Einführung in die Informatik I

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1 Einführung in die Informatik I Arithmetische und bitweise Operatoren im Binärsystem Prof. Dr. Nikolaus Wulff

2 Operationen mit Binärzahlen Beim Rechnen mit Binärzahlen gibt es die ganz normalen arithmetischen Grundoperationen: Addition z = x + y Subtraktion z = x - y Multiplikation z = x y Division z = x : y hinzukommen spezielle bitweise Operationen: AND / UND / z = x y OR / ODER / z = x y NOT / NICHT / XOR (exklusiv ODER) / z=x= z z=x y Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 2

3 Schnelle Multiplikation mit 2 Multiplikation mit 2 lässt sich binär als Verschiebung der Koeffizienten nach Links ausführen: 2 x=2 j=0 n 1 a j 2 j = j=0 n 1 a j 2 j 1 = n j=1 a j 1 2 j die letzte Stelle wird hierzu mit einer Null aufgefüllt. Beispiel: 5*2 = = = Dieses Prinzip gilt auch für höhere Potenzen von 2: 2 k x=2 k j=0 n 1 a j 2 j = n 1 j=0 a j 2 j k = j=k n k 1 a j k 2 j Beispiel: 5*4 = = = Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 3

4 Schnelle Division durch 2 Die Division mit 2 ist dann eine Verschiebung der Koeffizient um eine Stelle nach Rechts: x/2=2 1 j=0 die führende Stelle wird mit einer Null aufgefüllt. Beispiel: bzw. Dieses Prinzip gilt auch für höhere Potenzen von 2: x/2 k =2 k j=0 n 1 a j 2 j = j=0 n 1 a j 2 j 1 = j=0 5/2 = : = = 2 10 n 1 1 a j 1 2 j 5/2 = : = = n 1 a j 2 j = j=0 n 1 a j 2 j k = j=0 n 1 k a j k 2 j Beispiel: 20/4 = : = = 5 10 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 4

5 Binäre Multiplikation Multiplikation lässt sich binär als Verschiebung und Addition mit Überlauf durchführen: x y= j=0 n 1 x j 2 j n 1 yk k=0 2 k = x j,k j y k 2 j k Beispiel: 12*6 = 12*( ) 3.75*5 = (3+½+¼)*( ) 12*6 = = *5 = = Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 5

6 Binäre Division Der Algorithmus zur Division z=x:y ist aufwändiger: 0. Finde die höchste Potenz k, so dass y*2 k <=x 1. Subtrahiere y*2 k von x. Nehme das Ergebnis als neues x und wiederhole 0. bis x=0. 2. Die Summe der bei 1. ermittelten Potenzen ergibt die gesuchte Zahl z. 27/3 = :11 2 = ( ):( ) = ( ) = 9 -( ) -( ) =0 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 6

7 Über und Unterlauf Wird mit einer festen Stellenanzahl gerechnet, so kann es zu einem Überlauf kommen und das Ergebnis ist nicht mehr korrekt. Beispiel 4-Bit: 6*3 = = = 0010 = 2 10? 6*3 = 18 mod 16 = 2 (mod 16 wg. 2 4 ) Ähnliches passiert bei ganzzahliger Division, wenn Bits der Nachkommastellen abgeschnitten werden. Wird mit vorzeichenbehafteten Zahlen gerechnet so kann das Ergebniss zweier positiven Multiplikatoren negativ werden: Beispiel 4-Bit: 4*2 = = = Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 7

8 Boolsche Algebra Die Menge B={0,1} versehen mit den Operationen UND und ODER bildet die Boolesche Algebra: x AND y = z 0 AND 0 = 0 0 AND 1 = 0 1 AND 0 = 0 1 AND 1 = 1 x OR y = z 0 OR 0 = 0 0 OR 1 = 1 1 OR 0 = 1 1 OR 1 = 1 Diese Operationen angewandt auf Binärzahlen erfolgen bit/stellenweise ohne Überlauf. 12 AND 6 = OR 6 = x, y B n 0100 = = Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 8

9 XOR und NOT Die exklusiv Oder Operation hat die Vorschrift x XOR y = z 0 XOR 0 = 0 0 XOR 1 = 1 1 XOR 0 = 1 1 XOR 1 = 0 12 XOR 6 = = während die NOT Operation der Vertauschung von 0 und 1, d. h. dem Komplement entspricht = NOT = NOT = = 3 10 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 9

10 Rechenregeln Es gelten für x, y, z B={0,1} das Kommutativgesetz: x y= y x x y= y x das Assoziativgesetz: x y z = x y z x y z = x y z und das Distributivgesetz: x y z = x y x z x y z = x y x z Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 10

11 Neutrale Elemente Ferner gibt es für die boolschen Operatoren UND und OR neutrale Elemente: x 1=1 x=x x 0=0 x=x und es gelten die Absorptionsgesetze: x x y =x x x y =x und das Komplement erfüllt den Satz vom ausgeschlossenen Dritten : x x=0 x x=1 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 11

12 De Morgansche Gesetze Ferner gelten die de Morganschen Gesetze x y=x y x y=x y mit deren Hilfe können gemischte Terme in reine UND oder ODER Ausdrücke umgeformt werden: x y z =x y z =x y z x y z =x y z =x y z Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 12

13 Boolesche Ausdrücke Formeln gebildet aus Booleschen Variablen sind Funktionen f mit Werten aus dem Wahrheitsraum {0,1}: f :{0,1} m {0,1} x 1,, x m y= f x 1,, x m Hierbei ist m die Anzahl der Variablen und als Ergebnis liefert f(x 1,, x m ) einen Wahrheitswert. Formeln mit m Variablen lassen sich mit Hilfe von Wahrheitstabellen auswerten. Es gibt 2 m mögliche Eingangsbelegungen in einer solchen Tabelle. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 13

14 Wahrheitstabelle Berechnung der Funktion f: {0,1} 3 {0,1} z= f a, b,c = a b c a b c a b z Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 14

15 Schaltungen Boolesche Ausdrücke werden auch als Schaltungen mit Hilfe von digitalen Bausteinen z.b. 74xx-Serie realisiert. z= a b c a b c & 1 z a b c z Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 15

16 Vollbitaddierer Mit Hilfe der Boolschen Algebra soll ein Vollbitaddierer entwickelt werden: 12+6 = Übertragsbit: x=(...x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 ) y=(...y 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 ) ü=(...ü 5 ü 4 ü 3 ü 2 ü 1 ü 0 ) z=(...z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0 ) Werden die Variablen x,y,z als binäre n-tupel aus B n aufgefasst, d.h. x=(x n-1 x n-2...x 0 ) etc., so muss eine Stelle des Addierwerks das Tripel (x k,y k,ü k ) auf das Tupel (ü k+1,z k ) abbilden. k Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 16

17 Wahrheitstabelle des Addierers Die Abbildung sei per Wahrheitstabelle spezifiziert: B 3 B 2 x k, y k,ü k ü k 1, z k Ablesen liefert: z k = (x k XOR y k AND NOT ü k ) OR { NOT(x k XOR y k ) AND ü k } z k = x k y k ü k x k y k ü k = x k y k ü k ü k+1 = (x k AND y k ) OR { ü k AND (x k OR y k ) } x k y k ü k ü k+1 z k Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 17

18 Volladdierer Übertragsfunktion Aus der Tabelle lassen sich die Funktionen für das Additions- und des Übertragsbit ablesen und dann auch als Schaltung realisieren: ü k 1 = x k y k ü k x k y k = x k y k ü k x k ü k y k & x k ü k & 1 ü k+1 y k & Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 18

19 NAND und NOR Mit Hilfe der de Morganschen Regeln lassen sich alle booleschen Ausdrücke in reine AND oder OR Verknüpfungen umwandeln zusätzlich wird lediglich die NOT Operation benötigt. Schaltungstechnisch werden statt AND und OR die Operationen Nicht Und = NAND und Nicht Oder = NOR verwendet. Sowohl mit NAND als auch mit NOR lässt sich ein NOT realisieren. x NAND y = z 0 NAND 0 = 1 0 NAND 1 = 1 1 NAND 0 = 1 1 NAND 1 = 0 x NOR y = z 0 NOR 0 = 1 0 NOR 1 = 0 1 NOR 0 = 0 1 NOR 1 = 0 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 19

20 Schaltungen per NAND AND und NOT per NAND x y & & z=x y=x y OR per NAND x & & z=x y=x y=x y y & Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 20

21 Schaltung per NOR AND und NOT per NOR x 1 1 z=x y=x y= x y y 1 Sowohl mit NAND als auch mit NOR Gattern lassen sich alle Schaltungen realisieren. Werden nur UND Gatter verwendet spricht man von der konjunktiven und bei nur ODER Gattern von der disjunktiven Normalform. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 21

22 Zusammenfassung Mit Binärzahlen lässt sich per Verschiebeoperation sehr schnell multiplizieren und dividieren für 2 k. Bei endlicher Mantisse muss mit Überlauf und Vorzeichenwechsel gerechnet werden. Die Menge B={0, 1} versehen mit den zwei bitweisen Operatoren AND und OR bildet die Boolsche Algebra. Mit Hilfe der de Morganschen Regeln lassen sich OR und AND ineinander überführen, Funktionen definieren, kürzen und umwandeln, um sie mit NAND und oder NOR Schaltgattern zu realisieren. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 22