Gepaarter und ungepaarter t-test. Statistik (Biol./Pharm.) Herbst 2012

Transkript

1 Gepaarter und ungepaarter t-test Statistik (Biol./Pharm.) Herbst 2012

2 Mr. X Krebs

3 Zwei Krebstypen 1 Typ 1: Mild Chemotherapie nicht nötig 2 Typ 2: Schwer Chemotherapie nötig

4 Problem: Typ erst nach langer Zeit erkennbar?? 1 2 Jetzt Chemotherapie oder nicht?

5 Wie kann man verschiedene Arten von Krebs frühzeitig unterscheiden?

6 Typ 1 Typ 2 Vergleiche Krebszellen

7 Idee: Vergleiche Aktivität innerhalb der Zelle

8 Zentrales Dogma der Molekularbiologie Zelle GEN DNA mrna Protein

9 Entnehme mrna

10 Entnehme mrna

11 Nehme einen Microarray

12 Microarray: Zoom In

13 mrna auf Microarray

14 mrna auf Microarray

15 Auf dem Microarray

16 Voila: Ein Feuerwerk!

17 Helligkeit = Aktivität des Gens Gen 5 sehr aktiv

18 Helligkeit = Aktivität des Gens Gen 6 nicht aktiv

19 Für jeden Patienten ein Microarray Typ 1 Typ 2

20 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat

21 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat

22 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat Ist Gen 1 bei Typ 2-Tumorzellen signifikant aktiver? Falls ja: Gen 1 kann Typ1-Tumor und Typ-2 Tumor unterscheiden!

23 Falls ja: Gen 1 nicht aktiv Gen 1 aktiv Typ 1 Typ 2 Chemotherapie Chemotherapie

24 Microarray: Aktivität aller Gene in der Zelle Typ 1 Typ 2 Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat. 4 Pat Gen Pat. 1 Pat. 2 Pat. 3 Pat Ist Gen 1 bei Typ 2-Tumorzellen signifikant aktiver? Ungepaarter t-test

25 Ungepaarter t-test: 1/3 1. Modell: X 1 ; : : : ; X n iid» N (¹ X ; ¾ 2 ); Y 1 ; : : : ; Y m iid» N (¹ Y ; ¾ 2 ): 2. Nullhypothese: H 0 : ¹ X = ¹ Y : Alternative: H A : ¹ X 6= ¹ Y (zweiseitig) oder H A : ¹ X > ¹ Y (einseitig) oder H A : ¹ X < ¹ Y (einseitig) 24

26 Ungepaarter t-test: 2/3 3. Teststatistik: x = 1 n x i T = X n Y m S pool p 1=n + 1=m wobei S 2 pool = = 1 n + m 2 1 n + m 2 Ã X n (X i X n ) 2 + i=1! mx (Y i Y m ) 2 = i=1 (n 1)^¾ 2 x + (m 1)^¾ y 2 : Verteilung der Teststatistik unter H 0 : T» t n+m 2. 1 n 1 x i x 2 25

27 Ungepaarter t-test: 3/3 4. Signi kanzniveau: 5. Verwerfungsbereich fäur die Teststatistik: ( 1; t n+m 2;1 =2 ] [ [t n+m 2;1 =2 ; 1) bei Alternative H A : ¹ X 6= ¹ Y ; [t n+m 2;1 ; 1) bei Alternative H A : ¹ X > ¹ Y ; ( 1; t n+m 2;1 ] bei Alternative H A : ¹ X < ¹ Y : 6. Testentscheid: Entscheide, ob der beobachtete Wert der Teststatistik im Verwerfungsbereich der Teststatistik liegt. 26

28 Happy End!

29 Happy End!

30 Gepaart vs. Ungepaart Bsp: Augeninnendruck; ein Auge behandelt, das andere nicht (gepaarter Test ist angebracht) Gemäss Vorraussetzungen dürfte auch ein ungepaarter Test angewendet werden Augendruck Ungepaart: Intuition Teststatistik: T = X Y σ X H 0 : μ X = μ Y Gepaart: Differenz D i = X i Y i Teststatistik T = D σ D links rechts 29

31 Gepaart vs. Ungepaart: Simulationsstudie H 0 : μ D = 0 bzw. H 0 : μ X = μ Y ; n=m=10 X~N 100, σ X 2, D~N 2, 1, Y = X + D gepaarte Situation Der gepaarte t-test hat mehr Macht, wenn die Daten verrauscht sind. gepaart ungepaart 30

32 t-test falls Varianz in Gruppen unterschiedlich (aka Welch-Test) Grundidee identisch Teststatistik und Verteilung falls H 0 stimmt ist komplizierter Computer: Dieser Test ist meist der default t-test Praxis: Man sollte immer annehmen, dass die Varianz der Gruppen unterschiedlich ist; d.h., Welch-Test verwenden 31

33 Mann-Whitney U-Test (aka Wilcoxon Rank-sum Test) Falls Daten nicht normalverteilt X i ~F, i = 1,, n; Y j ~G, j = 1,, m H 0 : F = G H A : F = G + δ (δ 0) (oder einseitig) (d.h., Verteilungen sind verschoben, haben aber gleiche From) Teststatistik: - Bilde Ränge über beide Gruppen hinweg - Falls Gruppen gleich gross sind, sollten Rangsummen etwa gleich sein - Falls Gruppen ungleich, sollten Rangsummen in einem gewissen Verhältnis stehen 32

34 Bsp: Mann-Whitney U-Test Behandlung (B) und Kontrolle (K) je 2 Patienten Beobachtung: B: 1.2, 3.1; K: 5.9, 4.4 Gesamtrang: B: 1, 2; K: 4, 3 Rangsumme R in K: = 7 Falls H 0 stimmt sind alle Ränge in K gleich wahrscheinlich Ränge 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 R Z.B. für einseitigen Test: P R 7 = P R = 7 = P-Wert H 0 kann auf dem 5% Niveau nicht verworfen werden Praxis: Computer verwenden 33

35 Übersicht: Tests für ungepaarte Stichproben Test Annahmen n min (falls n = m) bei α = Macht für ein Beispiel (1) t (σ X = σ Y ) t (σ X σ Y ) MW U-Test σ X = σ Y X i ~N Y i ~N F, G haben gleiche Form iid pro Gruppe x x x x 2 57 % x x 2 56 % x x x 4 53 % (1): X i ~N μ X, σ 2, Y i ~N μ Y, σ 2, n = m = 10; H 0 : μ X = μ Y ; H A : μ X μ Y ; α = 0.05 Macht berechnet für konkrete Alternative: X i ~N 0,1, Y i ~N(1,1) 34