Lösungen zum Aufgabenblatt 14

Transkript

1 Lösungen zum Aufgabenblatt Das Gewicht von Brötchen (gemessen in g) sei zufallsabhängig und werde durch eine normalverteilte Zufallsgröße X N(µ, 2 ) beschrieben, deren Varianz 2 = 49 g 2 bekannt sei. Für 85 (zufällig und unabhängig) ausgewählte Brötchen ergab sich ein Durchschnittsgewicht von x 85 = 3.9 g. a) Geben Sie ein konkretes zweiseitiges Konfidenzintervall für den Parameter µ zum Konfidenzniveau 0.90 an. Wie groß ist der Stichprobenumfang n mindestens zu wählen, damit die Länge dieses Konfidenzintervalls höchstens 0.8 ist? b) Überprüfen Sie mittels eines zweiseitigen Tests, ob das Datenmaterial mit der Hypothese H 0 : Das mittlere Gewicht der Brötchen beträgt 39 g auf dem 5%-Niveau vereinbar ist, d. h., testen Sie die Nullhypothese H 0 : µ = 39 g gegen die Alternativhypothese H 1 : µ 39 g bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = Lösung: X: sei Gewicht von Brötchen (in g) und X N(µ, 2 ). Dabei sei die Standardabweichung = g bekannt und somit 2 = 49 g 2. Für 85 zufällig ausgewählte Brötchen ergab sich ein Durchschnittsgewicht von x 85 = 3.9 g. Somit ist X N(µ,49 g 2 ). a) Das Konfidenzintervall sei I = [ x n n, x n + n ]. Die [ I = X n z 1 α, X n 2 n + z 1 α n 2 Das Konfidenzniveau sei 0.90, also α = 0.1. Es ist z = z = z 0.95 = und gemäß Aufgabenstellung ist n = 85, = g. Also [ I = 3.9g g 1.645,3.9g + g ] = [36.651g, g] Wie groß muss n gewählt werden, damit die Länge dieses Konfidenzintervalls höchstens 0.8 ist? Gesucht ist also n. n ist pro Seite. Insgesamt also 2 n 0.8 und somit n = n 1.645, ]. 2 n = 2 n = 3.29 n 0.8 n Da n N ist, erhalten wir durch Aufrunden n 829. Der Stichprobenumfang muss mindestens 829 sein. b) Da µ unbekannt, aber bekannt und X N(µ, 2 ) ist, handelt es sich um einen Gauß-Test. Dieser soll zweiseitig ausgeführt werden. Methode 1: Gauß-Test 1. Nullhypothese: H 0 : µ = 39 gegen Alternativhypothese: H 1 : µ Stichprobenumfang: n = 85 Irrtumswahrscheinlichkeit: α = Prüfgröße: T = X 85 µ 85 N(0,1) bei wahrer Nullhypothese. 4. Da es sich um einen zweiseitigen Test handelt, erhält man für den kritischen Bereich bei z = z = z 0.95 = 1.96 K = (, 1.96) (1.96, ). 1

2 2 LÖSUNGEN ZUM AUFGABENBLATT 14 Für die Realisierung der Testgröße gilt t = x = 85 = Da t = 1.45 / K ist, kann H 0 nicht abgelehnt werden. Der Unterschied zwischen µ und x 85 ist nicht signifikant. Die Stichprobe kann aus der Grundgesamtheit X mit E(X) = 39 stammen. Methode 2: Da µ 0 im Konfidenzintervall liegt, ist µ 0 mit der Stichprobe verträglich. H 0 kann nicht abgelehnt werden. Methode 3: K = { x : x µ 0 > z 0.95 n }, wobei K der kritische Bereich ist. K = { 3.9g 39g > g } = { 1.1g 1.488}, also ist x / K und somit sollte H 0 nicht abgelehnt werden, da x nicht im kritischen Bereich liegt. 62. Eine Firma stellt eine bestimmte Drahtsorte her, deren mittlere Reißfestigkeit zu µ 0 = 2.6N bestimmt wurde. Durch ein neues Herstellungsverfahren erhofft man, die Reißfestigkeit zu erhöhen. Eine konkrete Stichprobe vom Umfang n = 120 aus der Produktion der neuen Drahtsorte ergab x n = 5.8 N und s n =.5 N. Die zugehörige Grundgesamtheit sei normalverteilt. Hat die neue Drahtsorte eine signifikant größere Reißfestigkeit? Prüfen Sie mit α = 0.01! Lösung: Methode 1: Die Nullhypothese wird so gewählt, dass die mittlere Reißfestigkeit nicht größer sei als die der alten Sorte. Also H 0 : µ µ 0 = 2.6N. Ferner sei n = 120, x n = 5.8N und s 120 =.5N. Damit ergibt sich für den einseitigen t-test T 2 = X n µ 0 n tn 1 s n mit α = 0.01 und unbekannt. Damit ergibt sich K 2 = (t 0.99,119, ) = (2.36, ). Damit ergibt sich t 2 = T(x 1,...,x n ) = x n µ 0 5.8N 2.6N n = 120 = 4.6. s n.5n Entscheidung: t 2 K 2 = Ablehnung von H 0, d. h. neue Sorte hat mit Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.01 eine signifikant größere mittlere Reißfestigkeit. Signifikanz kann nur nachgewiesen werden, wenn H 0 abgelehnt wird, also muss H 1 : µ > 6.6 N. Methode 2: Der kritische Bereich ist { } { } s n.5 K 2 = x : x µ 0 > t n 1,1 α = 5.8 N 2.6 N > 2.36 = {3.2 > 1.616}, n 120 d. h. x K 2. Ablehnung von H Die Popularität eines Nahrungsmittelprodukts hat nachgelassen. Daher wurde zu Testzwecken die Rezeptur etwas verändert und 500 zufällige Testpersonen wurden befragt, ob ihnen das Produkt nun besser schmeckt. Es stellte sich heraus, dass 21 Personen das Produkt nun tatsächlich besser schmeckt. a) Ist die Hypothese Höchstens der Hälfte schmeckt das Produkt jetzt besser zugunsten der Alternative Mehr als fünfzig Prozent schmeckt das Produkt nun besser auf dem Niveau α = 0.05 zu verwerfen? b) Wie viele Testpersonen müsste man befragen, um eine Güte von 80% zu erhalten, wenn der wahre Anteil der Personen, denen das Produkt besser schmeckt, bei 0.4 liegt. Lösung: n = 500 Die Wahrscheinlichkeit, dass den Testpersonen das Produkt besser schmeckt, beträgt p = = a) Weg 1: Binomialtest: 1. Nullhypothese: H 0 : p 0.5 gegen Alternativhypothese: H 1 : p > 0.5.

3 LÖSUNGEN ZUM AUFGABENBLATT Stichprobenumfang: n = 500 Irrtumswahrscheinlichkeit: α = X: Anzahl der 500 Personen, deren das Produkt besser schmeckt. X Bi(n = 500,p = 0.5) unter wahrer Nullhypothese. 4. Da es sich um einen rechtsseitigen Test handelt, gilt P(X k) = 1 P(X < k) = 1 P(X k 1) α P(X k 1) 1 α k 1 ( ) 500 P(X k 1) = 0.5 i i i i=0 Wegen µ = n p = = 250 > 30 und 2 = n p (1 p) = = 125 > 9 kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Mit Stetigkeitskorrektur gilt P(X k 1) Φ ( k 1 np n p (1 p) ) = Φ Der kritische Bereich ist ( ) ( ) k k = Φ k k = 269. K = {269,...,500}. 5. Da 21 K ist, wird H 0 abgelehnt, d. h. es schmeckt signifikant mehr als 50 % aller Personen (Gesamtpopulation aus denen die 500 Stichprobe) besser. Weg 2: Approximativer Binomialtest: 1. Nullhypothese: H 0 : p 0.5 gegen Alternativhypothese: H 1 : p > Stichprobenumfang: n = 500 Irrtumswahrscheinlichkeit: α = S 500 np 0 3. Prüfgröße: T = n p0 (1 p 0 ) = i=1 X i n p 0 bei wahrer Nullhypothese, n = 500 > n p0 (1 p 0 ) 30 und n p 0 (1 p 0 ) = (1 0.5) = Da es sich um einen rechtsseitigen Test handelt, erhält man für den kritischen Bereich bei z = z 0.95 = 1.64 K = (1.64, ). Für die Realisierung der Testgröße gilt t = = (1 0.5) 5. Da t = 1.88 K ist, wird H 0 abgelehnt, d. h. es schmeckt signifikant mehr als 50 % aller Personen (Gesamtpopulation aus denen die 500 Stichprobe) besser. b) Gütefunktion: Die Güte eines Testes ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, wenn diese tatsächlich falsch ist. Sie wird in Abhängigkeit eines konkreten Parameterwertes aus dem Bereich der Alternativhypothese berechnet und kann deshalb als Funktion des Parameters aufgefasst werden. Die Güte ist definiert durch Die Gütefunktion g(ϑ) eines Testes ist 1 β = P(lehne H 0 ab H 1 ist wahr). g(ϑ) = 1 β(ϑ) = P(lehne H 0 ab ϑ = ϑ). G(p) = 0.8 für p = 0.6 Für die Güte soll G(p) = 0.8 gelte, wobei p = 0.6 ist. Der Ablehnungsbereich ist K = {269,...,500},

4 4 LÖSUNGEN ZUM AUFGABENBLATT 14 d. h. der Annahmebereich ist Gesucht ist n, sodass K = {0,...,286}. G(p = 0.6) = B n,p=0.6 (K) = 1 B n,p=0.6 ( K), also 0.8 = 1 P(X 268). Mit Normalapproximation µ = np = 0.6n und 2 = np(1 p) = n = n 0.24 folgt ( ) ( ) ( ) 268 µ n n 0.2 = P(X 268) Φ = Φ = Φ. Mit Φ( x) = 1 Φ(x) ist 0.8 = Φ ( ) 0.6n n = 0.85 d. h. 0.6n = n n = 462. Man muss 462 Personen befragen. G(p) = 0.8 für p = 0.4 Für die Güte soll G(p) = 0.8 gelte, wobei p = 0.4 ist. Der Ablehnungsbereich ist d. h. der Annahmebereich ist Gesucht ist n, sodass K = {269,...,500}, K = {0,...,286}. G(p = 0.4) = B n,p=0.4 (K) = 1 B n,p=0.4 ( K), also 0.8 = 1 P(X 268). Mit Normalapproximation µ = np = 0.4n und 2 = np(1 p) = n = n 0.24 folgt ( ) ( ) ( ) 268 µ n n 0.2 = P(X 268) Φ = Φ = Φ. Mit Φ( x) = 1 Φ(x) ist 0.8 = Φ ( ) 0.4n n = 0.85 d. h. 0.4n = n n = Man muss 699 Personen befragen. 64. Aus der Konkursmasse einer Eisenwarenfirma soll ein Restposten Schrauben versteigert werden. Der ehemalige Firmeninhaber behauptet, 80 % seien in Ordnung. Ein Interessent greift in verschiedene Kisten hinein und nimmt insgesamt 50 Schrauben heraus. Aufgrund des Anteils in dieser Stichprobe will er seine Entscheidung fällen. a) Der Interessent ist skeptisch. Ab welcher Anzahl brauchbarer Schrauben wird er der Aussage des Verkäufers Glauben schenken? Welche Hypothese testet er? b) Welche Fehler können dem Interessenten unterlaufen? Lösung: a) mögliche Hypothesen / Standpunkte: Firmeninhaber (H1): Meine Angabe ist richtig (p 0.8). Davon gehe ich nur bei signifikanter Abweichung nach unten ab.

5 LÖSUNGEN ZUM AUFGABENBLATT 14 5 Interessent (H2): Ich vermute, dass der angegebene Anteil zu hoch ist, also p 0.8. Nur durch signifikante Abweichung nach oben lasse ich mich hiervon abbringen. Entscheidungsregeln auf dem 95 %-Niveau (α = 0.05): B n,p0 ({k,...,n}) α = 1 B n,p0 ({0,...,k 1}) H2 0 : p 0.8 H2 1 : p > 0.8 X: Anzahl der brauchbaren Schrauben in der Stichprobe. p = p 0 = 0.8, n = 50, µ = np = 40, = 8. 1 B 50,0.8 ({0,...,k 1}) 0.05 B 50,0.8 ({0,...,k 1}) k 1 44 k 45 Entscheidungsregel: Ablehnung von H2 0, wenn mindestens 45 brauchbare Schrauben in der Stichprobe sind. b) Fehler 1. Art: Der Interessent findet zufällig mehr als 44 brauchbare Schrauben in der Stichprobe, obwohl der Anteil brauchbarer Schrauben höchstens 80 % beträgt. Konsequenz: Ein ungünstiger Kauf wird getätigt. Fehler 2. Art: Der Interessent findet nicht mehr als 44 brauchbare Schrauben in der Stichprobe, obwohl der Anteil brauchbarer Schrauben größer als 80 % ist. Konsequenz: Ihm entgeht eine günstige Kaufgelegenheit.