Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen)

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1 Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Peter Albrecht (Mannheim) Die Prüfung des Jahres 2004 im Bereich Finanzmathematik (Grundwissen) wurde am 09. Oktober 2004 mit diesmal insgesamt 210 Teilnehmerinnen und Teilnehmern durchgeführt. Die Prüfung bestand aus einer 90-minütigen Klausur, in der vier Aufgaben gestellt wurden, die sämtlich zu bearbeiten waren. Um die Klausur zu bestehen, mussten mindestens 45 von 90 möglichen Punkten erzielt werden. 1. Aufgabe (22 Punkte) a) Der Value-at-Risk VaR α = VaR α (R) einer Finanzposition mit Rendite R ist definiert durch die Forderung P (R VaR α ) = α, dabei bezeichne α das vorgegebene Konfidenzniveau. Weisen Sie nach, dass unter der Annahme R N(µ, σ 2 ) gilt: VaR α (R) = µ N 1 α σ, wobei N 1 α das (1-α)-Quantil der Standard-Normalverteilung bezeichne. Hinweis: N 1 α = N α b) Gegeben seien drei Aktien mit den folgenden Werten für die zugehörigen Einperiodenrenditen R 1, R 2 und R 3 : E(R 1 ) = 0.2, E(R 2 ) = 0.1, E(R 3 ) = 0.3 Var(R 1 ) = Var(R 2 ) = Var(R 3 ) = 0.1 ρ(r 1, R 2 ) = ρ(r 1, R 3 ) = ρ(r 2, R 3 ) = 0 Die Investmentgewichte x, y und z seien nicht auf den Wertebereich 0 x, y, z 1 beschränkt, sondern können beliebig variieren. Auf der Grundlage einer Lagrange-Optimierung ergibt sich die folgende funktionale Form für die (µ, σ)-koordinaten der lokal (d.h. für einen festen Erwartungswert) varianzminimalen Portfolios: Als Restriktion sei die Bedingung σ 2 = 5µ 2 2µ VaR α (R P ) = 0.1 gefordert, wobei R P die einperiodige Portfoliorendite bezeichne. R P folge einer Normalverteilung; das Konfidenzniveau betrage Bestimmen Sie unter diesen Voraussetzungen die (µ, σ)-position des optimalen Portfolios mit maximaler erwarteter Rendite! Hinweise: N 0.75 = 0.67 und Aufgabenteil a). 85

2 Lösung: Zu a) α = P (R VaR α ) [ R µ = P VaR ] α µ σ σ Da R := (R µ)/σ standardnormalverteilt und definitionsgemäßp (R N α ) = α, muss gelten: VaR α µ = N α = N 1 α. σ Durch Auflösen folgt: VaR α = µ N 1 α σ. Zu b) Restriktion VaR 0.25 = 0.1 ist nach Teil a) äquivalent zu µ N 0.75 σ = 0.1 bzw. µ 0.67 σ = 0.1 bzw. µ = σ. Einsetzen in die Formel der lokal varianzminimalen Portfolios ergibt: σ 2 = 5 ( σ) 2 2 ( σ) = σ σ σ = σ σ σ σ = 0 σ 1,2 = (1.2445) ± ( (1.2445) ) (1.2445) σ 1,2 = ± σ 1 = ; σ 2 = Die (µ, σ)-position mit maximaler erwarteter Rendite ist demnach gegeben durch σ = σ 1 = (34, 34%) und µ = ( ) = (33%). 2. Aufgabe (23 Punkte) 86 a) Es seien Z = {Z 1,..., Z T } und V = {V 1,..., V T } zwei Zahlungsreihen mit zugehörigen Barwerten P Z und P V bzw. Macaulay-Durationen D Z und D V. Von Zahlungsreihe Z werden x Einheiten, von Zahlungsreihe V werden y Einheiten erworben. Weisen Sie nach, dass für die Duration D W der Zahlungsreihe W = xz + yv die folgende Beziehung gilt: D W = x P ZD Z + y P V D V x P Z + y P V.

3 b) Ein Investor möchte einen Anlagebetrag von C bei einem derzeitigen Marktzins von 10% p.a. und flacher Zinsstruktur in festverzinsliche Wertpapiere investieren. Ihm stehen Standard-Zerobonds mit einer Restlaufzeit von einem und sieben Jahren zur Verfügung. Wie muss er sein Investitionsbudget aufteilen, damit sein Vermögen nach vier Jahren gegen mögliche Zinsänderungen, die sich unmittelbar nach Anlage realisieren, immunisiert ist? (Vernachlässigen Sie dabei Ganzzahligkeitsbedingungen.) Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis von Teilaufgabe a). c) Berechnen Sie das Vermögen des Investors nach vier Jahren, wenn sich der Marktzins nach dieser Investition Lösung: Zu a) (i) nicht ändert, (ii) unmittelbar nach Anlage auf 8% absinkt und im Weiteren dort verbleibt, (iii) unmittelbar nach Anlage auf 12% ansteigt und im Weiteren dort verbleibt. Sollten Sie Teilaufgabe b) nicht gelöst haben, gehen Sie von einer hälftigen Aufteilung des Investitionsbudgets aus. Vorüberlegung: Es gilt: Damit folgt: D Z P Z = tz t (1 + r) t, D V P V = tv t (1 + r) t D W = t(xzt + yv t )(1 + r) t (xzt + yv t )(1 + r) t Zu b) = x tz t (1 + r) t + y tv t (1 + r) t x Z t (1 + r) t + y V t (1 + r) t = xd ZP Z + yd V P V xp Z + yp V Investor erwirbt x Einheiten von Zero-Bond 1, sowie y Einheiten von Zero-Bond 2 Zielduration: D W = 4 D Z = 1, D V = 7 P Z = (1 + r) 1 = (1.1) 1 P V = (1 + r) 7 = (1.1) 7 Bedingung 1: I 0 = = xp Z + yp V Folgerung: yp V = I 0 xp Z Bedingung 2: (aus Teilaufgabe a) 4 = D W = xd ZP Z + (I 0 xp Z )D V I 0 x = I 0(4 D V ) P Z (D Z D V ) = 1 2 I 0(1, 1) = 5000 (1, 1) = 5500 Investor erwirbt 5500 Einheiten von Zerobond 1 mit Investitionswert in t = 0 von C

4 Analog: y = I 0 xp Z P V = 5000 (1, 1) 7 = 9743, 58 Investor erwirbt 9743,58 Einheiten von Zerobond 2 mit Investitionswert t = 0 von C Fazit: Es erfolgt eine hälftige Aufteilung des Investitionsbudgets. Zu c) (i) 5000(1,1) (1,1) 4 = (1,1) 4 = (ii) Entwicklung Zero-Bond 1: Rückzahlung zu 1 in t = 1, dann Wiederanlage über 3 Jahre zu 8%, d.h. (1,08) 3 = 1,2597 Entwicklung Zero-Bond 2: Wert in t = 4 entspricht abgezinstem Endwert unter 8%, d.h. (1,08) 3 = 0,7938 Wert in t = 4 insgesamt somit: , ,58 0,7938 = 14663,12 (iii) Analog: 5500 (1,12) ,58 (1,12) 3 = 14662,53 3. Aufgabe (23 Punkte) Unterstellen Sie in dieser Aufgabe, dass Sie eine Aktie A zu dem Zeitpunkt t = 1 durch den Verkauf von Futures (Basisobjekt: eine Einheit der Aktie A) absichern wollen. Ihr Portefeuille umfasst 100 Aktien. Vernachlässigen Sie bei Ihrer Analyse sämtliche Markingto-Market-Effekte. Der gegenwärtige Kurs der Aktie im Zeitpunkt Null beträgt 200 GE, der erwartete Kurs in Zeitpunkt Eins beläuft sich auf 240 GE und die Standardabweichung des Kurses im Zeitpunkt Eins hat eine absolute Höhe von 400 GE. Aus Marktbeobachtungen der Renditen von Nullkuponanleihen haben Sie die im Zeitpunkt Null vorliegende Zinsstrukturkurve für ganzzahlige Restlaufzeiten von einer und zwei Perioden ermittelt. t 1 2 r t (0) 4.5% 3.5% Gehen Sie davon aus, dass der in Frage kommende Future im Zeitpunkt t = 1 fällig ist. a) Berechnen Sie den arbitragefreien Preis im Zeitpunkt t = 0 des im Zeitpunkt t = 1 fällig werdenden Futures mit Hilfe des Cost of Carry-Ansatzes. b) Wie viele Futures müssen Sie verkaufen, wenn Sie ein varianzminimales Hedge anstreben? Begründen Sie Ihre Aussage. Nun sei am Markt kein Future verfügbar, der am Ende Ihres Planungshorizonts t = 1 fällig wird. Stattdessen bietet man Ihnen einen Future an, der eine Restlaufzeit von zwei Perioden hat und somit im Zeitpunkt t = 2 fällig wird. Ersetzen Sie dabei bei Ihren Analysen den (unbekannten) einperiodigen Kassazinssatz r 1 (1) in t = 1 jeweils durch den (bekannten) Terminzinssatz f 2 (0), den Sie heute für eine Mittelanlage in t = 1 für dann eine Periode vereinbaren können. 88 c) Bestimmen Sie zunächst den Terminzinssatz f 2 (0). d) Berechnen Sie den Preis des Futures mit zwei Perioden Restlaufzeit zum Zeitpunkt t = 0 und ferner den erwarteten Preis des Futures in t = 1 (der Future hat dann eine Periode Restlaufzeit). Unterstellen Sie dabei, dass die Zinssätze und Aktienkurse sich gegenseitig nicht beeinflussen.

5 e) Wie viele Futures müssen Sie nun für ein varianzminimales Hedge verkaufen? Vergleichen Sie Ihr jetziges Ergebnis mit demjenigen aus Teilaufgabe b). Lösung: Zu a) Zu b) F 0 = K 0 (1 + r 1 (0)) = 200(1, 045) = 209 x = n = 100 (Absicherungshorizont identisch mit Restlaufzeit) Denn: Für Hedge-Ratio HR gilt: Zu c) HR = β (K T, F T ) = Cov (K T, F T ) Var (F T ) = 1, da F T = K T. [1 + r 2 (0)] 2 = [1 + f 1 (0)] [1 + f 2 (0)] } {{ } =r 1 (0) 1 + f 2 (0) = [1 + r 2(0)] r 1 (0) f 2 (0) = 2, 5% = (1, 035)2 1, 045 = 1, 025 Zu d) F (0, 2) = K 0 (1 + f 1 (0))(1 + f 2 (0)) = 200(1, 045)(1, 025) = 214, 225 F (1, 2) = K 1 (1 + r 1 (1)) = K 1 (1 + f 2 (0)) Es folgt: E[F (1, 2)] = E(K 1 )[1 + f 2 (0)] = 240(1, 025) = 246 Zu e) G 1 = 100(K 1 K 0 ) x(f (1, 2) F (0, 2)) Var(G 1 ) = 100Var(K 1 ) + x 2 Var[F (1, 2)] 200xCov(K 1, F (1, 2)) dvar(g 1 ) dx x = = 10000Var(K 1 ) + x 2 [1 + f 2 (0)] 2 Var(K 1 ) 200x(1 + f 2 (0))Var(K 1 ) = 2x[1 + f 2 (0)] 2 Var(K 1 ) 200(1 + f 2 (0))Var(K 1 ) = f 2 (0) = 97, Aufgabe (22 Punkte) Unterstellen Sie für den Basistitel einer Terminposition einen einperiodigen Binomialprozess mit Startwert s 0 = 100 und einer prozentualen Aufwärtsbewegung von 20% sowie einer prozentualen Abwärtsbewegung von 10%. Der einperiodige Zinssatz für eine sichere Kapitalanlage bzw. Kapitalaufnahme betrage 5%. 89

6 a) Bestimmen Sie den Wert in t = 0 einer einperiodigen Calloption auf den Basistitel, indem Sie die Optionsposition durch Basistitel und Geldanlage/-aufnahme duplizieren. Der Ausübungspreis der Option sei 100. b) Der Marktwert der Calloption aus Aufgabeteil a) entspreche nun nicht dem arbitragefreien Wert, sondern betrage Mit welcher Arbitragestrategie lässt sich aufgrund dieser Konstellation ein risikoloser Gewinn in t = 0 in Höhe von einer Geldeinheit erzielen? Spezifizieren Sie die Arbitragestrategie und weisen Sie nach, dass diese risikolos ist. c) Durch welche Kombination aus Basistitel und sicherer Anlage können Sie die Position eines (1:1) Covered Short Call unter Einsatz der Option aus Aufgabenteil a) duplizieren? Lösung: Zu a) Entwicklung Basistitel: t = 0 t = 1 Für die Call-Option gilt aus Sicht des Investors allgemein C 1 = max(s 1 X, 0), d.h. 20 C 0 0 Die Duplikationsbedingungen lauten somit: (I) 120x + 1, 05y = 20 (II) 90x + 1, 05y = 0 (III) 100x + y = C 0 Aus (I) (II) folgt x = 2/3 und damit y = 60(1.05) 1 = Aus (III) folgt hieraus C 0 = = Zu b) Nach Aufgabenteil a) ist für x = 2/3 und y = die Gleichung 100x + y C 0 = 0 erfüllt und damit für C 0 = anstelle von C 0 = : 100x + y C 0 = 1. Die dieser Finanzposition entsprechende Strategie in t = 0 lautet: i) Verkaufe 2/3 Einheiten (Leerposition: x = 2/3) des Basistitels, Einzahlung: (Short Basistitel) ii) Kaufe Call; Auszahlung: (Long Call) iii) Lege Differenz risikolos zu Zins 5% an (Long Zinsanlage). 90

7 Situation in t = 1? α) In Zustand 1 der Welt, d.h. Wert des Basistitels ist 120 und Wert des Calls ist 20, gilt: Wert der risikolosen Anlage = (1.05) = ( )(1.05) = Call ist im Geld; Ausübung erbringt 20 Geldeinheiten; Kauf von 2/3 Einheiten Basistitel am Markt und Schließen der Short Position kostet: 120 (2/3) = 80. Saldo: Gewinn von β) In Zustand 2 der Welt, d.h. Wert des Basistitels ist 90 und Wert des Calls ist 0, gilt: Wert der risikolosen Anlage ist unverändert Wert Long Call: 0. Kauf von 2/3 Aktien kostet: 60. Saldo: Gewinn von In beiden in t = 1 möglichen Zuständen beträgt Gewinn somit Der sichere Gewinn der Strategie in t = 1 beträgt daher 1.05, zu t = 0 entspricht diese Position einem sicheren Gewinn von 1. Zu c) Für den 1:1 Covered Short Call gilt aus Sicht des Investors zum Zeitpunkt t = 1 allgemein S 1 + min(x S 1, 0) + C 0 (1.05) = min(x, S 1 ) + C 0 (1.05). Dies ergibt die folgende Situation: C 0 (1.05) S C 0 (1.05) Die Duplikationsbedingungen in t = 1 lauten somit: (I) 120x y = C 0 (1.05) = 110 (II) 90x y = 90 + C 0 (1.05) = 100 Aus (I) (II) folgt x = 1/3 und hieraus y = 60(1.05) 1 + C 0 = C 0 = In t = 0 gilt: 100x+y = S 0. Die Erfüllung dieser Gleichung ist aufgrund der angenommenen Arbitragefreiheit gesichert, kann aber auch rechnerisch bestätigt werden. [Aus C 0 folgt mit C 0 = insgesamt S 0 = 100]. 91

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