Mathematik. Lerninhalte selbstständig erarbeiten. Sekundarstufe I. Ahenk Cakar/Simone Schwarzbach

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1 Sekundarstufe I Ahenk Cakar/Simone Schwarzbach Lerninhalte selbstständig erarbeiten 7 Mathematik Mit Tippkarten Schritt für Schritt zur richtigen Lösung Karteikarten als Kopiervorlagen

2 Die Herausgeber: Marco Bettner: Dr. Erik Dinges: Rektor als Ausbildungsleiter, Haupt- und Realschullehrer, Referent in der Lehrerfort- und Lehrerweiterbildung Rektor einer Förderschule für Lernhilfe, Referent in der Lehrerfort- und Lehrerweiterbildung Die Autorinnen: Ahenk Cakar: Haupt- und Realschullehrerin für Mathematik und Kunst Simone Schwarzbach: Haupt- und Realschullehrerin für Mathematik und Deutsch 2013 Auer Verlag, Donauwörth AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Downloads Gedruckt und Kopien auf dieser umweltbewusst Seiten sind nur gefertigtem, für den genannten chlorfrei Zweck gebleichtem gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für und die Weiterleitung alterungsbeständigem an Dritte oder Papier. für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Die Vervielfältigung, Bearbeitung, Verbreitung und jede Art der Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtes bedürfen der vorherigen schriftlichen Zustimmung des 1. Verlages. Auflage 2013 Nach den seit 2006 amtlich gültigen Regelungen der Rechtschreibung Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte externer Sites, die Sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden Auer Verlag AAP (inkl. Lehrerfachverlage entgangener Gewinne), GmbH, die auf Donauwörth Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen externen Websites stehen. Alle Rechte vorbehalten Das Illustrationen: Werk und Corina seine Beurenmeister, Teile sind urheberrechtlich Steffen Jähdegeschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Satz: Fällen Typographie bedarf & der Computer, vorherigen Krefeld schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ISBN: ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Illustrationen: Corina Beurenmeister, Steffen Jähde Satz: Typographie & Computer, Krefeld

3 Inhaltsverzeichnis Vorwort Umgang mit Werte ablesen... 5 Graph einer proportionalen Zuordnung... 6 Proportionale erkennen... 7 Mit proportionalen rechnen... 8 Preise vergleichen Zweisatz Dreisatz bei proportionalen Dreisatz bei antiproportionalen 12 Proportional oder antiproportional? Prozent- und Zinsrechnung Prozente erkennen I Prozente erkennen II Prozente darstellen Umwandeln von Brüchen in Prozent Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Sachaufgabe Prozentrechnung I Sachaufgabe Prozentrechnung II Diagramme Kreisdiagramme zeichnen Einfache Zinsrechnung I Einfache Zinsrechnung II Rationale Zahlen Vergleichen von rationalen Zahlen Rationale Zahlen im Koordinatensystem Addition I Addition II Subtraktion I Subtraktion II Terme vereinfachen Multiplikation bei verschiedenen Vorzeichen.. 42 Multiplikation bei gleichen Vorzeichen Division Terme und Gleichungen Terme aufstellen Terme aufstellen und berechnen Lösen einfacher Gleichungen Vereinfachen und Lösen von Gleichungen Zahlenrätsel lösen Gleichungen aufstellen und lösen Winkel und Dreiecke Nebenwinkel Scheitelwinkel Stufenwinkel Wechselwinkel Winkelsumme im Dreieck Kongruenzsatz I Kongruenzsatz II Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Wahrscheinlichkeitsrechnung Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Anwendung von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zweistufige Zufallseperimente und Baumdiagramm Pfadregel Summenregel Anwendung von Pfad- und Summenregel Gegenereignis bestimmen Quellenverzeichnis

4 Vorwort Das Schönste, was entdeckendes Lernen im Unterricht bewirken kann, sind mathematische Aha-Erlebnisse. Das plötzliche Begreifen von etwas, was kurz vorher noch gedanklich undurchdringbar erschien, ruft in den Schülern 1 nicht nur Stolz auf die eigene Leistung hervor, sondern bildet darüber hinaus eine wichtige Grundlage für das Vertrauen in den eigenen Verstand und in die eigene Urteilsfähigkeit. Die schönste Mathematik ist die selbst entdeckte. Diese Aussage von Prof. Dr. Henn (TU Dortmund) kann auch als Leitsatz für Autorinnen und Herausgeber der vorliegenden Veröffentlichung gelten. Wir möchten ihn gerne noch präzisieren durch Die beim Schüler wirkungsvollste Mathematik ist die selbst entdeckte, denn Inhalte, die den Schülern einfach nur eingetrichtert wurden, haben eine kurze Halbwertzeit und sind schon sehr bald nicht mehr abrufbar. Der amerikanische Psychologe Burrhus Frederic Skinner schreibt dazu: Bildung ist das, was überlebte, wenn das Gelernte vergessen wurde. Auch im Hinblick auf einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht und auf eine sinnvolle und gewinnbringende Lebensvorbereitung ist selbstentdeckendes Lernen unabdingbar, denn die Schüler entwickeln dabei selbst Strategien, erproben und verwerfen sie und suchen neue Lösungswege Fähigkeiten, die in Alltag und Berufsleben unabdingbar sind. Wie geht man als Mathematiklehrer jedoch damit um, wenn ein Schüler nicht weiß, wie er an ein neues Problem herangehen soll oder wenn seine Strategie so gar nicht zum Erfolg führen will? Jeder von uns kennt dies aus seiner tagtäglichen Arbeit. Wir haben im Unterricht hierzu sehr gute Erfahrungen mit dem sinnvollen Einsatz von Tippkarten gemacht. Der Aufbau der Unterrichtshilfe ist klar und einfach: Zu jeder Aufgabenkarte gibt es mehrere Tippkarten, die gestaffelte Hinweise zur Lösung der Aufgaben geben. Sie bieten Differenzierungsmöglichkeiten sowohl auf der quantitativen Ebene als auch auf der Erschließungsebene (handelnd, bildlich oder symbolisch). Die Schüler wählen individuell aus, wie viele Tippkarten sie benötigen, um zur Lösung zu gelangen jeder arbeitet dabei in seinem eigenen Tempo. Zu jeder Aufgabe gibt es jeweils eine Lösungskarte zur Selbstkontrolle. Das übersichtliche Layout der Karten garantiert ein optimales Zurechtfinden: Aufgabenkarte 1 Tippkarte 1 2 Tippkarte 2 3 Tippkarte 3 4 Tippkarte 4 Lösungskarte Die Karten werden (idealerweise vergrößert) kopiert und ggf. laminiert; so können die Schüler ihre Lösung mit Folienstift darauf notieren. Die Tippkarten werden an einem fest vereinbarten Ort im Klassenzimmer abgelegt oder befinden sich in der Hand des Lehrers, der sie dann entsprechend einzeln ausgibt. Folgende Hauptthemen mit allen wesentlichen Unterthemen der Klasse 7 werden abgedeckt: Prozent- und Zinsrechnung Rationale Zahlen Terme und Gleichungen Winkel und Dreiecke Wahrscheinlichkeitsrechnung Viel Erfolg beim Einsatz der Materialien wünschen Herausgeber und Autorinnen 1 Aufgrund der besseren Lesbarkeit ist in diesem Buch mit Schüler auch immer Schülerin gemeint, ebenso verhält es sich mit Lehrer und Lehrerin etc. 4

5 A. Cakar / S. Schwarzbach: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 7 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth UMGANG MIT ZUORDNUNGEN WERTE ABLESEN 1 UMGANG MIT ZUORDNUNGEN WERTE ABLESEN Entfernung vom Parkplatz in km Wanderung der Familie Kunert Ist ein Wert aus dem Ausgangsbereich (x-achse) vorgegeben, musst du den zugeordneten Punkt auf der y-achse ablesen und umgekehrt. Das Ablesen am Graphen funktioniert wie im Koordinatensystem: Die einander zugeordneten Größen kannst du also wie die Koordinaten eines Punktes auffassen und ablesen. 14:00 15:00 Uhrzeit 10:00 11:00 12:00 13:00 10:30 11:30 12:30 13:30 14:30 a) Wie viel km ist die Familie um Uhr vom Parkplatz entfernt? b) Um wie viel Uhr ist die Familie 8 km vom Parkplatz entfernt? c) Begründe, warum es sich um eine Zuordnung handelt, und gib an, was einander zugeordnet wird. 2 UMGANG MIT ZUORDNUNGEN WERTE ABLESEN 3 UMGANG MIT ZUORDNUNGEN WERTE ABLESEN Hier sind die entsprechenden Markierungen eingezeichnet, die dir bei der Lösung der Aufgaben a) und b) helfen: Zu c): Ein Beispiel soll dir helfen, zu erklären, was eine Zuordnung ist: Zuordnung Uhrzeit Temperatur Entfernung vom Parkplatz in km Wanderung der Familie Kunert 10 Uhr 23 C 12 Uhr 24 C 14 Uhr 26 C 16 Uhr 23 C Jeder Uhrzeit kann nur genau ein Temperaturwert zugeordnet werden um 12 Uhr kann es ja nicht 24 C und gleichzeitig 25 C warm sein. Notiere in einem allgemeinen Satz, was man unter einer Zuordnung versteht. 14:00 15:00 Uhrzeit 10:00 11:00 12:00 13:00 10:30 11:30 12:30 13:30 14:30 5

6 UMGANG MIT ZUORDNUNGEN WERTE ABLESEN a) Um Uhr ist die Familie 2 km vom Parkplatz entfernt. b) Um Uhr und um Uhr ist die Familie 8 km entfernt. 300 g Erdbeeren kosten 1,50. Die folgende Wertetabelle gibt dir die Preise für verschiedene Gewichte an: c) Es handelt sich um eine Zuordnung, da jeder Uhrzeit genau eine Entfernung vom Parkplatz zugeordnet ist. Die Zuordnung heißt: Uhrzeit Entfernung Gewicht in g Preis in 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 Bei einer Zuordnung wird jedem Wert aus dem Ausgangsbereich genau ein Wert aus dem zugeordneten Bereich zugewiesen. a) Zeichne den Graphen der Zuordnung. b) Es handelt sich hierbei um eine proportionale Zuordnung. Beschreibe, wie der Graph einer solchen Zuordnung aussieht. 1 2 Zu a): So zeichnet man einen Graphen: Koordinatensystem zeichnen geeignete Einteilung für die Achsen überlegen alle bekannten Wertepaare (x, y) eintragen Zu a): Als Hilfe ist ein Koordinatensystem mit geeigneter Achseneinteilung vorgegeben. Trage die Wertepaare (x, y) ein. Preis in y 2,50 2,00 Punkte verbinden, wenn auch Zwischenwerte möglich sind 1,50 1,00 0, Gewicht in g x A. Cakar / S. Schwarzbach: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 7 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 6

7 A. Cakar / S. Schwarzbach: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 7 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth 3 Zu b): Die folgenden Fragen sollen dir helfen, zu beschreiben, wie der Graph einer proportionalen Zuordnung aussieht: a) Preis in y 2,50 Wo beginnt der Graph? 2,00 Wie sind die Punkte im Koordinatensystem angeordnet? 1,50 1,00 0, Gewicht in g x b) Bei dem Graphen einer proportionalen Zuordnung liegen alle Punkte auf einer Halbgeraden, die im Ursprung bei (0 0) beginnt. PROPORTIONALE ZUORDNUNGEN ERKENNEN 1 PROPORTIONALE ZUORDNUNGEN ERKENNEN Welche der folgenden sind proportional, welche nicht? a) Anzahl Eier Kochzeit in Minuten b) Anzahl Kinder Anzahl Hände Bringst du mir und Tom auch jedem eine Packung mit? Ich gehe Bonbons kaufen. c) Anzahl der Arbeitsstunden Höhe des Lohns d) Alter Körpergröße Begründe jeweils mithilfe eines Rechenbeispiels. Wenn ich die dreifache Menge kaufe, muss ich auch dreimal so viel bezahlen. Hey, das haben wir doch gerade in Mathe, das nennt man proportional! 7