Reibungs- (c) G. G. Stokes,

5 I.2 Newtonsche Gesetze 15 kraft auf einer Zeitskala τ R γ 1 R exponentiell klein wird. Dies führt zu einem stationären Endzustand, der unabhängig von der Anfangsbedingung ist. Wenn nötig kann man auch die Bahnkurve des Massenpunktes über x(t) = x 0 + t t 0 v(t ) bestimmen, wobei x 0 x(t=t 0 ) die Anfangsbedingung bei t = t 0 bezeichnet, und zwar x(t) = x e (t t 0 ) v 0 + (t t 0 ) + e γr(t t0) 1 g. γ 2 R (I.18) I.2.3 Drittes newtonsches Gesetz Das dritte newtonsche Gesetz auch bekannt als drittes Axiom, lex tertia, Reaktionsprinzip oder actio und reactio verknüpft diejenigen Kräfte, welche zwei Körper aufeinander ausüben: Drittes Newton sches Gesetz Die von zwei Massenpunkten aufeinander ausgeübten Kräfte haben den gleichen Betrag aber entgegengesetzte Richtungen. (I.19a) Wenn die zwei Körper jeweils durch 1 und 2 gekennzeichnet werden, mit F 2 1 bzw. F 1 2 der auf den ersten durch den zweiten bzw. auf 2 durch 1 ausgeübten Kraft, dann gilt F 2 1 = F 1 2. (I.19b) Wie in der Bemerkung in I.5.1 a weiter diskutiert wird, schließt dieses Gesetz implizit die Existenz von Drei-Körper-Kräften aus. Laut dem dritten Gesetz ist die Reaktion von Körper 2 auf Körper 1 instantan, wenn Körper 1 eine Kraft auf Körper 2 ausübt. Dies wird in der Relativitätstheorie nicht mehr möglich sein, wenn die Körper sich nicht berühren. I.2.4 Viertes Newton sches Gesetz Als viertes newtonsches Gesetz, oder lex quarta, wird oft das Superpositionsprinzip für Kräfte hinzugefügt, das in I.1.3 schon dargelegt wurde: Viertes Newton sches Gesetz Wirken auf einen Massenpunkt mehrere Kräfte F 1,..., F k, so addieren sich diese vektoriell. (I.20a) Das heißt, die resultierende Kraft auf den Massenpunkt ist F = k F k. i=1 (I.20b) Es ist dann diese resultierende Kraft, die in der mathematischen Formulierung des zweiten Gesetzes (I.14) auftritt.