Klausur zum Modul 2 im SS 2004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2004

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Heinz Kalb
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1 Klausur zum Modul im SS 004 und Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 004 PO neu PO alt Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-nzahl im SS 004:... Studiengang G/H/R... Tutor/in:... ufg.1 ufg, ufg.3 ufg.4 ufg.5 ufg.6 Punkte aus Gesamt aus Einf. Geo Übungen 10 Punkte 10 Punkte 10 Punkte 10 Punkte 10 Punkte 10 Punkte 6 Punkte max.60 Punkte Didaktik (neue PO) 0 Punkte Gesamtpunkte Note Hinweis für Studierende nach der alten Prüfungsordnung (ohne Didaktik-ufgaben) Erreichbar sind 60 Punkte. Jede ufgabe aus der Einführung in die Geometrie zählt 10 Punkte. Für das estehen der Klausur genügen (einschließlich der Punkte aus den Übungen) 30 Punkte Hinweis für Studierende nach der neuen Prüfungsordnung (mit Didaktik-ufgaben) Die akademische Teilprüfung im Modul besteht aus der Einführung in die Geometrie und aus Didaktik-ufgaben! In der Klausur Einführung in die Geometrie zählt jede ufgabe 10 Punkte. Sie können einschließlich der Punkte aus den Übungen aber maximal nur 60 Punkte erreichen. In den Didaktik-ufgaben sind 0 Punkte erreichbar. Für das estehen der Klausur genügen insgesamt 40 Punkte (Note ausreichend ). Notieren Sie bitte Ihren Namen, Vornamen und Matrikelnummer auch auf den Seiten mit den Didaktikaufgaben.

2 ufgabe 1 a) Durch eine Kongruenzabbildung f wurde auf abgebildet. Um welche rt der Kongruenzabbildung handelt es sich? egründung. Ermitteln Sie aus der Zeichnung die charakteristischen Daten von f. Konstruieren Sie f(p) = P ' ' P '

3 b) Eine andere Kongruenzabbildung g bildet auf ab. Um welche rt der Kongruenzabbildung handelt es sich? egründung. Konstruieren Sie g(p) = P. '' '' '' P

4 ufgabe Nach einer Drehung D 1 um das Zentrum Z 1 um den Winkel 90 0 wird eine Drehung D um das Zentrum Z um den Winkel 60 0 ausgeführt. Welche bbildung ergibt sich durch die Verkettung D 1 D? Die charakteristischen Daten der bbildung können einer geeigneten Zeichnung entnommen oder dort markiert werden (d.h. auf eine erechnung wird verzichtet.) Z 1 Z

5 ufgabe 3 Das Dreieck soll zu einem Dreieck verändert werden. Dabei soll stets die Seite festgehalten werden; kann eine andere Lage einnehmen und geht in über. estimmen Sie die Orte, an denen liegen kann, wenn folgende edingungen zusätzlich gelten: (Sie sollen stets alle möglichen Lagen von angeben; die Lösung muss in Stichworten kurz begründet werden) a) Dreieck und Dreieck haben denselben Flächeninhalt. b) Dreieck ist bezüglich des Flächeninhalts halb so groß wie Dreieck. c) Von aus erscheint die Seite unter demselben Winkel wie von aus.

6 ufgabe 4 a) Konstruieren Sie die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise. b) estimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der Tangenten mit der x-chse. Mittelpunkte der Kreise: M 1 (-5/0), M (4/0) Radien der Kreise: r 1 =4 LE, r = LE. y M 1 M

7 ufgabe 5 Verwandeln Sie ohne zu messen oder zu rechnen das gezeichnete Dreieck in ein dazu flächeninhaltsgleiches Quadrat. Welche Sätze verwenden Sie bei Ihrem Vorgehen?

8 ufgabe 6 Inkreis und Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks a) Zeigen Sie: eim gleichseitigen Dreieck ist der Umkreisradius doppelt so groß wie der Inkreisradius. b) Vergleichen Sie den Umfang des Umkreises und des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks. (Ihr Ergebnis ist stichwortartig zu begründen.) c) Vergleichen Sie den Flächeninhalt des Umkreises und des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks. (Ihr Ergebnis ist stichwortartig zu begründen.)

9 Lösungen ufgabe 1 a) Durch eine Kongruenzabbildung f wurde auf abgebildet. Um welche rt der Kongruenzabbildung handelt es sich? egründung. Ermitteln Sie aus der Zeichnung die charakteristischen Daten von f. Konstruieren Sie f(p) = P P' ' ' P ' 60 Z Umlaufsinn bleibt erhalten f ist Verschiebung oder Drehung Die Mittelsenkrechten von ' und ' schneiden sich in genau einem Punkt f kann nur Drehung sein Drehzentrum Z: Schnitt der Mittelsenkrechten von ' und ' Drehwinkel α: Winkel Z 60 Punkt P um Z mit Drehwinkel 60 drehen ergibt P

10 b) Eine andere Kongruenzabbildung g bildet auf ab. Um welche rt der Kongruenzabbildung handelt es sich? egründung. Konstruieren Sie g(p) = P. '' P'' '' ' '' v ' ' P Umlaufsinn bleibt nicht erhalten f ist chsenspiegelung oder Schubspiegelung. Verbindungsstrecken ' ' nicht parallel f kann nur Schubspiegelung sein. Schubspiegelachse: Verbindungsgerade g der Mittelpunkte von ' und ' ist die Schubspiegelachse. Verschiebungsvektor: Spiegeln von Punkt ergibt, Verbindungsvektor ist der Verschiebungsvektor v. Spiegeln von P an g und Verschieben mit Vektor v ergibt P. (Daten der bbildung waren nicht unbedingt verlangt) lternativ: ilde P auf ein deckungsgleiches P mit umgekehrtem Umlaufsinn ab. Zur Konstruktion wird der Kongruenzsatz SSS verwandt sowie die Tatsache, dass eine Kongruenzabbildung eindeutig durch die bbildung eines Dreiecks eindeutig bestimmt ist.. P' 1,4 cm '' '' '' 8,3 cm P

11 ufgabe Nach einer Drehung D 1 um das Zentrum Z 1 um den Winkel 90 0 wird eine Drehung D um das Zentrum Z um den Winkel 60 0 ausgeführt. Welche bbildung ergibt sich durch die Verkettung D 1 D? Die charakteristischen Daten der bbildung können einer geeigneten Zeichnung entnommen oder dort markiert werden (d.h. auf eine erechnung wird verzichtet.) Z 1 g 1 45 g 8 cm Z Z 3 g 4 5,9 cm bbildung D 1 wird durch Doppelspiegelung an chsen g 1 und g durch Z 1 mit Winkel 45 dargestellt. bbildung D wird durch Doppelspiegelung an chsen g 3 und g 4 durch Z mit Winkel 30 dargestellt, wobei g =g 3 ist; daher muss g die Verbindungsgerade von Z 1 und Z sein. Z 3 ist der Schnittpunkt von g 1 und g 4. Es ergibt sich für D 1 D eine Drehung um Z 3 um den Winkel =150. Oder: der Winkel zwischen g 1 und g 4 beträgt 75, D 1 D ist also eine Drehung um Z 3 um 150.

12 ufgabe 3 Das Dreieck soll zu einem Dreieck verändert werden. Dabei soll stets die Seite festgehalten werden; kann eine andere Lage einnehmen und geht in über. estimmen Sie die Orte, an denen liegen kann, wenn folgende edingungen zusätzlich gelten: (Sie sollen stets alle möglichen Lagen von angeben; die Lösung muss in Stichworten kurz begründet werden) a) Dreieck und Dreieck haben denselben Flächeninhalt. liegt auf zwei Parallelen zu, die den gleichen bstand zu haben wie, da der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks bei fester Seite gleich halbe Höhe h c ist. b) Dreieck ist bezüglich des Flächeninhalts halb so groß wie Dreieck. liegt auf zwei Parallelen zu, die den halben bstand zu haben wie, da der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks bei fester Seite gleich halbe Höhe h c ist. c) Von aus erscheint die Seite unter demselben Winkel wie von aus. liegt auf zwei Kreisen durch, die durch und den an gespiegelten Punkt gehen (Umfangswinkelsatz)

13 ufgabe 4 a) Konstruieren Sie die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise. b) estimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte der Tangenten mit der x-chse. Mittelpunkte der Kreise: M 1 (-5/0), M (4/0) Radien der Kreise: r 1 =4 LE, r = LE. Konstruktion 1 y M 1 M oder Konstruktion y M 1 M erechnung: Strahlensätze Äußeres Zentrum Z: (Rechnung ohne Einheiten) r1 r =, 1 M Z M Z M M = 9, M Z M M M Z 1 = Inneres Zentrum Z analog. r1 r =, 1 M Z M Z M 1 M = 9, Z M M M Z M 1 1 = = Z M Z M = Z M Z M, M Z 9 Z(13/0) =, M Z 3 Z(1/0) =

14 ufgabe 5 Verwandeln Sie ohne zu messen oder zu rechnen das gezeichnete Dreieck in ein dazu flächeninhaltsgleiches Quadrat. Welche Sätze verwenden Sie bei Ihrem Vorgehen? Verwandte Sätze: Dreieck in Rechteck verwandeln: gleiche Grundseite, halbe Höhe (Zerlegungsgleichheit von Dreieck und Rechteck gleicher Seite und mit halber Dreieckshöhe als weiterer Seite) Satz des Thales zur Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks dessen Hypotenusenabschnitte die Rechtecksseiten sind, Höhensatz

15 ufgabe 6 Inkreis und Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks a) Zeigen Sie: eim gleichseitigen Dreieck ist der Umkreisradius doppelt so groß wie der Inkreisradius. b) Vergleichen Sie den Umfang des Umkreises und des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks. (Ihr Ergebnis ist stichwortartig zu begründen.) c) Vergleichen Sie den Flächeninhalt des Umkreises und des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks. (Ihr Ergebnis ist stichwortartig zu begründen.) a) lle speziellen Linien im gleichseitigen Dreieck fallen zusammen. Der Inkreisradius ist ein Drittel der Seitenhalbierenden, der Umkreisradius zwei Drittel der Seitenhalbierenden. b) lle Kreise sind ähnlich zueinander. Damit gehört zum doppelten Radius auch der doppelte Umfang, da das Verhältnis aller Längen bei ähnlichen Figuren gleich bleibt (Umfang/Radius ist konstant). c) Wird der Radius verdoppelt (Kreis zentrisch gestreckt mit Faktor ), dann vervierfacht sich der Flächeninhalt.

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