6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information

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1 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Klaus M. Schmidt LMU München Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 1 / 23

2 Literaturhinweise zu Kapitel 6: Osborne (2004), Kapitel 10 Gibbons (1992), Kapitel 4 MasColell, Whinston, Green (1995), Kapitel 9C+D Fudenberg und Tirole (1991), Kapitel 8, 9 und 11.2 c 2014 Klaus M. Schmidt Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 2 / 23

3 6.1 Einleitung In dynamischen Spielen mit unvollständiger Information stellt sich wie in dynamischen Spielen mit vollständiger Information das Problem, Gleichgewichte, die auf unglaubwürdigen Drohungen beruhen, auszuschließen. Beachten Sie, dass Teilspielperfektheit bei unvollständiger Information nicht weiterhilft. Da die Spieler die Typen ihrer Gegenspieler nicht kennen, gibt es keine einelementigen Informationsmengen mehr, nachdem die Natur die Typen gezogen hat. Das einzige Teilspiel ist das gesamte Spiel. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 3 / 23

4 Verallgemeinerung der Idee der Teilspielperfektheit für Fortsetzungsspiele (continuation games): Ein Fortsetzungsspiel kann auch in einer mehrelementigen Informationsmenge beginnen. Aber der Spieler, der in einer mehrelementigen Informationsmenge am Zug ist, muss einen Belief, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darüber haben, in welchem Entscheidungsknoten der Menge er sich befindet. So können wir erneut sequentiell rationales Verhalten analysieren, d.h., Verhalten, das in allen Fortsetzungsspielen des ursprünglichen Spiels optimal ist, sowohl auf als auch außerhalb des Gleichgewichtspfades. Das wird uns zu einem neuen Gleichgewichtskonzept führen: Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht. In dem Maße, in dem die Spiele, die wir betrachten, komplizierter werden, müssen wir zusätzliche Anforderungen stellen, um nicht-überzeugende Gleichgewichte auszuschließen. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 4 / 23

5 Beachten Sie jedoch, dass die Gleichgewichtsbegriffe nicht willkürlich sind, sondern systematisch aufeinander aufbauen. Wir werden sehen, dass perfekte Bayesianische Gleichgewichte übereinstimmen mit teilspielperfekten Gleichgewichten, wenn es sich um ein dynamisches Spiel mit vollständiger Information handelt; Bayesianischen Nash-Gleichgewichten, wenn es um ein statisches Spiel mit unvollständiger Information geht; Nash-Gleichgewichten, wenn es sich um ein statisches Spiel mit vollständiger Information handelt. Zunächst wenden wir die Idee sequentieller Rationalität auf Spiele mit vollständiger, aber unvollkommener Information an. Der Schritt zu Spielen mit unvollständiger Information ist dann nicht mehr groß. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 5 / 23

6 6.2 Sequentielle Rationalität Betrachten Sie zunächst das Spiel in Abb. 6.1, das auf Selten (1975) zurückgeht... L M R.. ( ) 1 3 l r l r ( 2 1 ) ( 0 0 ) ( 0 2 ) ( ) 0 1 Abb. 6.1: Seltens Pferd Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 6 / 23

7 Wenn Spieler 2 am Zug ist, hat er eine dominante Strategie: l. Gegeben, dass 2 l spielen wird, ist es für Spieler 1 optimal, ebenfalls L zu spielen. Gibt es noch andere Gleichgewichte in diesem Spiel? 2 1 l r L 2, 1 0, 0 M 0, 2 0, 1 R 1, 3 1, 3 Abb. 6.2: Normalform von Seltens Pferd Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 7 / 23

8 Analyse der Normalform des Spiels zeigt, dass es noch ein zweites Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt: (R, r). Ist dieses Gleichgewicht (R, r) teilspielperfekt? Ja! In diesem Spiel ist das einzige Teilspiel das gesamte Spiel. Da (R, r) im gesamten Spiel ein Nash-Gleichgewicht ist, ist es auch teilspielperfekt. Aber es ist ganz sicher nicht sequentiell rational. Wie können wir dieses unglaubwürdige Gleichgewicht ausschließen? Betrachten Sie das Fortsetzungsspiel, das beginnt, wenn Spieler 2 am Zug ist. Dieses Fortsetzungsspiel beginnt in einer mehrelementigen Informationsmenge und ist darum kein Teilspiel. Trotzdem wollen wir verlangen, dass die Strategien auch in solchen Fortsetzungsspielen optimales Verhalten vorschreiben. Welches Verhalten in einem Fortsetzungsspiel optimal ist, hängt im allgemeinen von den Wahrscheinlichkeiten ab, die ein Spieler den verschiedenen Knoten in seiner Informationsmenge zuordnet. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 8 / 23

9 Zusätzliche Anforderungen an sequentielle Rationalität: Bedingung 6.1 In jeder Informationsmenge muss der Spieler, der am Zug ist, einen Belief darüber haben, an welchem Knoten er sich befindet. Ein Belief ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Knoten. Ein System von Beliefs für alle Informationsmengen bezeichnen wir mit µ. Bedingung 6.2 Gegeben seine Beliefs muss das Verhalten eines jeden Spielers sequentiell rational sein, d.h., gegeben seine Beliefs muss seine Strategie in jedem Fortsetzungsspiel eine beste Antwort gegen die Strategien seiner Gegenspieler sein. Diese Bedingungen schließen das Gleichgewicht (R, r) aus. Ganz gleich, welche Beliefs Spieler 2 in seiner Informationsmenge hat, es ist immer besser, l zu spielen, als r. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger Information Spieltheorie, Wintersemester 2014/15 9 / 23

10 In diesem Beispiel spielt es keine Rolle, welche Beliefs Spieler 2 hat. Im Allgemeinen wird die optimale Aktion eines Spielers jedoch von seinen Beliefs abhängen. Darum können wir nicht beliebige Beliefs zulassen, sondern müssen verlangen, dass diese Beliefs konsistent mit den Strategien der Spieler und der bisherigen Geschichte des Spiels sind. Bedingung 6.3 Die Beliefs eines Spielers in jeder Informationsmenge (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) ergeben sich aus den Gleichgewichtsstrategien der Spieler und aus Bayes Regel, wann immer diese Regel angewandt werden kann. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 10 / 23

11 Beispiel: Betrachten Sie erneut Abb. 6.1 und das Gleichgewicht (L, l). Wenn die Informationsmenge von Spieler 2 erreicht wird, muss Spieler 2 glauben, dass er sich mit Wahrscheinlichkeit 1 im linken Knoten befindet. Angenommen, es gäbe in diesem Spiel ein Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit p, q und 1 p q nach L bzw. M bzw. R geht. Wenn jetzt die Informationsmenge von Spieler 2 mit den Knoten L und M erreicht wird, muss Spieler 2 glauben, p p+q dass er sich mit Wahrscheinlichkeit in Knoten L und mit Wahrscheinlichkeit in Knoten M befindet. q p+q Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 11 / 23

12 6.3 Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht Definition 6.1 (Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht) Ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht (PBGG) ist ein Profil von Strategien und ein System von Beliefs (σ, µ), so dass die Strategien aller Spieler sequentiell rational sind gegeben das System von Beliefs µ; die Beliefs (entlang und abseits des Gleichgewichtspfades) aus den Gleichgewichtsstrategien der Spieler mit Hilfe von Bayes Regel abgeleitet werden, wann immer diese Regel anwendbar ist. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 12 / 23

13 Bemerkungen: 1) Wenn die Spieler vollständig gemischte Strategien verwenden, werden alle Knoten mit positiver Wahrscheinlichkeit erreicht. Dann können wir Bayes Regel immer anwenden, um die Beliefs der Spieler zu aktualisieren ( upzudaten ). 2) Wenn die Strategien nicht vollständig gemischt sind, werden bestimmte Informationsmengen mit Wahrscheinlichkeit 0 erreicht. In solchen Informationsmengen kann es sein, dass Bayes Regel nicht anwendbar ist. Dann lässt das Konzept des PBGG beliebige Beliefs zu, so dass oft sehr viele Ergebnisse als PBGG gestützt werden können. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 13 / 23

14 6.4 Signalisierungsspiele Wir betrachten jetzt Spiele mit unvollständiger Information. Eine wichtige Klasse solcher Spiele sind sogenannte Signalisierungsspiele, die die folgende Struktur haben: Es gibt zwei Spieler, einen Sender und einen Empfänger. 1) Die Natur wählt den Typ t des Senders aus einer Menge T = {t 1,..., t I } entsprechend der W-Verteilung µ(t). 2) Der Sender erfährt seinen Typ und wählt eine Botschaft m aus M = {m 1,..., m J }. 3) Der Empfänger beobachtet die Botschaft (aber nicht t i ) und wählt dann eine Aktion a aus der Menge der möglichen Aktionen A {a 1,..., a K }. 4) Die Auszahlungen sind U S (t, m, a) und U E (t, m, a). Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 14 / 23

15 Solche Signalisierungsspiele sind in vielen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften angewendet worden. Beispiele: Job market signaling: Der Sender ist ein Arbeiter, dessen Fähigkeiten private Information sind. Er wählt ein Ausbildungsniveau. Der Unternehmer beobachtet die Ausbildung, aber nicht die Fähigkeit, und entscheidet über ein Lohnangebot. Initial public offering: Der Sender ist ein Unternehmer, der den Wert seines Unternehmens kennt. Er wählt einen Anteil seiner Firma, den er auf dem Aktienmarkt verkaufen will. Der Markt beobachtet diesen Anteil, nicht aber den Wert des Unternehmens, und entscheidet über die Bewertung der Aktien. Limit pricing: Der Sender ist ein Monopolist, der seine Grenzkosten kennt. Er wählt seine Produktionsmenge in der ersten Periode. Der Empfänger ist ein potentieller Marktzutreter. Er beobachtet die gewählte Menge, nicht aber die Grenzkosten des Monopolisten, und entscheidet dann über Marktzutritt. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 15 / 23

16 Wir betrachten zunächst ein abstraktes Signalisierungsspiel mit zwei Typen, zwei Botschaften des Senders und zwei Aktionen des Empfängers: a 1.. Sender m 1 t 1 m 2. a 1 a 2 µ 0 a 2 Empfänger Natur Empfänger a 1 a µ 0. m 1 t 2 m 2 Sender. a 1 a 2 Abb. 6.3: Struktur eines Signalisierungsspiels Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 16 / 23

17 In diesem Spiel hat jeder Spieler vier mögliche Strategien. Beachten Sie, dass eine Strategie für jede Informationsmenge, in der Spieler i am Zug ist, angeben muss, wie sich Spieler i dort verhalten soll. Eine mögliche Strategie des Senders ist (m 2, m 1 ): Spiele m 2, wenn Du Typ t 1 bist, und m 1, wenn Du Typ t 2 bist. Eine mögliche Strategie des Empfängers ist (a 2, a 1 ): Spiele a 2, wenn der Sender m 1 gesendet hat, und a 1, wenn der Sender m 2 gesendet hat. Außerdem muss der Empfänger nach beiden Botschaften einen Belief darüber haben, an welchem Knoten er sich befindet. Da es für den Empfänger zwei mögliche Informationsmengen gibt, gibt es auch zwei Beliefs (µ 1, µ 2 ). Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 17 / 23

18 Es gibt zwei mögliche Arten von Gleichgewichten in reinen Strategien: Separierende Gleichgewichte: Unterschiedliche Typen des Senders wählen unterschiedliche Botschaften. Pooling-Gleichgewichte: Beide Typen des Senders wählen dieselbe Botschaft. Anmerkung: Bei mehr als zwei Typen kann es auch halb-separierende Gleichgewichte geben: Einige Botschaften werden nur von einigen Typen und nicht von anderen gewählt, aber die Separierung ist nicht perfekt. Bei gemischten Strategien sind auch hybride Gleichgewichte möglich: Ein Typ sendet eine Botschaft mit Wahrscheinlichkeit 1, der andere Typ randomisiert zwischen beiden Botschaften. Diese Gleichgewiche werden wir jedoch im Folgenden ignorieren. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 18 / 23

19 6.5 Werbung als Qualitätssignal Unternehmen investieren oft viel Geld in uninformative Werbung, die nichts über das Produkt aussagt: Uninformative Fernsehspots Hochglanzbroschüren und -anzeigen Sponsoring von Sport- und Kulturveranstaltungen Warum sollten sich Konsumenten von dieser Werbung in ihrer Kaufentscheidung beeinflussen lassen? Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 19 / 23

20 Ein Signalisierungsspiel mit Werbung: Ein Unternehmen bringt ein neues Produkt auf den Markt. Die Konsumenten kennen die Qualität des Produkts nicht, bevor sie es zum ersten Mal konsumieren. Sie glauben, dass das Produkt mit Wahrscheinlichkeit p > 0 eine hohe Qualität hat und mit Wahrscheinlichkeit 1 p > 0 eine niedrige Qualität hat. Die Qualität ist exogen gegeben. Auszahlungen der Konsumenten: Wenn die Konsumenten das Gut nicht kaufen, ist ihre Auszahlung 0. Wenn die Konsumenten das Gut kaufen und feststellen, dass es schlecht ist, ist ihre Auszahlung -1 und sie kaufen das Gut nie wieder. Wenn die Konsumenten das Gut kaufen und feststellen, dass es gut ist, kaufen sie es wiederholt und ihre Auszahlung ist +1. Auszahlungen des Unternehmens Wenn das Unternehmen das Gut nicht verkauft, macht es einen Bruttogewinn von 0. Wenn das Unternehmen das Gut nur einmal an die Konsumenten verkauft, macht es einen Bruttogewinn von 1. Wenn das Unternehmen das Gut mehrfach an die Konsumenten verkauft, macht es einen Bruttogewinn von 5. Werbung kostet das Unternehmen 3. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 20 / 23

21 ( ) 5 1 ( ) 0 0 ( ) 1 1 ( ) 0 0 k Unternehmen mit [µ k kw ] hoher Qualität [µ W ].... kw W nk p nk Konsumenten Natur Konsumenten 1 p k k kw W..... [1 µ kw ] Unternehmen mit [1 µ W ] nk niedriger Qualität nk Abb. 6.4: Werbung als Signal ( ) 2 1 ( ) 3 0 ( ) 2 1 ( ) 3 0 Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 21 / 23

22 Beachten Sie: Für das Unternehmen mit der schlechten Qualität ist es eine dominante Strategie, keine Werbung zu betreiben. Gleichgewichte: 1) Unternehmen mit hoher Qualität betreibt Werbung: Separierendes Gleichgewicht, µ W = 1, µ nw = 0 Konsumenten interpretieren Werbung als Signal für hohe Qualität und kaufen dann und nur dann, wenn das Unternehmen Werbung betreibt. Für das Unternehmen mit hoher Qualität ist es tatsächlich optimal, zu werben. 2) Unternehmen mit hoher Qualität betreibt keine Werbung: Pooling Gleichgewicht µ nw = p µ W ist unbestimmt, weil Werbung im Gleichgewicht nicht vorkommt. Nehmen wir an, dass µ W = p Konsumenten konsumieren, falls p 1 + (1 p) ( 1) 0 p 1. 2 Für das Unternehmen mit hoher Qualität gibt es keinen Anreiz, zu werben, weil Werbung den Belief der Konsumenten nicht verändert. Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 22 / 23

23 Bemerkungen: 1. Es gibt mehrere Gleichgewichte, die davon abhängen, wie die Konsumenten Werbung interpretieren. 2. Im separierenden Gleichgewicht kann das gute Unternehmen durch Werbung glaubwürdig signalisieren, dass es ein Produkt mit hoher Qualität anbietet. 3. Selbst wenn p sehr nahe bei 1 liegt, kann das gute Unternehmen gezwungen sein, viel Geld für Werbung auszugeben, um sich von dem schlechten Unternehmen zu separieren. 4. Signalisierung ist ineffizient! Bei hohem p könnte der Staat die Wohlfahrt erhöhen, wenn er Signalisierung verbietet. Andere Beispiele für Signalisierungsspiele: Latein in der Schule Promotion Duelle Biologie: Springböcke, Pfauenschwanz Klaus M. Schmidt (LMU München) 6. Dynamische Spiele mit unvollständiger InformationSpieltheorie, Wintersemester 2014/15 23 / 23