KOMPETENZHEFT ZU STAMMFUNKTIONEN

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1 KOMPETENZHEFT ZU STAMMFUNKTIONEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Finde eine Funktion F (x), die F (x) = f(x) erfüllt. a) f(x) = 5 x 2 2 x + 8 e) f(x) = 1 + x x 2 b) f(x) = 1 x4 10 f) f(x) = e x + 2 cos(x) c) f(x) = 2 x + 5 x 2 g) f(x) = e 4 2 x d) f(x) = x h) f(x) = sin(x) + 4 x 8 Aufgabe 1.2. Finde eine Funktion F (x), die F (x) = f(x) und die gegebene Bedingung erfüllt. a) f(x) = 8 x x + 7, F (0) = 5 b) f(x) = 9 x 2 + 0,4 x, F (1) = 4 c) f(x) = e x sin(x), F (0) = 1 Aufgabe 1.. Die Geschwindigkeit eines Autos (in m/s) in Abhängigkeit von Zeit (in s) wird durch die folgende Funktion v beschrieben: v(t) = 10 t t , 0 t 5 Berechne den Weg, den das Auto im Zeitraum [0 s; 5 s] zurücklegt. Aufgabe 1.4. Finde jene Funktion f(x), die f (x) = 4 x 1, f(1) = 0 und f( 1) = 2 erfüllt. Aufgabe 1.5. Die Beschleunigung eines Autos (in m/s 2 ) in Abhängigkeit von der Zeit (in s) wird durch die folgende Funktion a beschrieben: a(t) = 2 t 16 t t, 0 t 5 Die Anfangsgeschwindigkeit des Autos beträgt v 0 = 0 m/s. Berechne jene Entfernung, die das Auto im Zeitraum [0 s; 5 s] zurücklegt. Datum:. Februar

2 Aufgabe 1.6. Der Graph einer Funktion f(x) ist dargestellt. Gesucht ist der Funktionsgraph jener Funktion F, die F (x) = f(x) und F (0) = 1 erfüllt. a) In welchen Bereichen steigt die Funktion F, in welchen fällt sie? An welchen Stellen hat F eine waagrechte Tangente? Handelt es sich jeweils um einen lokalen Hochpunkt, lokalen Tiefpunkt oder Sattelpunkt? b) Wo ändert die Funktion F ihr Krümmungsverhalten? c) Skizziere den Funktionsgraphen von F. Aufgabe 1.7. Ein Objekt beschleunigt gleichmäßig mit Beschleunigung a. a) Erkläre, warum die Geschwindigkeit nach t Sekunden v(t) = a t + v 0 beträgt, wobei v 0 die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 ist. b) Erkläre, warum der zurückgelegte Weg nach t Sekunden s(t) = a 2 t2 + v 0 t beträgt. c) Ein Formel-1-Auto beschleunigt gleichmäßig von 0 km/h auf 100 km/h in 2,5 Sekunden. Berechne, welche Distanz (in m) das Formel-1-Auto dabei zurücklegt. Aufgabe 1.8. Die Geschwindigkeit eines Motorrads kann für eine halbe Stunde Fahrt näherungsweise mit der Funktion v beschrieben werden. v(t) = 925 t t 2 2 t + 15 mit 0 t 0,5 t... Zeit in Stunden (h) v(t)... Geschwindigkeit des Motorrads zur Zeit t in Kilometern pro Stunde (km/h) Berechnen Sie den zurückgelegten Weg für diese halbe Stunde. 2

3 Aufgabe 1.9. Trägerraketen ermöglichen es, schwere Nutzlasten in die Erdumlaufbahn zu befördern. Ariane 5 ist die leistungsfähigste europäische Trägerrakete. Beim Start der Ariane 5 lässt sich der senkrecht nach oben zurückgelegte Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t modellhaft annähernd durch eine quadratische Funktion beschreiben. Die Beschleunigung der Ariane 5 in der Startphase beträgt etwa 5,4 m/s 2. Stellen Sie die Funktionen für die Beschleunigung, die Geschwindigkeit und den Weg in Abhängigkeit von der Zeit auf. Aufgabe Die Geschwindigkeit einer U-Bahn wächst in den ersten 4 Fahrsekunden linear und nähert sich danach einer Maximalgeschwindigkeit von 20 m/s an. Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit- Zeit-Funktion v(t) ist in der folgenden Abbildung dargestellt: Erkläre, welche der folgenden vier Abbildungen den Funktionsgraphen der zugehörigen Beschleunigung- Zeit-Funktion darstellt. A) B) C) D)

4 a) F (x) = 5 x x x + c e) F (x) = x + 2 x 5 x 5 + c 1.1 b) F (x) = 1 15 x5 10 x + c c) F (x) = 1 x 2 5 x + c f) F (x) = e x + 2 sin(x) + c g) F (x) = e 4 x 2x ln(2) + c d) F (x) = ln( x ) + c h) F (x) = cos(x) x9 + c 1.2 a) F (x) = 2 x 4 2 x + 7 x + 5 b) F (x) = x 0,2 x 2 + 1,2 c) F (x) = e x + cos(x) 1. 86,5 m x 1 2 x2 5 x ,16... m 1.6 a) F (0) = 1 = Funktionsgraph von F verläuft durch den Punkt (0 1) b) F ist überall monoton wachsend mit Ausnahme vom Intervall [1; 4], wo F monoton fallend ist. An der Stelle x = 1 befindet sich ein Hochpunkt, bei x = 4 ein Tiefpunkt, bei x = 7 ein Sattelpunkt. c) Bei den drei Extremstellen von f ändert sich das Krümmungsverhalten von F. d) 1.7 a) Allgemein gilt: v (t) = a(t). Aufgrund der konstanten Beschleunigung a ist v (t) = a, also v(t) = a t + c. Aus v 0 = v(0) = c folgt v(t) = a t + v0 b) Allgemein gilt: s (t) = v(t), also s(t) = a 2 t2 + v 0 t + d. Da nach 0 Sekunden noch kein Weg zurückgelegt wurde, ist s(0) = 0 = d. c) 69,44... m , km 1.9 a(t) = 5,4, v(t) = 5,4 t, s(t) = 2,7 t 2 12 m/s 1.10 Die Steigung von v(t) im Zeitraum [0; 4] ist konstant = m/s 2. Nur bei Funktionsgraph D) ist die Beschleunigung in den ersten 4 Fahrsekunden konstant m/s 2. Es kann daher nur D) richtig 4 s sein. 4

5 2. Den Spieß umdrehen Erinnere dich, dass die Weg-Zeit-Funktion s(t), die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t) und die Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t) eng miteinander zusammen hängen. Denn es gilt: s (t) = v(t) s (t) = v (t) = a(t) Ist der zurückgelegte Weg nach t Zeiteinheiten bekannt, können wir also durch Differenzieren die Momentangeschwindigkeit und die Momentanbeschleunigung zu jedem Zeitpunkt berechnen. Nun wollen wir den Spieß umdrehen: Wir kennen die Momentangeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt und wollen wissen, welchen Weg wir dann zurücklegen. Wir suchen also eine Funktion s(t), deren Ableitung die gegebene Funktion v(t) ist. Auch in anderen Sachzusammenhängen treten solche Fragestellungen auf: Du kennst die Beschleunigung-Zeit-Funktion. Was ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion? Du kennst die Kraft-Weg-Funktion. Wie groß ist die verrichtete Arbeit? Bei einem Wasserkraftwerk rinnt je nach Zeitpunkt mehr oder weniger Wasser durch. Wie viel Wasser ist insgesamt durchgeflossen? Zu einer gegebenen Funktion f(x) suchen wir eine Funktion F (x), die F (x) = f(x) erfüllt. Eine solche Funktion F nennen wir Stammfunktion von f. 1) Erkläre, warum F (x) = x eine Stammfunktion von f(x) = x2 ist. 2) Erkläre, warum F (x) = 1 4 x 4 eine Stammfunktion von f(x) = 1 x 5 ist. ) Erkläre, warum F (x) = 2 x eine Stammfunktion von f(x) = x ist. 4) Erkläre, warum F (x) = xn+1 n + 1 eine Stammfunktion von f(x) = xn ist (n 1). Warum n 1? 5

6 Erinnere dich, dass die Funktion nur für x > 0 definiert ist. F (x) = ln(x) = log e (x) Der Funktionsgraph verläuft zum Beispiel durch die Punkte (1 0) und (e 1), weil e 0 = 1 und e 1 = e gilt. e = 2, ist die Euler sche Zahl. Ihre Ableitungsfunktion ist F (x) = 1 x = x 1. Erkläre, warum G(x) = ln( x) nur für x < 0 definiert ist. Rechne nach, dass auch G (x) = 1 x gilt. Erkläre, warum H(x) = ln( x ) für x 0 definiert ist, und dort überall eine Stammfunktion von h(x) = 1 x ist. Uneindeutigkeit von Erkläre rechnerisch und grafisch, warum die Funktionen alle dieselbe Ableitungsfunktionen haben. F (x) = x, G(x) = x 1 und H(x) = x + 2 Beispiel 2.1. Gesucht ist eine Funktion F (x), die F (x) = x 2 5 x + 10 und F (2) = 8 erfüllt. 6

7 Lösung. Eine mögliche Stammfunktion von f(x) = x 2 6 x + 10 ist F (x) = x 6 x x = x x x Doch sie hat nicht die gewünschte Eigenschaft, denn F (2) = 16 statt F (2) = 8. Verschieben wir den Funktionsgraphen um 24 Einheiten nach unten, verläuft er durch den gewünschten Punkt: F (x) = x x x 24 Zur Erinnerung eine Tabelle mit den Ableitungen der elementaren Funktionen, die beim Finden von behilflich sein kann: f(x) = x α f (x) = α x α 1 f(x) = e x f(x) = a x f (x) = e x f (x) = a x ln(a) f(x) = ln(x) f (x) = 1 x f(x) = log a (x) f (x) = 1 x ln(a) f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f(x) = tan(x) f (x) = f(x) = arcsin(x) f (x) = 1 cos 2 (x) 1 1 x 2 f(x) = arccos(x) f 1 (x) = 1 x 2 f(x) = arctan(x) f (x) = x 2 7

8 Beispiel 2.2. Eine Polynomfunktion f(x) hat in ihrem einzigen Wendepunkt die Wendetangente y = x + 1. Die zweite Ableitung der Funktion ist f (x) = 4 x 8. Bestimme die Gleichung der Funktion f(x). Lösung. Wir bestimmen die Koordinaten des Wendepunkts: f (x) = 0 = x = 2 Wegen f (2) = 4 > 0 ändert sich die Krümmung von f an der Stelle x = 2 von einer negativen Krümmung in eine positive Krümmung. Der Wendepunkt liegt auf der Wendetangente. Die y-koordinate des Wendepunkts ist also y = = 5 = W = (2 5) Die erste Ableitung ist eine Stammfunktion von f (x): f (x) = 2 x 2 8 x + c Die Steigung von f an der Stelle x = 2 stimmt mit der Steigung k = der Wendetangente überein: f (2) = = c = = c = 5 = f (x) = 2 x 2 8 x + 5 Die Funktion f(x) ist eine Stammfunktion von f (x): f(x) = 2 x 4 x x + d Der Wendepunkt liegt auf dem Funktionsgraphen von f(x): f(2) = 5 = d = 5 = d = 1 = f(x) = 2 x 4 x x 1 Beispiel 2.. Versuche unter Verwendung der Produktregel eine Stammfunktion von f(x) = x sin(x) zu finden. Lösung. Erinnere dich an die Produktregel: p(x) = a(x) b(x) = p (x) = a (x) b(x) + a(x) b (x) Wir versuchen solche Funktionen a(x) und b(x) zu finden, dass folgendes gilt: 1) Für a (x) b(x) lässt sich einfacher eine Stammfunktion finden. 2) a(x) b (x) stimmt bis auf einen konstanten Faktor mit f(x) überein. Wir versuchen es mit a(x) = x und b(x) = cos(x): (x cos(x)) = 1 cos(x) x sin(x) = x sin(x) = (sin(x)) (x cos(x)) = (sin(x) x cos(x)) 8

9 Die Funktion F (x) = sin(x) x cos(x) ist also eine Stammfunktion von f(x).. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe.1. Versuche unter Verwendung der Produktregel eine Stammfunktion der gegebenen Funktion zu finden. 1) a(x) = x cos(x) Hinweis: Berechne (x sin(x)). 2) b(x) = ln(x) Hinweis: Berechne (x ln(x)). ) c(x) = x ln(x) Hinweis: Berechne (x 2 ln(x)). 4) d(x) = x e x Hinweis: Berechne (x e x ). 5) e(x) = sin(x) cos(x) Hinweis: Berechne (sin(x) sin(x)). Aufgabe.2. Versuche unter Verwendung der Kettenregel eine Stammfunktion der gegebenen Funktion zu finden. 1) a(x) = e x Hinweis: Berechne (e x ). 2) b(x) = (4 x 2) 5 Hinweis: Berechne ((4 x 2) 6 ). ) c(x) = cos( 2 x) Hinweis: Berechne (sin( 2 x)). 4) d(x) = x e x2 Hinweis: Berechne (e x2 ). Aufgabe.. Eine Düse wird an einen Wasserschlauch angeschlossen und senkrecht nach oben gehalten. Die Geschwindigkeit eines Wassertropfens abhängig von der Zeit t nach dem Austritt 9

10 aus der Düse wird durch die Funktion v beschrieben. v(t) = h (t) = v 0 g t t... Zeit in s g... Erdbeschleunigung in m/s 2 v 0... Austrittsgeschwindigkeit in m/s v(t)... Geschwindigkeit eines Wassertropfens zur Zeit t in m/s Es soll die maximale Höhe h max eines Wassertropfens über der Austrittsöffnung des Gartenschlauchs berechnet werden. Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der maximalen Höhe h max abhängig von der Austrittsgeschwindigkeit v 0 mit h(0) = 0 auf..1 1) A(x) = x sin(x) + cos(x) 2) B(x) = x ln(x) x ) C(x) = 1 4 x x2 ln(x) 4) D(x) = x e x e x 5) E(x) = 1 2 sin2 (x).2 1) A(x) = e x 2) B(x) = 1 24 (4 x 2)6 ) C(x) = 1 2 sin( 2 x) 4) D(x) = 1 2 ex2 v 2. h max = 0 2 g Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.