c ) Wie verhält sich die Enthalpieänderung, wenn das Wasser in einer Düse beschleunigt wird?

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1 Aufgabe 4 An einer Drosselstelle wird ein kontinuierlich fließender Strom von Wasser von p 8 bar auf p 2 2 bar entspannt. Die Geschwindigkeiten vor und nach der Drosselung sollen gleich sein. Beim des Drosselvorgang soll weder Arbeit noch Wärme zu- oder abgeführt werden. Wasser kann näherungsweise als inkompressibel ρ H2 O const m 3 angenommen werden. a Wie groß ist die Änderung der spezifischen Enthalpie h i? b Wie ändert sich die spezifische innere Energie u i des Wassers bei der Drosselung? c Wie verhält sich die Enthalpieänderung, wenn das Wasser in einer Düse beschleunigt wird? Gegeben: p 8 bar 8 5 Pa p 2 2 bar 2 5 Pa ρ H2 O m 3 a gesucht: 2 h i. Hauptsatz allgemeine Form offenes System Energiebilanz für das Gesamtsystem: de Q i dτ i, stat. Betrieb + j Ẇ t,j } {{ } + k ṁ k h tot,k e ṁ e h tot,e a ṁ a h tot,a ṁh e h a + g z e z a + 2 c2 e c 2 a ṁh e h a h e h a isenthalpe Drossel Eine adiabate Drossel bei der die Strömungsgeschwindigkeit nach der Drossel der Strömungsgeschwindigkeit vor der Drossel entspricht, ist immer ein isenthalper Vorgang.

2 b gesucht: 2 u i h u + pv dh du + dpv Produktregel anwenden dh du + p dv + v dp, inkompr. 2 u v 2 p v p 2 p v p p 2 ρ H2 O p p 2 m Pa c gesucht: 2 h i. Hauptsatz allgemeine Form/offenes System Energiebilanz für das Gesamtsystem de Q i + Ẇ t,j + ṁ h h 2 + g z z 2 + dτ 2 c2 c2 2 i j ṁ h h c2 c2 2 2 h 2 c2 c2 2 2

3 Aufgabe 5 Ein wärmeisolierter, anfangs vollständig evakuierter Druckbehälter füllt sich nach dem Öffnen des Ventils mit Luft aus der Umgebung bis hin zum völligen Druckausgleich. Wie hoch ist die Temperatur der Luft im Behälter unmittelbar nach dem Einströmvorgang, wenn die Temperatur der Luft in der Umgebung 3 K beträgt? Hinweis: Die Luft soll als perfektes Gas mit der spezifischen Wärmekapazität c v, 74 k K der Gaskonstanten R L, 287 k K und der spezifischen Enthalpie der Umgebungsluft h U betrachtet werden, wobei Sie h U mit dem Ansatz h u + pv aus den gegebenen Größen ermitteln können.. Betrachtungsweise: System I umschließt V Behälter + V Blase Die Blase geschlossenes System enthält die Gasmenge, die sich am Ende des Einströmvorgangs im Behälter befindet, d.h. m m 2. Annahmen: - wärmeisolierter Behälter Q B W - T außerhalb des Behälters Q U W - vollständig evakuierter Behälter p Pa - ideales Gas: p V m R T - Prozess: irreversibles Einströmen. Hauptsatz geschlossenes System I : de kin dτ + de pot + du } dτ {{} U 2 U W 2 dτ i Q i, isoliert + j Ẇ j 3

4 W 2 2 pv dv, da die Zustandsänderung nicht über Gleichgewichtszustände erfolgt Kopplung mit Umgebung U W 2,I W 2,U W 2,U 2 w 2,U W 2,U m Blase p u V dv p U V 2 V U > p U V Blase m Blase R T U R T U w 2,I R T U >, d.h. am System I wird Arbeit verrichtet. du m c v dt Integration ideales Gas 2 2 du m c v dt U 2 U m Blase c v T 2 T mit. HS U 2 - U W 2 m Blase c v T 2 T m Blase R T U mit T T U T 2 R + cv 287 K 74 K T U + 3 K 42,59 K t 2 47,44 C 4

5 2. Betrachtungsweise:. Hauptsatz für offenes System instationär!: de kin dτ + de pot + du } dτ {{} dτ Integration Q i i, adiabat + j Ẇ j, k. V orr. + k ṁ k h tot,k U 2 U m ein h tot,ein, evakuiert mit U m c v T c v T 2 m ein m ein h U h tot,ein h + c2 2 + gz h U T 2 h U c v Berechnung von h U : h u + pv ut + RT ideales Gas: h c p T u c v T h u + pv u + R T c v T + R T h c v + R T U, 74 k k K +, 287 K 3, 3 k 3 K T 2 h U cv 3,3 k,74 k K 42,59 K 5

6 Aufgabe 6 Eine sehr gut isolierte Gasflasche sei vollkommen evakuiert. Nach dem Öffnen des Ventils strömt die Luftmenge m aus der Umgebung in die Flasche. Der Druck in der Umgebung soll p U bar betragen und das spezifische Volumen soll bei v U,86 m3 liegen. Die spezifische Enthalpie der Luft in der Umgebung sei h U 3 k. Gegeben: m p U bar 5 Pa v U,86 m3 h U 3 3 Zustand Zustand 2 a Welche Arbeit W 2 leistet die Umgebung während des Einströmens der Luft? Da der Druck in der Gasflasche nicht konstant bleibt, muss über die Umgebung die Volumenänderungsarbeit berechnet werden. W 2 W B W B p dv p U V B p U m v U 5 Pa,86 m3 W b Wie groß ist die innere Energie U 2 der Luft im Behälter nach dem Einströmen? Die Änderung der inneren Energie wird über das Einströmen der Masse berechnet.. Hauptsatz offenes System depot dτ + de kin dτ + du dτ Q i + i j Ẇ j + ṁ k h tot,k k U 2 U ṁ h + c2 + g z 2 h U Wir betrachten dabei nur den Zustrom, da der Anfangszustand beträgt. U 2 m ein h U

7 Aufgabe 7 In einem Dampfkessel werden stündlich ṁ 5 h Wasser verdampft und der Dampf in einer wärmeisolierten abiabaten Turbine entspannt. Die spezifische Enthalpie des Wassers beträgt am Kesseleintritt h a 28 k, die des Dampfes am Kesselaustritt und Turbineneintritt h b 35 k und am Turbinenaustritt h c 235 k. Gegeben: ṁ 5 h h a 28 k h b 35 k h c 235 k a gesucht: Q K. Hauptsatz allgemeine Form/offenes System Energiebilanz für System Kessel de dτ i Q i + j Ẇ t,j + ṁ k h tot,k k Q K + ṁ h a h b + g z a z b + 2 c2 a c 2 }{{ b } Q K ṁh b h a h 36 s h 8, W 83,94 MW b gesucht: P T. Hauptsatz allgemeine Form/offenes System Energiebilanz für System Turbine de dτ Q i + Ẇ t,j + ṁ k h tot,k i j k -P T + ṁ h b h c + g z b z c + 2 c2 b c 2 }{{ c } 7

8 P T ṁh b h c 5 h 36 s h , W 22, 22 MW Die Turbine gibt eine Leistung von 22,22 MW ab. c gesucht: η η Aufgabe 8 Nutzen Aufwand P T Q K 22,22 MW 83,94 MW,265 26,5 % Durch die adiabate Turbine eines Wasserkraftwerkes fließt ein Volumenstrom von 8 m3 s Wasser bei einer Fallhöhe von m. Die Wellenleistung der Turbine beträgt 7 kw. Geschwindigkeits- und Dichteunterschiede seien zu vernachlässigen. ρ W ; c m 3 W 4, 9 k K ; g 9,8 m. s 2 a Wie groß ist die Temperaturerhöhung des Wassers in der Turbine? b Wie groß ist der Wirkungsgrad der Turbine? m T P T m 2 Gegeben: V 8 m 3 s z m P T -7 kw ρ W m 3 c W 4, 9 k K g 9,8 m s 2 a Wie groß ist die Temperaturerhöhung des Wassers in der Turbine: 8

9 . Hauptsatz offenes System: stat. adiabat de dτ Q i + Ẇ j + i j k ṁ k h tot,k h tot h + c22 + gz P T + ṁ ṁ ṁ 2 ṁ Annahme aus der Vorlesung: h + gz + c2 2 ṁ 2 h 2 + gz 2 + c2 2 2 Gleiche Höhe der Wassersäule über Rohrein- und Austritt hydrostat. Druck: p p 2 c c 2 siehe Angabe v v 2 v siehe Angabe h u + pv h h 2 u u 2 + p v p 2 v 2 c W T T 2 P T + ṁ c W T T 2 + g z T T T 2 P Ṫm g z c W 2 T T 2 T P Ṫ m + g z c W wobei ṁ ρ V 2 T g z c W P T ρ V c W 9,8 m s 2 m 49 K,253 K 7 6 W 8 m3 s m 3 49 K b Wie groß ist der Wirkungsgrad der Turbine: Wirkungsgrad Nutzen η T η T 89, 2 % Aufwand P T E pot,in P T ṁ g z 8 m3 s 7 6 W 9, 8 m m m 3 s 2, 892 9

10 Der Begriff Wirkungsgrad wird oft in der Technik benutzt, z.b. für die Bewertung eines Prozesses oder einer Anlage anhand der Güte der Energieumwandlung thermischer Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine: η T P Q Nutzleistung Strom reiner Energie zugeführter Wärmestrom Aufgabe 9 Gegeben sei ein stationär arbeitender Luftkompressor. Die Luft am Eintritt habe die Geschwindigkeit c 6 m s, eine Temperatur von T 29 K, einen Druck p bar und eine spezifische Enthalpie von h 29,6 k. Die Querschnittsfläche am Eintritt betrage A, m 2. Am Austritt habe die Luft eine Geschwindigkeit von c 2 2 m s und eine spezifische Enthalpie von h 2 45,8 k. Der Kompressor gibt einen Wärmestrom von 3 kw ab. Berechnen Sie die vom Kompressor benötigte Leistung! Die Luft soll als perfektes Gas mit R L,287 k K betrachtet werden. Gegeben: c 6 m s c 2 2 m s T 29 K p bar 5 Pa h 29, 6 3 h 2 45, 8 3 A, m 2 Q ab 3 W

11 gesucht: Ẇ t.hauptsatz geschlossenes System: stat. de dτ i Q i + j Ẇ j + k ṁ k h tot,k Q ab + Ẇt + ṁ h + c2 2 + gz ṁ h 2 + c gz 2 Ẇ t Q ab ṁ 3 W, 729 s 9,54 kw Q ab + Ẇt + ṁ h h 2 + c 2 c Luft perfektes Gas p ρ R T ρ p R T h h c 2 c 2 2 ṁ ρ c A p R T c A 5 Pa 6 m, m s 2 287, 729 K 29 K s 29, , m2 s 2 4 m2 s 2