Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck

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1 -. ein Aufgbe us der pnischen Tempelgeometrie 3. August 006 Gegeben sei ds gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge. Auf der öhenlinie h c = CD befinden sich die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k. Der Kreis k 1 tngiert die Seite AB im Punkt D. Der Kreis k tngiert die Seiten AC und BC des Dreiecks. Die gemeinsmen Tngenten t 1 t der Kreise lufen durch die Punkte A bzw. B. 1. Bestimme den Rdius von k 1 und k für den Fll dss beide Kreise gleich groß sind.. Berechne den Rdius R von k wenn der Rdius r für k 1 gegeben ist. D? Abbildung 1: Bild zur Aufgbenstellung 1

2 Lösungsvorschlg I nch einer Idee von Peter Strtmnn Bonn D? $ = = Abbildung : Skizze zum Lösungsweg I Der Mittelpunkt M 1 von k 1 befindet sich uf der Winkelhlbierenden von SAD = β. Ebenso liegt der Mittelpunkt M von k uf der Winkelhlbierenden von CAS = δ (siehe Abbildung ). Die Summe der Winkel β δ ist konstnt und beträgt 60 (Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck): β δ = 60 β δ = M 1 AM = 30 = const. (1) Im rechtwinkligen Dreieck ADM 1 ergibt sich: tn β = r / = r () Der Abschnitt CM uf der öhenlinie h c des Dreiecks folgt us: sin 30 = R CM CM = R (3) Die Strecke DM uf der öhenlinie h c = CD berechnet sich us der Differenz: DM = h c CM = 3 R ()

3 Im rechtwinkligen Dreieck ADM ergibt sich: tn(β δ) = DM 3 / = R / = 3 R () Die Anwendung eines Additionstherems liefert: tn(x y) = tn(β 30 ) = tn x tn y 1 tn x tn y tn β tn 30 1 tn β tn 30 = 3 R Mit dem Resultt us (1) und tn 30 = 1 3 erhlten wir: r r 3 1 = 3 R (6) (7) (8) Nch Beseitigung der Doppelbrüche erhlten wir: 3 6r 3 3 r = 3 R (9) Für Aufgbenstellung 1 setzen wir R = r und lösen nch r uf: 3 6r 3 3 r = 3 r ( 3 6r = 3 ) ( ) r 3r 3 (10) (11) 3 6r = 3 3 6r 1r 8 3r (1) schließlich erhlten wir eine qudrtische Gleichung zur Bestimmung von r: 8 3r r 3 = 0 r 1/ = (3 ± 6) 3 (13) D beide Kreise innerhlb vom Dreieck ABC liegen sollen folgt ls Lösung: r = (3 6) 3 = ( 3 ) (1) Bei Aufgbenstellung ist R gesucht: 3 6r 3 3 r = 3 R R = ( 3 6r) 6 3 r (1) 3

4 - M I. Lösungsvorschlg II O = = Abbildung 3: Skizze zum Lösungsweg II für r = R Wir gehen in Abbildung 3 dvon us dss beide Kreise gleich große Rdien besitzen. Die Tngentenbschnitte t vom Punkt S n die Kreise k 1 und k sind dnn gleich groß. Der Abschnitt y = CM uf der öhenlinie des Dreiecks folgt us: sin 30 = r y y = r (1) Die Strecken s = M 1 S und w = SM sind gleich lng und berechnen sich us dem Pythgors: s = w = t r () Die öhe h c = CD setzt sich wie folgt zusmmen: h c = 3 = r s w y = 3r t r (3) Betrchten wir nun ds rechtwinklige Dreieck BDS: BDS : ( t ) = ( r t r ) ()

5 M I 0 = Nch usmultiplizieren der Qudrte und zusmmenfssen erhlten wir : r (r t r ) = t () Die Gleichungen (3) und () werden mit einem Computerlgebrsystem nch rt ufgelöst. Für = 10 wird eine numerische Näherung ngegeben. r = ( 3 ) t = ( 6 ) (6) Berechnung von R bei gegebenen r = = Abbildung : Lösungsvorschlg II Berechnung von R bei gegebenen r Im Dreieck BCD beträgt der Winkel BCD = 30. Drus folgt: CM = R = R (7) sin30 Der Mittelpunkt von Kreis k 1 liegt uf der Winkelhlbierenden von DBS. Wir können den Stz des Apollonius zur Anwendung bringen: Die Winkelhlbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältniss der nliegenden Seiten. BDS : s r = / t / (8)

6 Anlog liegt M uf der Winkelhlbierenden von CBS und es gilt mit dem Stz des Apollonius: BSC : R w = / t (9) Im rechtwinkligen Dreieck SM 1 gilt der Pythgors: s = t r (10) Die öhe h c setzt sich zusmmen us: h c = 3 = R w s r = R w t r r (11) Die Gleichungen (8)(9) und (11) werden nch wtr ufgelöst: {{ ( ) ( ) } w r R r t 0 { w ( r )( 3 r 3r ) 6 3 r 3r R ( 3 }} r 3r ) 6 8r t r r Die erste Lösung ist us geometrischer Sicht nicht sinnvoll d t = 0 ist. Die zweite Lösung liefert die gewünschte Formel us der wir den Rdius R bei gegebenen r bestimmen können. R = ( 3 r 3r ) 6 8r (1) 6

7 - M K K. L Lösungsvorschlg III O $ = Abbildung : Skizze zum Lösungsvorschlg III Berechnung für r = R Der Mittelpunkt M 1 von k 1 befindet sich uf der Winkelhlbierenden von DBS = β. Ebenso muss der Mittelpunkt M von k uf der Winkelhlbierenden von CBS = δ liegen (siehe Abbildung ). Die Summe der Winkel β δ ist konstnt und beträgt 60 : β δ = 60 β δ = M 1 BM = 30 = const. (1) Die Strecke w = M 1 M können wir us der Differenz der öhe h c = CD und den Kreisrdien berechnen: w = M 1 M = h c r y = h 3r h c = 3 () Die Länge der Strecken u = BM 1 und v = BM folgt us dem Pythgors: u = r v = (h r) Mit dem Kosinusstz im Dreieck M 1 BM erhlten wir eine Beziehung zur Berechnung von r: M 1 BM : w = u v uv cos(β δ) () (3) 7

8 - M K L. Nch einsetzen der Resultte us (1).. (3) erhlten wir: 8r 3( r ) 3 r r = ( 3r) () Die Lösung der Gleichung () ergibt: r 1 = ( ) 3 r = ( 3 ) 11 Für uns kommt nur die erste Lösung in betrcht d die Kreise innerhlb vom Dreieck liegen müssen. Die Konstruktion der Strecke r 1 mit Zirkel und Linel ist einfch möglich. Die öhe im gleichseitigen Dreieck ABC mit der Seitenlänge beträgt h = 3/. Von dieser öhe subtrhiert mn die älfte der Digonlen eines Qudrtes mit der Seitenlänge. Berechnung von R bei gegebenen r (6) $ Abbildung 6: Skizze zum Lösungsweg III Berechnung von R Wir benutzen den Lösungsnstz wie im vorngegngenen Abschnitt. Der Winkel M 1 BM = 30 bleibt für beliebiges Verhältniss r/r konstnt d.h. die beiden Rdien müssen nicht zwingend wie in Aufgbenstellung 1 gefordert gleich groß sein. Die Strecke w = M 1 M können wir us der Differenz der öhe h c = CD und den Kreisrdien rr berechnen: w = M 1 M = h c r y = h c r R h c = 3 (7) 8

9 Die Länge der Strecken u = BM 1 und v = BM folgt us dem Pythgors: u = r v = (h R) (8) Mit dem Kosinusstz im Dreieck M 1 BM erhlten wir eine Beziehung zwischen den beiden Rdien: M 1 BM : w = u v uv cos(β δ) (9) Nch einsetzen der Resultte us (7) und (8) erhlten wir: 8r R 3( r ) 3R R = ( 3r) (10) Gleichung (10) lösen wir nch R uf: R 1 = 3 r R = 3r ( 3 r ) (11) Für uns kommt nur die zweite Lösung in Betrcht d der Kreis k innerhlb vom Dreieck ABC liegen muß. 9

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