Funktionale Abhängigkeiten am Dreieck

Transkript

1 M. Bostelmann, DynaGeo: Funktionale Abhängigkeiten 1/5 Funktionale Abhängigkeiten am Dreieck 1. Machen Sie das Koordinatensystem sichtbar [Messen&Rechnen ] und erzeugen Sie folgende Grundfigur: a) Zeichnen Sie drei freie Punkt A, B und P [Konstruieren ]. b) Konstruieren Sie die Halbgerade h von A aus durch P [Konstruieren ]. c) Binden Sie einen Punkt C auf h [Konstruieren ]. d) Wählen Sie im Menü Verschiedenes - Einstellungen... Darstellung und setzen Sie einen Haken vor Polygone beim Erzeugen automatisch füllen und übernehmen Sie die Einstellungen. e) Konstruieren Sie das Dreieck ABC [Konstruieren ]. Klicken Sie dann mit der rechten Maustaste auf das Dreieck und setzen Sie das Füllmuster auf voll und die Farbe auf ein helles blau. Sie sollten nun etwa das folgende Bild sehen: 2. Wenn man den Punkt C auf h hin- und herschiebt, verändern sich die Längen der Strecken AC und BC. Wir untersuchen nun die Abhängigkeit der Längen BC von der Länge AC. Dazu müssen wir die Längen dieser Strecken zunächst messen. a) Messen Sie jeweils die Abstände der Punkte A, C und B, C. [Messen&Rechnen ]

2 M. Bostelmann, DynaGeo: Funktionale Abhängigkeiten 2/5 b) Erzeugen Sie einen Punkt mit Koordinaten. [Konstruieren ] Klicken Sie für die x-koordinate auf das Abstandsrechteck der Strecke AC, es erscheint d(a;c). Als y-koordinate wählen Sie die Länge der Strecke BC. Diesen Punkt nenne ich im Folgenden Spurpunkt, da er die Spur für die Ortslinie erzeugen wird. Wenn Sie jetzt den Punkt C auf h bewegen, können Sie die Bahn des Spurpunktes beobachten. c) Über die Menüleiste Verschiedenes - Einstellungen... gelangen Sie in das Einstellungsmenü. Wählen Sie dort Ortslinien aus und setzen Sie je einen Haken vor... als Bezier-Kurven darstellen und vor...als dynamische Ortslinie erzeugen. Die unteren Kästchen bleiben frei und der minimale Abstand der Stützpunkte sollte auf 10 eingestellt sein. Übernehmen Sie dann die neuen Einstellungen. d) Gehen Sie nun in den Aufzeichnungsmodus für Ortslinien [Hauptmenü ] und markieren Sie den Spurpunkt. Bewegen Sie anschließend den Punkt C auf h und zeichnen Sie so die Ortslinie des Spurpunktes auf. Ihr Bildschirm sollte jetzt etwa so aussehen: Bei der Arbeit mit Schülern bieten sich nun z.b. folgende Aufgabenstellungen an: 1) Beschreibe die Abhängigkeiten der Streckenlängen anhand des Graphen und begründe dessen Form. 2) Untersuche den Graphen für verschiedene Formen des Dreiecks. 3. Wir wollen nun den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von der Strecke AC untersuchen. a) Klicken Sie mit der rechten Maustaste auf das Dreieck und wählen Sie Benennen.... Geben Sie dem Dreieck den Namen Dreieck.

3 M. Bostelmann, DynaGeo: Funktionale Abhängigkeiten 3/5 b) Erzeugen Sie ein Termobjekt [Messen&Rechnen ] und geben Sie dort ein area(dreieck). Es erscheint ein Rechteck-Fenster mit dem Flächeninhalt des Dreiecks. Die area-funktion ist auf beliebige Polynome ohne Selbstüberschneidung und auf Kreise anwendbar. c) Erzeugen Sie einen weiteren Spurpunkt, der als x-koordinate die Länge der Strecke AC hat und als y-koordinate den Flächeninhalt des Dreiecks (auf das Termobjekt klicken) und färben Sie ihn rot (rechte Maustaste). Man kann an dieser Stelle auch auf das Termobjekt verzichten und als y-koordinate direkt area(dreieck) eingeben. Hinweis: Möglicherweise werden Sie den neuen Punkt nicht sehen, nämlich dann, wenn der Flächeninhalt Ihres Dreiecks den Bereich der y-achse überschreitet. Leider gibt es in DynaGeo offenbar keine Möglichkeit, die Achsen beliebig zu skalieren. Sie haben nun drei Möglichkeiten: (1) Sie verkleinern den Flächeninhalt des Dreiecks, indem Sie den Punkt C in Richtung A schieben. Damit machen Sie zwar den Punkt sichtbar, aber der Bereich, der untersucht werden kann, bleibt recht klein. (2) Sie klicken mit der rechten Maustaste auf einen freien Bereich des Blattes und wählen Zeichnung verkleinern. Gegebenenfalls müssen Sie diesen Vorgang mehrmals wiederholen. Dabei wird natürlich auch das Dreieck verkleinert. (3) Sie skalieren den Flächeninhalt manuell, indem Sie in dem Termobjekt z.b. area(dreieck)/2 eingeben. d) Erzeugen Sie die Ortslinie des neuen Spurpunktes. Ihr Bildschirm sollte dann etwa so aussehen Schülern fällt sofort auf, dass es sich offenbar um eine (Ursprungs-) Gerade handelt. Auch bei Veränderung der Dreiecksform bleibt es dabei. Diese Vermutung gilt es nun zu beweisen.

4 M. Bostelmann, DynaGeo: Funktionale Abhängigkeiten 4/5 Aufgaben 1. In einen Kreis wird ein gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben. Untersuche dessen Flächeninhalt in Abhängigkeit von der Höhe h über der Basis. Hinweis: Dreiecksfläche z.b. mit A benennen und ein Termobjekt mit dem Inhalt area(a) erstellen. 2. Bei einem Rechteck werden bei konstantem Umfang die Seitenlängen verändert. Stellen Sie den Flächeninhalt der Rechtecksfläche in Abhängigkeit von der Länge einer Seite grafisch dar. (Datei mit fertigem Rechteck: rechteck.geo) 3. Ein alter Bekannter: Aus einem quadratischen Stück Blech soll eine oben offene Schachtel hergestellt werden. Dazu werden an den Ecken kleine Quadrate herausgeschnitten, die Seitenteile nach oben geknickt und verlötet. Untersuchen Sie das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von der Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate. Oder mal was Neues: Untersuchen Sie das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von der Menge des anfallenden Abfalls. Interessant ist auch folgende Variante: Der Abfall wird für 30% des Einkaufspreises an einen Schrotthändler verkauft. Bei welcher Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate sind die Kosten pro Volumen am geringsten? Konstruktionshilfe a. Binden Sie zwei Punkte auf die x-achse (im neg. Bereich) und konstruieren Sie darüber ein Quadrat. b. Verstecken Sie alle Hilfslinien (rechte Taste) sowie eine eventuelle Füllung des Quadrats und konstruieren Sie den Mittelpunkt der oberen Quadratseite. Konstruieren Sie die Strecke zwischen diesem Mittelpunkt und dem linken oberen Eckpunkt. Binden Sie den Punkt P auf diese Strecke. Mit P wird später der Quadratausschnitt geregelt. c. Wir müssen nun noch die fehlenden Ecken des Schachtelpolygons konstruieren. Einen Punkt erhält man mit einem Kreis durch P, einen weiteren durch zwei orthogonale Hilfsgeraden. Die übrigen kann man z.b. durch Spiegelung an geeigneten Achsen erzeugen. Schalten sie vorher im Menü Verschiedenes/Einstellungen/Abbildungen die automatische Spurerzeugung aus.

5 M. Bostelmann, DynaGeo: Funktionale Abhängigkeiten 5/5 d. Konstruieren Sie dann das Schachtelpolygon und färben Sie es ein. Heben Sie eine Seite des Quadratausschnittes hervor und nennen Sie diese x. e. Jetzt können Sie die nötigen Längen als Abstände messen und mithilfe eines Termobjektes das Volumen der Schachtel berechnen. Die Längen übernehmen Sie in das Termobjekt am einfachsten durch anklicken der Zahlobjekte. Damit das Volumen in das Koordinatensystem passt, sollten Sie noch mit einem geeigneten Skalierungsfaktor multiplizieren. f. Zeichnen Sie nun den Graphen als Ortslinie auf. 4. Machen Sie das Koordinatensystem sichtbar und zeichnen Sie zwei freie Punkte A und B sowie einen Punkte P, der auf die x-achse gebunden ist. Stellen Sie die Summe (Differenz) der Abstände von P zu A und P zu B in Abhängigkeit von der x-koordinate des Punktes P dar. Diskutieren Sie die Form der Kurve bei unterschiedlichen Lagen der Punkte A und B. 5. Konstruieren Sie die Punkte A, B und P wie in 4. und stellen Sie die Abhängigkeit des Blickwinkels, unter dem die Strecke AB von P aus gesehen wird, in Abhängigkeit von der x-koordinate des Punktes P dar. Diskutieren Sie die Form der Kurve bei unterschiedlichen Lagen der Punkte A und B.