Geometrie 0.1. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

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1 Geometrie 0.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

2 Geometrie 0.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 0 Geometrie!? 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-, Winkel- und Flächenmessungen 4 Elementare Anwendungen 5 Ähnlichkeitsabbildungen

3 Geometrie 0.3 Geometrie Kapitel 0: Geometrie?!

4 Geometrie 0.4 Inhaltsverzeichnis Kapitel 0: Geometrie?! 0.1 Was ist Geometrie? 0.2 Beispiel: Bagger 0.3 Paradoxon: Jedes reieck ist gleichschenklig!? 0.4 Exkurs: Beweistechniken

5 Geometrie 0.5 Kapitel 0: Geometrie?! 0.1 Was ist Geometrie?

6 Geometrie 0.6 Geometrie?! Geometrie ist die Wissenschaft vom uns umgebenden Raum. Geometrie ist das älteste mathematische Teilgebiet. Über viele Jahrhunderte hinweg bestand die Mathematik im wesentlichen aus Geometrie. Ägypter & Babylonier (ab 3000 v. hr.): Geometrie ist eine Naturwissenschaft. Man fragte nicht nach logischer Ableitbarkeit, sondern nach Übereinstimmung mit der Realität. Man wusste zum Beispiel, wie man rechte Winkel konstruieren konnte, und das reichte.

7 Geometrie 0.7 Geometrie als erste (deduktive) Wissenschaft ie alten Griechen entdeckten die Macht des enkens, die Logik und damit auch die Möglichkeit der Mathematik. Man kann durch reines enken Erkenntnisse erzielen! as enken folgt gewissen Regeln, den Gesetzen der Logik. Wenn die Voraussetzungen eines logischen Schlusses gegeben sind, dann gilt automatisch auch die Folgerung. ie Elemente des Euklid sind streng deduktiv aufgebaut. Es wird zwischen Grundbegriffen und definierten Begriffen unterschieden. Ausgehend von wenigen Grundsätzen (Axiomen) werden durch logisches Schließen Folgesätze bewiesen. more geometrico Im Mittelalter in allen universitären isziplinen Ausdruck für streng logisch ( wissenschaftlich ) aufgebaute Argumentationsketten.

8 Geometrie 0.8 Geometrie und Wirklichkeit Platon ( v. hr.) Es gibt zwei Welten: die Welt der Ideen (die eigentliche Welt) und die Welt der Erscheinungen (die nur ein Abbild / Schatten der Idealen Welt ist). Immanuel Kant ( ) Geometrie ist ein Produkt unseres Verstandes: synthetische Urteile a priori. avid Hilbert ( ): Es werden nicht die Objekte definiert (Es wird z. B. nicht erklärt was ein Punkt ist!), sondern nur die Spielregeln festgelegt, also wie mit den Objekten umzugehen ist. Man muss jederzeit an Stelle von Punkte, Geraden, Ebenen Tische, Stühle, Bierseidel sagen können.

9 Anschauung, Begriffe und Ideen Geometrie 0.9 So fängt denn alle menschliche Erkenntnis mit Anschauung an, geht von da zu Begriffen und endigt mit Ideen. Kant: Kritik der reinen Vernunft, Elementarlehre T. 2. Abt. 2. ie Geometrie bedarf ( ) zu ihrem folgerichtigen Aufbau nur weniger einfach Grundsätze. iese Grundsätze heißen Axiome der Geometrie. ie Aufstellung der Axiome der Geometrie ( ) läuft auf die logische Analyse unserer räumlichen Anschauung hinaus. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Einleitung

10 Geometrie 0.10 Kapitel 0: Geometrie?! 0.2 Beispiel: Bagger

11 Bewegungen einer Baggerschaufel Geometrie 0.11

12 Geometrie 0.12 Krandreieck A B

13 Geometrie 0.13 Krandreieck A B

14 Bewegungen einer Baggerschaufel Geometrie 0.14

15 Bewegungen einer Baggerschaufel Geometrie 0.15

16 Geometrie 0.16 Gelenkviereck(modell)

17 Geometrie 0.17 Gelenkviereck GS-Modell

18 Geometrie 0.18 Gelenkviereck A B

19 Geometrie 0.19 Gelenkviereck A B

20 Geometrie 0.20 Gelenkviereck A B

21 Geometrie 0.21 Gelenkviereck mit 0 α 360 Bedingung für α = 0 Alle Punkte des Vierecks AB liegen auf AB. araus ergibt sich für die Streckenlängen: (I) AB + B = + A Bedingungen für α = 360 A liegt zwischen und. (II) = A + A A liegt zwischen und B. (III) B = A + AB

22 Geometrie 0.22 Gelenkviereck mit 0 α 360 Bedingung für α = 0 Alle Punkte des Vierecks AB liegen auf AB. araus ergibt sich für die Streckenlängen: (I) AB + B = + A Bedingungen für α = 360 (II) A liegt zwischen und. = A + A A liegt zwischen und B. (III) B = A + AB (II) (III): B = A AB (IV) + AB = A + B (IV) (I): B = B 2 = 2 B = B (*) (*) in (I) einsetzen: AB + B = B + A AB = A (**) Aus (*) und (**) folgt: AB ist ein symmetrisches rachenviereck.

23 Geometrie 0.23 Axiome der Anordnung Pasch: Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig 1882 Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1899 Moritz Pasch ( ) avid Hilbert ( )

24 Geometrie 0.24 Kapitel 0: Geometrie?! 0.3 Paradoxon: Jedes reieck ist gleichschenklig.

25 Geometrie 0.25 Anordnung, wozu? Paradoxon: Jedes reieck ist gleichschenklig. Beweis: Im reieck AB halbiere den Innenwinkel bei und sei M Mittelsenkrechte auf AB. ann ist E F nach Kongruenzsatz WSW. AM BM nach Kongruenzsatz SWS. Aus E = F, A = B, AE = BF = 90 folgt mit SsW: AE BF Also ist AE = BF. amit ist A = B. AB ist gleichschenklig. Wo steckt der Fehler?

26 Geometrie 0.26 Kapitel 0: Geometrie?! 0.4 Exkurs: Beweistechniken

27 Geometrie 0.27 Exkurs: Beweistechniken Zu zeigen: p q irekter Beweis Erinnerung: a) (p q) ( p q) ( q p) b) (p q) ( p q) (p q) Man geht von der Voraussetzung p aus und argumentiert durch eine Kette logischer Schlüsse so lange, bis man bei der Behauptung q ankommt. Indirekter Beweis Man nimmt q an und schließt dann auf p, man zeigt also in Wirklichkeit die Kontraposition q p. Wenn Herr Roth kommt, dann ist er pünktlich. Widerspruchsbeweis Hier führt man die Negation der zu beweisenden Aussage p q, also die Aussage p q, zum Widerspruch. Man nimmt also sowohl p als auch q an und schließt dann solange weiter, bis man auf einen Widerspruch stößt.

28 Exkurs: Beweistechniken irekter Beweis Geometrie 0.28 Behauptung: Für alle n N gilt: Ist n ungerade, dann ist auch n 2 ungerade. p ist die Aussage n ist ungerade und q ist die Aussage n 2 ist ungerade. Zu zeigen ist p q. Beweis (direkt): n ungerade k N0 n = 2k + 1 n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 n 2 ungerade N 0 amit ist die Implikation p q, also die Behauptung bewiesen. #

29 Exkurs: Beweistechniken Indirekter Beweis Geometrie 0.29 Behauptung: Für alle n N gilt: Ist n 2 ungerade, dann ist auch n ungerade. p ist die Aussage n 2 ist ungerade und q ist die Aussage n ist ungerade. Zu zeigen ist p q. Beweis (indirekt): Aus der Annahme q ist p zu folgern. Wir zeigen also die zur Behauptung äquivalente Behauptung q p. ies bedeutet: Ist n gerade, dann ist auch n 2 gerade. n gerade k N n = 2k n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) n 2 gerade N amit ist q p, also auch die Behauptung bewiesen. #

30 Exkurs: Beweistechniken Widerspruchsbeweis Geometrie 0.30 Behauptung: Für alle n N gilt: Ist n 2 ungerade, dann ist auch n ungerade. p ist die Aussage n 2 ist ungerade und q ist die Aussage n ist ungerade. Zu zeigen ist p q. Widerspruchsbeweis: ie Negation (p q) der zu beweisenden Aussage, also p q, das ist die Aussage n 2 ist ungerade und n ist gerade. wird zum Widerspruch geführt. (*) n 2 ungerade und n gerade ( i N n 2 = 2i ) ( k N n = 2k ) ( i N n 2 2i ) ( k N n 2 = (2k) 2 ) ( i N n 2 2i ) ( k N n 2 = 2(2k 2 )) Widerspruch! amit ist (*) falsch und das Gegenteil, die Behauptung richtig. # N