1.8 Der Wert zum Zeitpunkt t der long Position eines zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen

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1 1 Einführung 1.4 Berechnung des Erfüllungspreises eines Forwards mit Hilfe des NAP 1.6 Sichere Wertgleichheit zweier Portfolios zum Zeitpunkt T liefert Wertgleichheit zum Zeitpunkt Preisbestimmung eines Forwards bei einer Ausschüttung in Form von Anlageanteilen 1.8 Der Wert zum Zeitpunkt t der long Position eines zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen Forwards 1.9 Preisbildung bei Forwards auf Devisen 1.12 Put-Call-Parität 1.13 Gleichheit der Preise eines europäischen und amerikanischen Calls auf Finanzgüter ohne Ertrag In dieser Vorlesung werden die Prinzipien der Derivatebewertung dargestellt. Die Bewertung der Derivate beruht auf dem Prinzip der Arbitragefreiheit. Wir werden daher zunächst die Begriffe Derivat und Arbitragefreiheit näher erläutern. Die Bewertung der Derivate ist dann besonders einfach, wenn eine Absicherungsstrategie existiert. Ein erstes, einfaches Beispiel einer Absicherungsstrategie stellen wir nach 1.5 vor. Derivate sind Finanzinstrumente deren Wert von einem anderem Gut, dem Basisgut, abhängt. Als Basisgüter kommen in Frage (1) Aktien; (2) Indizes wie z. B. der DAX (= Deutscher Aktienindex), in dem die 30 führenden deutschen Unternehmen zusammengefasst sind, oder der Dow Jones oder Euro Stoxx 50; (3) Renten, das sind festverzinsliche Anleihen des Staates oder von Firmen; (4) Devisen; (5) Waren (engl. commodities) wie z. B. Edelmetalle, Erdöl, Getreide. Derivate oder derivative Instrumente sind in die Zukunft reichende Kontrakte, die meistens über Basisgüter abgeschlossen werden. Die wichtigsten solcher Kontrakte sind Optionen und Futures. Der Handel mit solchen Kontrakten geschieht an speziellen Märkten den Optionenmärkten und Futuremärkten. C1-1(WS08/09) [1] 1

2 Finanzmathematik I Finanzgut oder Anlage werden wir als zusammenfassende Bezeichnung sowohl für Basisgüter als auch für derivative Güter jeglicher Art verwenden. Der Aufschwung des Optionen- und Futurehandels begann in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts. Ein entscheidendes Datum ist hierbei das Jahr Einerseits wird in diesem Jahr die amerikanische Terminbörse CBOE (Chicago Boards Options Exchange) eröffnet, andererseits werden in diesem Jahr die berühmte Arbeit von Black und Scholes sowie die Arbeit von Merton veröffentlicht. Scholes und Merton bekamen hierfür 1997 den Nobelpreis. Black ( ) war bereits verstorben. Es kam in der Folge zu einer raschen Ausweitung des Derivatenhandels. Im Jahre 2000 schloss die bedeutendste europäische Terminbörse Eurex 454 Millionen Kontrakte ab. Zunächst sollen die Begriffe Forward bzw. Future genauer definiert werden. 1.1 Forwards und Futures Ein unbedingtes Termingeschäft oder Forward ist eine bindende Vereinbarung zwischen zwei Partnern ein Finanzgut auch Underlying genannt zu einem zukünftigen Erfüllungszeitpunkt T (engl. delivery date oder maturity) zu einem vereinbarten Erfüllungspreis F (engl. delivery price) zu verkaufen bzw. zu kaufen. Man spricht dabei von einer long Position beim Eingehen eines Kaufkontrakts und einer short Position beim Eingehen eines Verkaufskontrakts. Standardisierte, unbedingte Termingeschäfte, die an den Börsen gehandelt werden, heißen Futures. Zum Zeitpunkt des Abschlusses des Forwards (Zeitpunkt 0) fließt also kein Geld. Erst zum Zeitpunkt T zahlt der Inhaber des Kaufkontraktes F und erhält dafür vom Inhaber des Verkaufkontraktes das Finanzgut. In der Regel ist der Underlying bei einem Forward ein Basisgut. Statt Underlying ist daher auch der Name Basiswert oder Basisinstrument üblich. Forwards werden zwischen zwei Vertragsparteien als sogenannte OTC (= over the counter) Geschäfte abgeschlossen. Für jedes solche Geschäft (= Kontrakt) muss also individuell ein Geschäftspartner gefunden werden. Dazu muss in der Regel eine aufwendige Diskussion über eine Reihe von Details geführt werden. Will man einen Kontrakt vorzeitig auflösen, so muss der Vertragspartner hierfür gewonnen werden. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen werden die unbedingten Termingeschäfte auch an der Börse gehandelt und heißen dann Futures. Hier entfallen Detailverhandlungen, weil die Börse die Terminkontrakte in standardisierter Form anbietet. Ferner ist sichergestellt, dass die Kontrakte jederzeit zu einem fairen Preis glatt gestellt (= aufgelöst) werden können. 1.2 Beispiel für einen Forward Der Kurs der Daimler Aktie betrage am 1. September 38 Euro. Der Erfüllungspreis F für einen Forward auf die Daimler Aktie als Underlying zum Erfüllungszeitpunkt 1. Dezember betrage 39 Euro. Geht man eine long Position in diesen Forward über 1000 Aktien ein, so muss man zum 1. Dezember 1000 Daimler Aktien zum Preis von 39 Euro [1] 2 C1-1(WS08/09)

3 Einführung kaufen. Damit hat man, wenn der Kurs bei 42 Euro steht, 1000 (42 39) = 3000 Euro gewonnen. Der Gewinn ist auch realisierbar durch sofortigen Verkauf der Daimler Aktien. (Bei einigen Kontrakten z. B. dem Kauf eines Index findet sowieso nur ein Barausgleich statt). Steht der Kurs am 1. Dezember aber bei 36, so muss man die Aktien ebenfalls zum Preis von 39 Euro kaufen und hat einen Verlust von 1000 (39 36) = 3000 Euro erlitten. Wie kommt nun der Erfüllungspreis F von 39 Euro zustande? Der Preis für derivative Finanzgüter hier für einen Forward wird mit Hilfe des Prinzips der Arbitragefreiheit bestimmt. Als Arbitrage bezeichnet man einen risikolosen Profit beim Handeln mit Finanzgütern. Wir werden insbesondere dann von einem Arbitrage reden, wenn wir zum Zeitpunkt 0 kein eigenes Geld investieren zum Zeitpunkt T aber, nach Rückzahlung eventueller aufgenommener Kredite, einen Gewinn erzielen. Unter einer Arbitragemöglichkeit versteht man die Möglichkeit eines solchen risikolosen Profits beim Handeln mit Finanzgütern. Ein Arbitrageur ist ein Marktteilnehmer auf der Suche nach einer Arbitragemöglichkeit. Ein triviales Beispiel für eine Arbitragemöglichkeit: Eine Aktie werde in Frankfurt und in Düsseldorf gehandelt. In Frankfurt koste die Aktie 100 Euro in Düsseldorf 101 Euro. Hier liegt eine Arbitragemöglichkeit vor. Kauft man nämlich 1000 Aktien in Frankfurt und verkauft sie sofort wieder in Düsseldorf, so hat man einen risikolosen Profit von 1000( ) = 1000 Euro, wenn man die Transaktionskosten, d. h. die Kosten für den Kauf und Verkauf der Aktien, nicht berücksichtigt. Betragen die Transaktionskosten 100 Euro, so hat man noch einen risikolosen Profit von 900 Euro. Auf Grund der Transparenz des Marktgeschehens bleibt eine solche Arbitragemöglichkeit nur kurze Zeit bestehen. Das Erkennen der Arbitragemöglichkeit führt zu gesteigerter Aktiennachfrage in Frankfurt und erhöhter Aktienabgabe in Düsseldorf. Dadurch steigt der Kurs in Frankfurt und sinkt in Düsseldorf, bis schließlich die Arbitragemöglichkeit verschwunden ist. Wir werden in unserem idealisierten Finanzmarkt davon ausgehen, dass auf Grund der Transparenz des Marktes keine Arbitragemöglichkeit besteht. Führt man in einem solchen idealen Finanzmarkt ein derivatives Finanzgut ein, so ist die Preisfestsetzung für dieses Derivat so durchzuführen, dass im durch den Handel mit dem Derivat vergrößerten Finanzmarkt keine Arbitragemöglichkeit entsteht. 1.3 Das No-Arbitrage-Prinzip (NAP) Preisfestsetzungen für Finanzgüter sind so durchzuführen, dass keine Arbitragemöglichkeit entsteht. Bevor wir nun zur Berechnung des Erfüllungspreises F kommen, soll kurz auf die Verzinsung und die kontinuierliche (= stetige) Verzinsung eingegangen werden: Legt man heute den Betrag K an und erhält nach einem Jahr den Betrag K(1+r) zurück, so liegt eine effektive Verzinsung oder Jahresrendite zum Zinssatz r > 0 (engl. interest C1-1(WS08/09) [1] 3

4 Finanzmathematik I rate) vor. Hat man eine festverzinsliche Anlage mit jährlichem Zinssatz r, und legt man das Geld immer wieder an, so hat man nach n Jahren K(1 + r) n. Erfolgt die Zinszahlung in gleichmäßigen Abständen zu m Zeitpunkten im Jahre in Höhe von r/m, so ergibt sich nach n Jahren der Betrag K(1 + r m )m n. Für m 1 > m 2 gilt nun (siehe z. B. Walter, Analysis I, Seite 66) K(1 + r m 1 ) nm 1 > K(1 + r m 2 ) nm 2, es fallen also umso mehr Zinsen an, je mehr Zinstermine vorhanden sind. Nach Analysis I gilt jedoch lim K(1 + r m m )nm = K[ lim (1 + r m m )m ] n = Ke rn. In diesem Fall spricht man von der stetigen oder kontinuierlichen Verzinsung (engl. continuous compounding) mit kontinuierlichem Zinssatz r. Ein Anlagebetrag K, der zum kontinuierlichen Zinssatz r verzinst wird, ist zum Zeitpunkt T auf Ke rt angewachsen. Dies gilt nicht nur für n N sondern für alle T > 0. Für theoretische Betrachtungen ist besonders die kontinuierliche Verzinsung geeignet, in der Praxis jedoch nicht üblich. Der Unterschied zwischen stetiger Verzinsung und täglicher Zinsverrechnung ist bei niedrigem Zinssatz jedoch sehr klein: Ist r = 0, 1 = 10%, so gilt e r 1, 10517, (1 + r 365 )365 1, Die Umrechnung zwischen jährlichem Zinssatz ρ und kontinuierlichem Zinssatz r ist durch 1 + ρ = e r und r = ln(1 + ρ) gegeben. Wenn wir im Folgenden von dem kontinuierlichen oder dem stetigen Zinssatz r sprechen, so meinen wir immer den risikolosen Zinssatz. Wir gehen also davon aus, dass wir mit Sicherheit zur Zeit T für einen Euro e rt Euro erhalten, es gibt daher kein Ausfallrisiko. Im folgenden Satz ist als Underlying für den Forward-Kontrakt insbesondere an eine Aktie bzw. Anleihe gedacht, die zum Zeitpunkt t 0 eine Dividende bzw. einen festen Zinsbetrag D auszahlt. 1.4 Berechnung des Erfüllungspreises eines Forwards mit Hilfe des NAP Wir betrachten ein Finanzgut mit Preis S 0 zum Zeitpunkt 0. Zum Zeitpunkt t 0 mit 0 < t 0 < T erfolge eine bekannte Dividendenausschüttung D, wobei T den Erfüllungszeitpunkt eines Forwards auf dieses Finanzgut bezeichnet. Es liege der risikolose, kontinuierliche Zinssatz r vor. Das No-Arbitrage-Prinzip liefert dann den Erfüllungspreis F für diesen Forward F = (S 0 De rt 0)e rt. Beweis. Wir zeigen, dass es in den Fällen (1) F > (S 0 e rt 0 D)e r(t t0) = (S 0 De rt 0)e rt, (2) F < (S 0 e rt 0 D)e r(t t 0) eine Arbitragemöglichkeit gibt. [1] 4 C1-1(WS08/09)

5 Einführung Fall (1): Man gehe zum Zeitpunkt 0 eine short Position im Forward ein, d. h. man schließe einen Verkaufskontrakt auf das Finanzgut zum Erfüllungspreis F und Erfüllungszeitpunkt T ab. Zum Zeitpunkt T erhalten wir also F und müssen dafür das Finanzgut liefern. Wir nehmen hierzu zum Zeitpunkt 0 einen Kredit in der Höhe von S 0 auf und kaufen hierfür das Finanzgut. Die Dividendenzahlung D zum Zeitpunkt t 0 benutzen wir zur teilweisen Rückzahlung des Kredits. Schließlich verkaufen wir das Finanzgut zum Erfüllungspreis F zum Zeitpunkt T, liefern das in unserem Besitz befindliche Finanzgut, und zahlen den Rest des Kredits also (S 0 e rt 0 D)e r(t t0) zurück. Dies liefert zum Zeitpunkt T den risikolosen Gewinn G G = F (S 0 e rt 0 D)e r(t t0) > 0, (1) unabhängig vom Preis des Finanzguts zum Zeitpunkt T. Fall (2): Man gehe eine long Position im Forward ein, d. h. man schließt einen Kaufkontrakt auf den Erfüllungszeitpunkt T und Preis F ab. Wir gehen eine short Position im Finanzgut ein, d. h. man leihe das Finanzgut zum Zeitpunkt 0 aus und verkaufe es zum Preis von S 0 zum Zeitpunkt 0. Wir gehen hiermit die Verpflichtung zur Dividendenzahlung an den Ausleihenden und Rückgabe des Finanzgutes zum Zeitpunkt T ein. Der Geldbetrag S 0, den wir aus dem Leerverkauf erzielen, legen wir zum kontinuierlichen Zinssatz r an. Zum Zeitpunkt t 0 zahlen wir die Dividende an den Ausleihenden. Zum Erfüllungszeitpunkt T kaufen wir das Finanzgut zum Preis F und geben das ausgeliehene Finanzgut zurück. Wir erhalten dann den risikolosen Gewinn G G = (S 0 e rt 0 D)e r(t t0) F > 0. (2) Man beachte, dass wir ohne Annahmen über den künftigen Kursverlauf des zugrunde liegenden Finanzguts zu einem eindeutigen Erfüllungspreis für den Forward gelangt sind. Dies wird bei Optionen i. A. nicht möglich sein. Die Arbitragemöglichkeit erfordert im Fall (2) das Eingehen einer short position im Finanzgut, d. h. Ausleihen des Finanzguts zum Zeitpunkt 0 und Übernahme der Verpflichtungen wie Dividendenzahlung zum Zeitpunkt t 0 und Rückgabe des Finanzguts zum Zeitpunkt T. Diese Form des Ausleihen wird als short selling oder Leerverkauf bezeichnet. Short selling ist insbesondere in den USA möglich, aber auch in Europa sind Banken (oder ein Freund) z. T. bereit, Aktien zu den angegebenen Bedingungen auszuleihen. Ferner haben wir angenommen, dass der Zinssatz für das Leihen und Anlegen von Geld derselbe ist und keine Transaktionskosten für das Kaufen bzw. Verkaufen von Finanzgütern entsteht. Steuerliche Aspekte haben wir ebenfalls nicht berücksichtigt. Sammeln wir einmal die Voraussetzungen, die wir an den Finanzmarkt gemacht haben und auch in Zukunft machen werden: C1-1(WS08/09) [1] 5

6 Finanzmathematik I 1.5 Voraussetzungen an den Finanzmarkt (1) Geld kann zum selben risikolosen, kontinuierlichen Zinssatz r über den betrachteten Zeitraum [0, T ] in gewünschter Höhe angelegt und geliehen werden. (2) Es gibt keine Transaktionskosten. (3) Short Selling ist möglich. (4) Steuerliche Aspekte spielen keine Rolle. (5) Der einzelne Marktteilnehmer beeinflusst durch den Kauf oder Verkauf der benötigten Anteile eines Finanzguts den Preis des Finanzguts nicht. (6) Es gibt kein Ausfallrisiko. (7) Der Markt ist arbitragefrei. (6) besagt, dass der Marktteilnehmer an einem Finanzgeschäft, wenn er etwas zahlen muss, hierzu auch in der Lage sein muss. Ist z. B. S T (der Preis des Finanzguts zum Zeitpunkt T ) wesentlich größer als der Preis F des Forwards auf dieses Finanzgut, so muss der Inhaber der short Position im Forward S T F aufbringen können. Abschwächungen der Annahmen (1) (6) werden in der gegenwärtigen Literatur untersucht, in der Regel wird jedoch die Annahme der Arbitragefreiheit beibehalten; sie ist nämlich auch bei Abschwächung der Voraussetzungen von (1) (6) die Grundlage für die Preisfindung von Finanzgütern. Betrachten wir noch einmal das Beispiel 1.2: Da zwischen dem 1. September und 1. Dezember keine Dividende für die Daimler-Chrysler Aktie gezahlt wird, ist D = 0. Es ist T = 1/4 Jahr und es muss nach 1.4 gelten 39 = 38e r/4, d. h. es ist ein kontinuierlicher Zinssatz von r = 4 ln ( ) 5, 88% zugrunde gelegt worden. Was sind die Gründe für die Teilnahme an einem Forward- oder Future-Geschäft? Zum Einen ist es die Spekulation. Forwards ermöglichen es, bis auf die Gebühren, ohne Kapitaleinsatz bzw. geringem Kapitaleinsatz bei Futures große Gewinne zu machen, wenn man die Kursentwicklung des zugrunde liegenden Finanzguts richtig eingeschätzt hat. Entsprechend sind natürlich auch hohe Verluste bei einer Fehleinschätzung der Kursentwicklung möglich (siehe Beispiel 1.2). Man spricht hier von der Hebelwirkung des Futures. Zum Anderen kann das Motiv für das Eingehen eines Termingeschäfts umgekehrt auch in der Absicherung (im Hedgen) gegen unerwünschte Preisbewegungen des Finanzgutes bestehen. Bezeichnen wir den Inhaber der long Position des Forwards mit A und den Inhaber der short Position des Forwards mit B, so sind folgende Gründe für das Eingehen eines Forward-Kontrakts denkbar: (1) A spekuliert auf steigende, B auf fallende Kurse. A macht den Gewinn S T F, wenn S T > F ist, und B macht den Gewinn F S T, wenn F > S T ist. [1] 6 C1-1(WS08/09)

7 Einführung (2) A spekuliert auf steigende Kurse, B ist etwa ein Finanzinstitut, welches gegen eine gewisse Gebühr, einen Verkaufskontrakt mit Erfüllungspreis F abschließt, ohne jedoch ein Risiko eingehen zu wollen. B kann dann die folgende einfache Absicherungsstrategie für den verkauften Forward einsetzen: B kauft mit geliehenem Geld den Underlying zum Preis S 0 (B kann natürlich auch eigenes Geld verwenden, welches er dann zum stetigen Zinssatz r verzinst haben will) reduziert die Schulden zum Zeitpunkt t 0 um D, und zahlt schließlich die verbliebenen Schulden (F =)(S 0 e rt 0 D)e r(t t 0) zum Zeitpunkt T mittels des erhaltenen Verkaufspreises F zurück. (3)+(4) A benötigt das Finanzgut, z. B. eine Ware, zum Zeitpunkt T tatsächlich, (der Fall, dass das Finanzgut eine Devise ist, wird in 1.9 betrachtet;) und will sich vor unerwünschten Preissteigerungen schützen. Der Partner B kann den Kontrakt aus Spekulationsgründen eingehen, oder aber selbst eine Absicherungsstrategie einsetzen (siehe (2)). Häufig lassen sich Preise für Derivate mit Hilfe des No-Arbitrage-Prinzips auch durch folgende Überlegung berechnen: 1.6 Sichere Wertgleichheit zweier Portfolios zum Zeitpunkt T liefert Wertgleichheit zum Zeitpunkt 0 Man betrachte zwei verschiedene Kombinationen von Finanzgütern (= Portfolios) deren Werte V T und W T zum späteren Zeitpunkt T mit Sicherheit übereinstimmen. Dann stimmen in arbitragefreien Märkten die Werte der Portfolios V 0 und W 0 auch zum gegenwärtigen Zeitpunkt 0 überein. Beweis. Sei indirekt V 0 W 0, und o.b.d.a. V 0 > W 0. Dann leihen wir uns das erste Portfolio zum Zeitpunkt 0 aus und verkaufen es zum Zeitpunkt 0 zum Preis V 0. Das zweite Portfolio kaufen wir zum Zeitpunkt 0 zum Preis W 0. Die Differenz V 0 W 0 wird risikolos angelegt und ergibt den risikolosen Profit (V 0 W 0 )e rt ; denn zum Zeitpunkt T wird die zweite Kombination zum Preis W T verkauft und die erste zum Preis V T = W T gekauft und zurückgegeben. Zur Anwendung des Satzes 1.4 muss zum Zeitpunkt 0 die Höhe der zum Zeitpunkt t 0 gezahlten Dividende bekannt sein. Manchmal kennt man jedoch den Wert D der Ausschüttung des Underlyings nicht absolut, sondern nur relativ als Prozentsatz des Werts des Underlyings zum Zeitpunkt t 0. So gab es etwa für die Aktie der spanischen Firma Telefonica jahrelang als Dividende eine zusätzliche Aktie auf 50 Aktien. Im folgenden Satz kommen alle Finanzgüter, die die angegebene Voraussetzung erfüllen, vor allem also gewisse Aktien in Frage. Für die Preisfestsetzung eines Forwards auf Anlagen mit variablem Kurs, bei denen die Ausschüttungen in Form von Anlageanteilen an Stelle von Geld erfolgt, gilt Satz 1.7. Der Beweis erfolgt mit Hilfe von 1.6. C1-1(WS08/09) [1] 7

8 Finanzmathematik I 1.7 Preisbestimmung eines Forwards bei einer Ausschüttung in Form von Anlageanteilen Wir betrachten ein Finanzgut mit Preis S 0 zum Zeitpunkt 0. Während der Laufzeit des Forwards gibt es x Anlageanteile für eine Einheit des Finanzguts. Es liege der risikolose, kontinuierliche Zinssatz r vor. Das No-Arbitrage-Prinzip liefert dann für den Erfüllungspreis F des Forwards auf dieses Finanzgut mit Erfüllungszeitpunkt T. F = S 0 e rt /(1 + x). Beweis. Wir betrachten die folgenden Kombinationen von Anlagen zum Zeitpunkt 0: Erstes Portfolio: Forward long und Bargeld in Höhe von e rt F. Zweites Portfolio: 1/(1 + x) Einheiten des Finanzguts mit Preis S 0. Zum Zeitpunkt T bezahlt man bei der ersten Kombination mit dem Bargeld in Höhe von e rt (e rt F ) = F den Forward, und besitzt insgesamt eine Einheit des Finanzguts. Im zweiten Fall hat man zum Zeitpunkt T, wegen 1+x 1 (1 + x) = 1, ebenfalls eine Einheit des Finanzguts. Wegen V T = W T muss also V 0 = W 0 nach 1.6 gelten. Somit ist e rt F = S 0 /(1 + x), d. h. F = e rt S 0 /(1 + x). Bei Forwards wird bei Geschäftsabschluss keine Zahlung geleistet. Alle mit dem Kontrakt verbundenen Zahlungen finden bei Fälligkeit zum Zeitpunkt T statt. Der Kontrakt hat also zum Abschlusszeitpunkt den Wert 0. Dies haben wir auch im Beweis von 1.7 verwendet. Während der Laufzeit verändert sich jedoch sein Wert in Abhängigkeit von den Kursschwankungen des Underlyings. Der Wert kann dann sowohl positiv als auch negativ sein. Der Wert der long Position ist hierbei immer das ( 1)-fache der short Position. Zum Zeitpunkt T ist z. B. der Wert der long Position S T F und F S T der Wert der short Position, wenn S T den Preis des Underlyings zum Zeitpunkt T bezeichnet. Allgemein gilt: 1.8 Der Wert zum Zeitpunkt t der long Position eines zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen Forwards Wir betrachten ein Finanzgut mit Preis S t zum Zeitpunkt t [0, T ]. Es sei F t der zum Zeitpunkt t aktuelle Forwardpreis auf dieses Finanzgut mit Erfüllungszeitpunkt T. Dann ist der Wert V t der long Position zum Zeitpunkt t eines zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen Forwards auf dieses Finanzgut gegeben durch (F := F 0 ) (i) V t = e r(t t) [F t F ] und somit, falls im Zeitintervall [t, T ] keine Dividendenzahlung stattfindet, auch gleich (ii) V t = S t e r(t t) F. [1] 8 C1-1(WS08/09)

9 Einführung Beweis. (ii) folgt unmittelbar aus (i), da nach (1.4) angewandt auf das Zeitintervall [t, T ] an Stelle von [0, T ] und D = 0 gilt: F t = S t e r(t t). Beweis von 1.8 (i) mit Hilfe von 1.6: Erstes Portfolio zum Zeitpunkt t: Bargeld in Höhe von e r(t t) (F t F ). Zweites Portfolio zum Zeitpunkt t: Einen zum Zeitpunkt 0 abgeschlossenen Forward long und aktuellen Forward short. Dann hat das erste Portfolio zum Zeitpunkt T den Wert F t F. Das Zweite hat zum Zeitpunkt T ebenfalls den Wert (S T F ) + (F t S T ) = F t F. Also liefert die Gleichheit der Werte der Portfolios zum Zeitpunkt T, nach1.6 die Gleichheit der Werte der Portfolios zum Zeitpunkt t. Somit muss gelten e r(t t) (F t F ) = V t. 1.9 Preisbildung bei Forwards auf Devisen Eine Einheit einer Fremdwährung koste heute S 0 Euro. Es sei r der risikolose, kontinuierliche Zinssatz des Euro und s der der fremdländischen Währung. Zum Erfüllungszeitpunkt T ist der Erfüllungspreis für einen Forward auf eine Einheit der Fremdwährung S 0 e (r s)t Euro. Man muss also zum Zeitpunkt T eine Einheit der Fremdwährung für S 0 e (r s)t Euro bei Eingehen eines Kaufkontraktes kaufen, oder bei Eingehen eines Verkaufkontraktes verkaufen. Beweis. Eine Einheit der Fremdwährung sei unser Finanzgut mit Preis S 0 zum Zeitpunkt 0. Diese Einheit der Fremdwährung liefert x := (e st 1) Einheiten der Fremdwährung als Zinsen. Dann ist der Forwardpreis für das Finanzgut d. h. eine Einheit der Fremdwährung nach 1.7 gleich S 0 e rt /(1 + x) = S 0 e (r s)t. Der Forwardpreis ist für r > s größer und für r < s kleiner als der augenblickliche Preis S 0 der Fremdwährung. Ist etwa der Preis des Dollars heute S 0 = 0, 8 Euro, und beträgt der risikolose Zinssatz des Euro r = 3% und der des Dollars s = 4%, so kann man also 1 Dollar zum Preise von 0, 8e (0,03 0,04) 1 = 0, 8e 0,01 0, 79 Euro in einem Jahr kaufen. Um 1 Dollar in einem Jahr zum Preis von S 0 e (r s) kaufen zu können, kann man auch folgendermaßen vorgehen: Man leiht sich S 0 e s Euro zum Zeitpunkt 0, und wechselt sie sofort in Dollar um. Man erhält e s Dollar, die man festverzinslich in den USA zum Zinssatz s anlegt. Man hat dann nach einem Jahr 1 Dollar und S 0 e (r s) Euro Schulden, d. h. man zahlt für 1 Dollar in einem Jahr S 0 e (r s) Euro. Wir betrachten nun die zweite große Klasse von Derivaten, die Optionen. Optionen sind im Gegensatz zu Futures bedingte Termingeschäfte (engl. contingent claims). Ist man z. B. eine long Position im Forward eingegangen, so muss man zum Zeitpunkt T das Finanzgut zum Preis F kaufen, auch wenn dies, im Falle von S T < F, zu einem Verlust führt. Bei einer Kaufoption jedoch kann man das Finanzgut zum Zeitpunkt T C1-1(WS08/09) [1] 9

10 Finanzmathematik I zu einem gewissen Preis, dem Ausübungspreis K, kaufen, muss es aber nicht. Man wird es natürlich nur unter der Bedingung S T K > 0 kaufen, weil man nur in diesem Fall das Finanzgut billiger als zum aktuellen Kurs S T bekommt. Durch Kauf zum Preis K und gleichzeitigen Verkauf zum Preis S T, kann man auch den Gewinn S T K realisieren. Bei vielen Finanzgütern findet bei Optionen z.b. bei Optionen auf Indizes direkt ein Barausgleich statt, d. h. man erhält zum Zeitpunkt T den Betrag S T K, falls S T K > 0 ist. Im Falle S T K ist nichts zu zahlen. Da Optionen dem Käufer also nur Rechte, aber keine Pflichten einräumen, muss der Käufer der Option dem Verkäufer der Option eine Prämie zum Zeitpunkt des Erwerbs der Option bezahlen. Neben diesen Kaufoptionen, den sogenannten Calls, gibt es auch Verkaufsoptionen, die Puts. Man unterscheidet die Optionen ferner danach, ob man das Recht auf Ausübung nur zum Zeitpunkt T oder jederzeit bis zum Zeitpunkt T ausüben kann. Im ersten Fall spricht man von Optionen europäischen Typs, im zweiten Fall von Optionen amerikanischen Typs. Optionen europäischen sowie amerikanischen Typs können sowohl in Europa als auch in Amerika und in der übrigen Welt erworben werden. Nun zur formalen Definition: 1.10 Calls vom europäischen und amerikanischen Typ Die Kaufoption (Call) beinhaltet das Recht, aber im Gegensatz zum Forward nicht die Pflicht, ein Finanzgut (Underlying, Basiswert, Basisinstrument) zu einem im Voraus bestimmten festen Preis, dem Ausübungspreis (Basispreis, Strikepreis, Strike) K, zu kaufen. Kann der Kauf nur zum sogenannten Verfallszeitpunkt (Fälligkeit) T stattfinden, so spricht man von einem europäischen Call; kann der Kauf jederzeit bis zum Zeitpunkt T stattfinden, so spricht man von einem amerikanischen Call. Man beachte, dass der Basispreis K in großen Bereichen vom Callkäufer ausgewählt werden kann und nicht mit dem Preis S T des Basiswerts zum Zeitpunkt T verwechselt werden darf. Ersetzt man in der Definition das Wort Kauf immer durch Verkauf, so gelangt man zur Definition des Puts Puts vom europäischen und amerikanischen Typ Die Verkaufsoption (Put) beinhaltet das Recht, aber im Gegensatz zum Forward nicht die Pflicht, ein Finanzgut (Underlying, Basiswert, Basisinstrument) zu einem im Voraus bestimmten festen Preis, dem Ausübungspreis (Basispreis, Strikepreis, Strike) K, zu verkaufen. Kann der Verkauf nur zum sogenannten Verfallszeitpunkt T stattfinden, so spricht man von einem europäischen Put, kann der Verkauf jederzeit bis zum Zeitpunkt T stattfinden, so spricht man von einem amerikanischen Put. Wir haben also die vier grundlegenden Optionstypen [1] 10 C1-1(WS08/09)

11 Einführung europäischer Call, europäischer Put, amerikanischer Call, amerikanischer Put. Um einen Call kaufen zu können, muss jemand diesen Call verkaufen. Gleiches gilt für einen Put. Der Käufer einer Option gleichgültig ob Call oder Put hat, wie man sagt, eine long Position oder geht long, der Verkäufer einer Option (auch Stillhalter genannt) hat eine short Position oder geht short. Man spricht auch von long Call (Put) bzw. short Call (Put). Insgesamt gibt es also acht Grundgeschäftsarten im Optionshandel, die vier angegebenen Optionstypen long und die vier Optionstypen short. Beim Forward gab es nur die zwei Grundgeschäftsarten: Forward long und Forward short. Der Käufer der Option hat also immer das Recht, aber nicht die Pflicht, etwas zu kaufen (bei einem Call) oder etwas zu verkaufen (bei einem Put). In beiden Fällen hat der Verkäufer der Option die Pflicht, dem Ausübungswunsch des Käufers, sofern dieser einen solchen äußert, nachzukommen. Für diese Verpflichtung erhält der Verkäufer der Option vom Käufer der Option eine Optionsprämie. Die Hauptfrage, der wir uns in dieser Vorlesung zuwenden wollen, ist, wie lässt sich die Optionsprämie arbitragefrei bestimmen. Dabei werden wir allerdings auch noch weitere Optionstypen betrachten. Die schon eingangs genannten Arbeiten von Black und Scholes sowie Merton haben eine Theorie der Preisfindung aufgestellt nach der auch heute noch in der Praxis viele Optionspreise berechnet werden. In der Einführung wollen wir nur auf Optionen europäischen Typs näher eingehen. Es bezeichne im Folgenden immer K den Ausübungspreis für den Basiswert der Option, T den Verfallszeitpunkt der Option und S T den Preis (auch Settlementpreis genannt) des zugrunde liegenden Finanzguts zum Zeitpunkt T. Der Käufer eines Calls übt seine Option genau dann aus, wenn S T > K ist. Entsprechend übt der Käufer eines Puts seine Option genau dann aus, wenn S T < K ist. Der Wert eines europäischen Calls CT e bzw. Puts P T e, zum Verfallszeitpunkt T ist für den Käufer der Optionen also C e T = (S T K) + = max{s T K, 0}, P e T = (K S T ) + = max{k S T, 0}. Das Finanzgut möge nun in t 0 ]0, T [ den Ertrag D liefern. Mit dem aus dem No- Arbitrage-Prinzip gewonnenen Satz 1.6, können wir die folgende bemerkenswerte Beziehung zwischen dem Optionspreis C0 e des europäischen Calls zum Zeitpunkt 0 und den Optionspreis P0 e des europäischen Puts zum Zeitpunkt 0 herleiten. C1-1(WS08/09) [1] 11

12 Finanzmathematik I 1.12 Put-Call-Parität Der Preis C0 e eines europäischen Calls mit Ausübungspreis K und Fälligkeit T, und der Preis P0 e eines europäischen Puts mit dem gleichen Ausübungspreis K und der gleichen Fälligkeit T, genügen der folgenden Gleichung, wenn D 0 = D e rt 0 den auf 0 diskontierten Ertrag D des beiden Optionen zugrunde liegenden Finanzguts bezeichnet: C e 0 + e rt K = P e 0 + S 0 D 0. Beweis. Wir betrachten die folgenden beiden Portfolios zum Zeitpunkt 0 : Erstes Portfolio: Call long mit Preis C e 0 und Bargeld in Höhe von e rt K. Zweites Portfolio: Put long mit Preis P e 0 und Finanzgut mit Preis S 0 sowie Schulden in Höhe von D 0. Nach 1.6 müssen wir uns nur überzeugen, dass beide Portfolios zum Zeitpunkt T den gleichen Wert haben. Der Wert des ersten Portfolios zum Zeitpunkt T ist und der Wert des zweiten (S T K) + + K, (K S T ) + + S T D 0 e rt + D 0 e rt = (K S T ) + + S T. Wegen (S T K) + +K = (K S T ) + +S T stimmt der Wert beider Portfolios zum Zeitpunkt T überein, und es folgt die Behauptung. Es gilt P e 0 0 und damit folgt aus der Put-Call-Parität C e 0 max{0, S 0 Ke rt D 0 } = (S 0 Ke rt D 0 ) +. Der Wert des Calls zum Zeitpunkt t, mit Ct e bezeichnet, muss gleich dem Preis für einen zum Zeitpunkt t abgeschlossenen neuen Calls auf denselben Basiswert mit gleichem Ausübungspreis K und Verfallszeitpunkt T (also Laufzeit T t) sein. Also folgt insbesondere für ein Finanzgut ohne Ertrag aus obiger Formel C e t (S t Ke r(t t) ) + für Finanzgüter ohne Ertrag. Hieraus erhalten wir das auch als Satz von Merton bekannte Ergebnis: 1.13 Gleichheit der Preise eines europäischen und amerikanischen Calls auf Finanzgüter ohne Ertrag Für eine Call-Option, auf ein Finanzgut ohne Ertrag mit Ausübungspreis K > 0, ist es vorteilhafter, den Call zu einem Zeitpunkt t < T zu verkaufen, als den Call zum Zeitpunkt t auszuüben. Daher ist der Wert der amerikanischen Call-Option gleich dem Wert der europäischen Call-Option. Beweis. Kann die Call-Option zum Zeitpunkt t ausgeübt werden, dann erhält man (S t K) +, also S t K für S t > K. Der Wert der Call-Option ist aber Ct e und es gilt nach obiger Ungleichung [1] 12 C1-1(WS08/09)

13 Einführung C e t S t Ke r(t t) > S t K. Eine entsprechende Aussage gilt nicht für die europäischen und amerikanischen Put- Optionen. Die grafische Darstellung des Wertes einer Option bei Fälligkeit T in Abhängigkeit vom Settlementpreis S T des Basiswerts bezeichnet man als Auszahlungsprofil oder Payoff-Profil (kurz: Payoff). Das folgende Beispiel zeigt den Payoff für einen long Call auf die Bayer-Aktie mit einem Ausübungspreis von K = 20 in Abhängigkeit vom Kurs S T der Bayer-Aktie zum Verfallszeitpunkt T. Payoff S T Payoff des long Call auf die Bayer-Aktie mit K = 20 Für einen long Put auf die Bayer-Aktie mit einem Ausübungspreis K = 30 Euro ergibt sich folgendes Payoff-Profil: Payoff S T Payoff des long Put auf die Bayer-Aktie mit K = 30 C1-1(WS08/09) [1] 13

14 Finanzmathematik I Man beachte, dass sich bei Optionen die Begriffe long und short immer auf Kauf bzw. Verkauf der Option und nicht auf den Kauf oder Verkauf des Basiswerts (hier Bayer Aktie) beziehen. So ist der Inhaber einer short position im Put bei Ausübung der Option der Käufer des Basiswerts zum Ausübungspreis K. Im ersten der folgenden beiden Schaubilder wird das Auszahlungsprofil und der Gewinn bzw. Verlust aus der long Position im Call dargestellt, im zweiten für eine short Position im Call. Die beiden Linien geben jeweils den Payoff bzw. den Gewinn und Verlust (Profit&Loss, kurz P&L) zum Zeitpunkt T an. Bei der Betrachtung von Gewinn und Verlust muss man berücksichtigen, dass die Auszahlungen zum Zeitpunkt T erfolgen, so dass die zum Zeitpunkt 0 eingesetzte Prämie auf den Zeitpunkt T aufgezinst werden muss. Diese aufgezinste Prämie für einen Call soll mit c T := e rt C0 e bezeichnet werden. Im Fall einer long Position muss also c T zur Berechnung des Gewinns und Verlusts von der Auszahlung CT e abgezogen werden, für eine short Position muss c T addiert werden. Man spricht z. B. bei einer long Position im Call nur dann von einem Gewinn, wenn (S T K) + = CT e > c T ist, d. h. wenn die Auszahlung des Call höher ist, als die risikolose Anlage der Optionsprämie über das Zeitintervall [0, T ]. Payoff und P&L eines long Call Payoff P&L 0 45 K + ct S T c T K 45 Der Kauf eines Calls hat ein begrenztes Verlustrisiko (nämlich c T für S T K) und ein unbegrenztes Gewinnpotential. [1] 14 C1-1(WS08/09)

15 Einführung c T Payoff und P&L eines short Call 0 K 45 K + c T 45 S T P&L Payoff Der Verkauf eines Call liefert, solange der Settlementkurs S T K ist, zum Zeitpunkt T den Gewinn c T. Diese Position beinhaltet jedoch ein unbegrenztes Verlustpotential. Geometrisch erhält man das Schaubild für den Payoff und P&L eines short Call durch Spiegelung an der S T -Achse aus dem Schaubild für einen long Call. Die folgenden beiden Schaubilder geben den Payoff und P&L eines Puts an. p T := e rt P e 0 bezeichnet den aufgezinsten Optionspreis des Puts. Nach der Put-Call-Parität besteht zwischen c T und p T folgende Beziehung (siehe 1.12) c T p T = e rt S 0 K D 0 e rt unabhängig vom Settlementkurs S T des Basiswerts. K K p T Payoff und P&L eines long Put 0 K p T Payoff S T p T K P&L Der maximale Gewinn eines long Put ist K p T, der maximale Verlust p T. C1-1(WS08/09) [1] 15

16 Finanzmathematik I p T P&L 0 K p T K Payoff S T K + p T Payoff und P&L eines short Put K Der Verkauf eines Puts liefert für S T K zum Zeitpunkt T den konstanten Gewinn p T, das Verlustpotential ist jedoch sehr hoch. Auch das Schaubild für den Payoff und P&L eines short Put entsteht durch Spiegelung des entsprechenden Schaubilds des long Put an der S T -Achse. In allen vier Fällen und auch bei weiteren Portfolios unterscheiden sich Profit&Loss und Payoff nur um eine Konstante, nämlich um die Kosten bzw. Einnahmen für die zum Zeitpunkt 0 eingegangene Position, aufgezinst auf den Zeitpunkt T. Den Profit&Loss des Basiswerts long (Kauf des Basiswerts) und des Basiswerts short (Leerverkauf des Basiswerts) zum Zeitpunkt T ist, wenn keine Dividende gezahlt wird, durch folgendes Schaubild gegeben. Man beachte den Aufzinsungsfaktor e rt. S 0 e rt P&L Basiswert long 0 S 0 e rt S T S 0 e rt Basiswert short [1] 16 C1-1(WS08/09)

17 Einführung Der P&L des Basiswerts long ist S T S 0 e rt. Bei dieser Berechnung vergleicht man also, analog wie bei den bisherigen Berechnungen, das Anlegen des Geldbetrages S 0 in den Basiswert mit dem Anlegen von S 0 in eine risikolose Anlage mit kontinuierlichen Zinssatz r. Eine andere Vorstellung ist die: Man leiht sich S 0 zum Kauf des Basiswerts und muss zum Zeitpunkt T dann S 0 e rt zurückzahlen. Der P&L ist dann genau S T S 0 e rt. Da man auch im Folgenden immer mit der risikolosen Anlage mit kontinuierlichem Zinssatz r vergleicht, kann der P&L eines Finanzguts nicht für alle Settlementkurse größer als Null sein, da sonst sofort ein Arbitragegewinn möglich wäre. Bei den long Positionen in den Optionen ist der maximal eintretende Verlust zum Zeitpunkt T auf den aufgezinsten Prämieneinsatz begrenzt. Bei einem short Put ist der maximal auftretende Verlust auf K p T begrenzt, wenn der Wert des zugrunde liegenden Finanzguts (wie z. B. eine Aktie oder Anleihe) keinen negativen Wert annehmen kann. Bei einer short Position im Call ist der maximal auftretende Verlust unbegrenzt. Als inneren Wert eines Calls oder Puts zur Zeit t bezeichnet man den Geldbetrag, den der Inhaber einer long Position erhielte, wenn er die Option zur Zeit t ausüben könnte. Also innerer Wert eines Calls zur Zeit t : (S t K) +, innerer Wert eines Puts zur Zeit t : (K S t ) +. Der Wert oder Preis einer Option zur Zeit t ist fast nie gleich dem inneren Wert. Man setzt Zeitwert der Option zur Zeit t := Preis der Option zur Zeit t innerer Wert der Option zur Zeit t. Also Preis der Option = innerer Wert + Zeitwert. Am Fälligkeitstag ist der Zeitwert Null, sonst in der Regel positiv. Im Beweis von 1.13 haben wir hier einen Call gesehen, wenn S t > K ist, d. h. der innere Wert positiv ist, so ist Ct e > (S t K) +, d. h. der Zeitwert ist positiv. Es gibt jedoch Ausnahmefälle, so kann ein tief im Gelde liegender Put negativen Zeitwert haben. Hierbei definiert man: Ein Call oder Put ist zur Zeit t am Geld (engl. at the money), wenn K S t, also der Ausübungspreis K ungefähr gleich dem aktuellen Kurs S t des Basiswerts ist. Ist der innere Wert größer als Null, aber K S t, so sagt man die Option sei im Geld (in the money). Ist der innere Wert deutlich größer als Null, so sagt man die Option sei tief im Geld (deep in the money). Ist der innere Wert Null und K S t, so sagt man die Option sei aus dem Geld (out of the money). Entsprechend redet man auch von tief aus dem Geld (deep out of the money) liegenden Optionen. Nachdem wir nun die vier Grundgeschäftsarten für die europäischen Call- bzw. Put- Optionen vorgestellt haben, soll kurz auf verschiedene Kombinationsmöglichkeiten europäischer Optionen eingegangen werden, die sich auf denselben Basiswert beziehen. Man unterscheidet (I) Zusammensetzung aus Option und Basiswert. C1-1(WS08/09) [1] 17

18 Finanzmathematik I (II) Strategien mit mehreren Optionspositionen. Zu (I): Man unterscheidet vier Grundarten, die sich ergeben aus einer long Position im Basiswert (= Kauf des Basiswerts) und einem long Put bzw. short Call sowie einer short Position im Basiswert (= Leerverkauf des Basiswerts) und einem short Put bzw. long Call. Wir nehmen an, dass auf den Basiswert in dem betrachteten Zeitraum von 0 bis T keine Dividende gezahlt wird. Die erste Möglichkeit, die zur Absicherung gegen fallende Kurse dient, besteht darin, neben dem Basiswert einen Put auf den Basiswert zu kaufen. Der Put wird hier also nicht zur Spekulation sondern als Versicherungsinstrument für den Basiswert eingesetzt. Nach Zahlung des Kaufpreises für den Put zum Zeitpunkt 0 hat man den Kurs des Basiswerts zum Zeitpunkt T auf K abgesichert: S T + (K S T ) + K. Oberhalb von K, also wenn S T K ist, nimmt man am Kursanstieg voll teil: S T + (K S T ) + = S T. Der Payoff vom Basiswert long und Put long ist max{s T, K}. Zeichnet man den P&L für die Kombination Basiswert long + Put long, so setzt sich dieser zusammen aus dem P&L des Basiswerts long (S T S 0 e rt ) und dem P&L des Put long ((K S T ) + p T ). Insgesamt ist also der P&L der Position Aktie long + Put long gegeben durch { (S T S 0 e rt ) + (K S T ) + K S0 e rt p p T = T für S T K S T S 0 e rt p T für S T > K. K p T P&L Put long 0 p T K p T K S 0 e rt S 0 e rt + p T S T K S 0 e rt p T Basiswert long+put long Basiswert long S 0 e rt [1] 18 C1-1(WS08/09)

19 Einführung Man beachte, dass für S T < K p T der P&L für Basiswert und Put besser ist, als für den Basiswert alleine und dass der Verlust auf höchstens K S 0 e rt p T begrenzt ist. Als zweite Möglichkeit betrachten wir den Besitz des Basiswerts kombiniert mit einem short Call. Man spricht davon, dass der Besitzer des Basiswerts einen gedeckten (= gesicherten) Call schreibt. Dies wird auch als covered call writing bezeichnet. Geht man von etwa gleichbleibenden Kursen des Basiswerts aus, man spricht von einem seitwärts tendierenden Markt, so ist dies eine geeignete Position. Solange S T K ist, verfällt die Option wertlos und die eingenommene Prämie c T führt zur Performanceverbesserung. Auf Kursgewinne des Basiswerts, die den Ausübungspreis um mehr als die aufgezinste Prämie c T übertreffen muss jedoch verzichtet werden. Das Schreiben des Call bedeutet für den Besitzer des Basiswerts die Veräusserung eines Teils seiner Gewinnchancen (nämlich von S T (K + c T ), wenn S T > K + c T ist) an einen anderen Marktteilnehmer gegen ein Entgelt c T. Der P&L von Aktie long + Call short ist gegeben durch { S T S 0 e rt (S T K) + ST S 0 e rt + c + c T = T, für S T K, K S 0 e rt + c T, für S T > K. P&L Basiswert long K S 0 e rt + c T Basiswert long+call short 0 c T S 0 e rt c T K + c T S 0 e rt K S T Call short S 0 e rt + c T S 0 e rt C1-1(WS08/09) [1] 19

20 Finanzmathematik I Bei einer Calloption ist die Wahl des Basiswertes K von großer Bedeutung, da c T von K abhängt. Im Schaubild haben wir K > S 0 e rt angenommen, in diesem Fall ist c T klein. Man kann einen höhere Optionsprämie erhalten, wenn man K senkt. In diesem Fall muss man aber schon früher auf Kursgewinne verzichten. Wir betrachten nun die Fälle Basiswert short und Call long bzw. Put short. Bei Basiswert short und Call long wird der unbegrenzte Verlust, der bei der Position Basiswert short möglich ist, durch den Call auf S 0 e rt K c T begrenzt. Der P&L ist gegeben durch (siehe auch Schaubild): { S 0 e rt S T + (S T K) + S0 e rt S c T = T c T, für S T K, S 0 e rt K c T, für S T > K. Geht man davon aus, dass der Kurs des Basiswerts zum Zeitpunkt T nicht höher als K sein wird, dann ist die Kombination aus Basiswert short und Put short sinnvoll. Jedoch ist bei einer solchen Position unbegrenzter Verlust möglich. Der P&L ist gegeben durch (siehe auch unteres Schaubild der nächsten Seite): { S 0 e rt S T (K S T ) + S0 e rt K + p + p T = T, für S T K, S 0 e rt S T + p T, für S T > K. S 0 e rt P&L S 0 e rt c T Basiswert short Basiswert short+call long 0 K S 0 e rt S 0 e rt c T K + c T S T S 0 e rt K c T c T Call long [1] 20 C1-1(WS08/09)