Grundzüge der Vektoranalysis

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1 KAPITEL 7 Grundzüge der Vektoranalysis 7. Satz von Green Satz von Stokes Zirkulation und Wirbelstärke Satz von Stokes Satz von Gauß Satz von Gauß Fluss und Ergiebigkeit/Divergenz Vektorpotential Zusammenfassung Zunächst beweisen wir den Satz von Green noch einmal für ein Rechteck, daraus kann man dann auf den allgemeinen Satz schließen. 7. Satz von Green Mit dem Satz von Green wird ein Zusammenhang zwischen einem Flächenintegral über einen ebenen Bereich und dem Kurvenintegral über die Randkurve des Bereichs dargestellt. Dazu wird der Begriff der Orientierung einer geschlossenen Kurve benötigt. 2

2 Definition 47: Der Rand des ebenen regulären Bereichs B heißt positiv orientiert, wenn beim Durchlaufen der Randkurve der Bereich B zur Linken liegt. Es sei vx, y v x, y, v 2 x, y T ein auf dem Rechteck R : {x, y : a x b, c y d} definiertes stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann besitzt das Rechteck die Randkurve γ γ γ 2 γ 3 γ 4, mit den Parametrisierungen positive Orientierung!: γ 3 t γ t b + a t d t c, t [a, b], γ 2 t, t [a, b], γ 4 t b a t c + d t, t [c, d],, t [c, d]. Damit ist γ t, γ 2 t, γ 3 t, γ 4 t. Wir berechnen nun das Kurvenintegral 2. Art über den Rand γ des Rechtecks: 4 v d x v d x γ j γ j b d b d v x, c dx + v 2 b, y dy v x, d dx v 2 a, y dy a c a c b d v x, c v x, d dx + v 2 b, y v 2 a, y dy a c b d v x, y d b v 2 x, y dy dx + dx dy a c c a x v 2 x, y v x, y dx dy, R x 2

3 also insgesamt R v d x R v 2 x, y x v x, y dx dy. Wenn man ein Gebiet durch achsenparallele Rechtecke approximiert, beweist man auf diese Weise den Satz 36 Satz von Green.: Sei D R 2 ein Gebiet und B D ein Bereich, dessen Rand aus endlich vielen positiv orientierten Kurven besteht, und v : D R 2 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt B v d x B v 2 x, y x v x, y dx dy. 7.2 Satz von Stokes 7.2. Zirkulation und Wirbelstärke Die Grundlage für die Betrachtungen bildet jetzt der dreidimensionale Raum. Definition 48: Es sei v : M R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, M R 3, offen, und γ eine geschlossene, reguläre, orientierte Kurve in M. Das Kurvenintegral 2. Art Z : v d x heißt Zirkulation von v längs der Kurve γ. γ 22

4 Es sei A ein reguläres räumliches Flächenstück mit der Randkurve A. Als mittlere Wirbelstärke von v bezüglich A bezeichnet man v d x. OA A Durch Zusammenziehen der Fläche A auf einen Punkt erhält man die Wirbelstärke, oder genauer Definition 49 Wirbelstärke.: Es sei v : M R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, M R 3, offen, und x M. Der Grenzwert W n x : lim v d x OA, x A OA A heißt Wirbelstärke von v bezüglich der Richtung n in x. Dabei werden mit A M ebene, einfach zusammenhängende und stückweise glatt berandete Flächenstücke bezeichnet, die die gleiche Normale n haben. Nehmen wir an, dass die Fläche A parallel zur x-y-ebene liegt, so hat der Rand A die Gestalt: A : γt : xt yt z, a t b, γb γa. 23

5 A sei positive orientiert, dann gilt A v d x b a b a v γt γt dt v γtẋt + v 2 γtẏt dt v dx + v 2 dy Satz von Green A v 2,x v,y x dx dy OA v 2,x v,y x OA n rot v x, A mit einem geeingeten x A nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung, und da A parallel zur x-y-ebene ist, ist n e z. D.h. Satz 37 Berechnung der Wirbelstärke.: Es sei v : M R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, M R 3, offen, und x M. Die Wirbelstärke von v bezüglich der Richtung n in x ergibt sich aus W n n rot v x. Definition 5: Man nennt rot v das zu v gehörende Wirbelfeld. Ist die Roation eines Vektorfeldes gleich Null, d.h. rot v, so nennt man das Vektorfeld wirbelfrei Satz von Stokes Es sei S ein reguläres Flächenstück, dessen Rand S eine reguläre, geschlossene Kurve ist. Zerlegt man nun S in endlich viele Maschen S j mit S S S 2 S n, wobei S i S j, i j, nur aus endlich vielen regulären Kurvenstücken bestehen soll. Für hinreichend kleine Maschen gilt dann S v d x n n v d x rot v x j n OS j. j S j j 24

6 Eine unendliche Verfeinerung der Maschenzerlegung führt dann auf den Satz 38 Satz von Stokes.: Es sei v : M R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld, M R 3, offen, und S ein reguläres Flächenstück in M. Dann gilt S v d x S rot v d O. Verbal bedeutet der Satz von Stokes, dass die Zirkulation entlang einer Kurve, die ein Flächenstück berandet, gleich dem Integral über alle Normalkomponenten der Wirbelstärke auf dem Flächenstück ist. 7.3 Satz von Gauß Der Satz von Gauß stellt einen Zusammenhang zwischen dem Flussintegral Oberflächenintegral 2. Art durch eine geschlossene Oberfläche und einem Integral über das eingeschlossene Volumen her. 25

7 7.3. Satz von Gauß Der Quader hat die im Bild angegebenen Seiten und Normalenvektoren. Sei nun D R 3 ein Gebiet und Q D und v : D R 3 ein stetiges differenzierbares Vektorfeld mit der Komponentendarstellung v v v 2 v 3 v e v e 2. v e 3 Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt b2 [ b3 v d O + v d O S2 S Analog erhält man a 2 b2 a 2 a 3 [ b3 Q a 3 ] v b, y, z v a, y, z dz dy b ] a x v x, y, z dv. S4 v d O + S3 v d O und S6 v d O + S5 v d O x v x, y, z dx Q Q v 2x, y, z dv z v 3x, y, z dv. dz dy 26

8 Durch Summation der letzten drei Gleichungen erhält man 6 d O Q v j Q Q v d O S j x v x, y, z + v 2x, y, z + z v 3x, y, z dv div v dv. Satz 39 Satz von Gauß.: Sei B ein regulärer Bereich, die Normale n zeige in den Randpunkten von B aus B heraus man spricht in diesem Fall von der äußeren Normalen. Dann gilt B div v dv B v d O B v ndo Fluss und Ergiebigkeit/Divergenz Seien D R 3 ein Gebiet und v : D R 3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Weiterhin sei für x D und r > die Kugel B r x : {y R 3 : x y r} in D enthalten. Es sei S r x B r x der Rand die Oberfläche der Kugel. Wir betrachten nun den Fluss S r x v d O betrachtet, erhält man die Differenz zwischen dem pro Zeiteinheit aus B r x heraus fließendem und dem hinein fließenden Volumen Netto-Bilanz. Dividiert man den Fluss durch das Volumen des Bilanzgebietes B r x, so erhält man die mittlere Ergiebigkeit bezüglich B r x : v d O. VB r x Zieht man die Kugel nun auf einen Punkt zusammen, so erhält man die Ergiebigkeit in einem Punkt. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein x B r x mit S r x v d O B r x S r x Da die Funktion Skalarfeld div v stetig ist, folgt div v x lim r VB r x div dv div v x VB r x. S r x v d O. 27

9 Man bezeichnet deshalb die Divergenz eines Vektorfeldes auch als Quelldichte. Ist die Quelldichte Ergiebigkeit eines Vektorfeldes v gleich Null div v, dann nennt man v auch quellenfrei. 7.4 Vektorpotential Wie man leicht nachrechnet ist, rot grad f für alle skalaren Funktionen f. D.h. insbesondere, dass Potential- bzw. Gradientenfelder wirbelfrei sind. Analog stellt man fest, dass div rot v, d.h. Rotationsfelder sind quellfrei. Gibt es also zum vorgegebenen Vektorfeld v ein Vektorfeld w mit v rot w, so muss notwendigerweise die Bedingung div v gelten. Diese Überlegungen führen auf den Begriff des Vektorpotentials: Definition 5 Vektorpotential.: Sei v D R 3, D R 3, gegeben. Existiert ein einmal stetig differenrzierbares Vektorfeld d.h. jede Komponente ist einmal stetig differenzierbar w : R 3 R 3, mit v rot w, so heißt w Vektorpotential von v. Satz 4 Existenz eines Vektorpotentials.: Sei v D R 3, D R 3, ein differenzierbares Vektorfeld. Ist D eine offene konvexe Menge, dann ist die Bedingung div v notwendig und hinreichend für die Existenz eines Vektorpotentials w mit v rot w. Anstelle der Konvexität von D genügt es zu fordern, dass D einfach zusammenhängend ist. Bemerkung 32: Offensichtlich ist das Vektorpotential nicht eindeutig bestimmt, da je- 28

10 des Potential- bzw. Gradientenfeld grad f die Beziehung v rot w rot w + grad f erfüllt. xy Beispiel 7: Für das ganz auf R 3 definierte Vektorfeld vx, y, z xz gilt zy div v und folglich existiert ein Vektorpotential w. Die Berechnung des Vektorpotentials ist trickreich. Da v rot w gelten muss, stehen die Gleichungen xy w 3 w 2 z, xz w z w 3 x, zy w 2 x w zur Verfügung. Wir wählen w 3 c 3 const. Damit ergibt sich xy w 2 z, xz w z, zy w 2 x w und die erste Gleichung nach z integriert ergibt w 2 xyz + Cx, y. Analog erhält man durch Integration der zweiten Gleichung nach z w x z2 2 + Dx, y. Unter Berücksichtigung dieser beiden Ergebnisse erhält man für die dritte Gleichung zy w 2 x w yz + Cx, y x Dx, y Cx, y x Dx, y. Diese letzte Beziehung ist insbesondere für Cx, y c 2, Dx, y c erfüllt und ergibt 29

11 das Vektorpotential w x z2 2 + c xyz + c 2 c 3. Genauso gut hätte man aber auch wie folgt rechnen können: Cx, y Dx, y dy, x was Dx, y sin y + c ergibt für Cx, y x cos y + c 2. Beispiel 8: Es soll der Fluss des Vektorfeldes vx, y, z xy, xz, zy T durch die Fläche S {x, y, z z : z x 2 + y 2, x 2 + y 2 } S ist ein Paraboloidmantel berechnet werden. Hierfür stehen uns nun 2 Möglichkeiten zur Verfügung:. direkter Weg. Parametrisierung von S : Φr, ϕ Die Tangentenvektoren sind Φ r cos ϕ sin ϕ 2r r cos ϕ r sin ϕ r 2, r [, ], ϕ [, 2π]. und Φ ϕ r sin ϕ r cos ϕ. Damit ergibt sich für das Vektorprodukt Φ r Φ ϕ e x e y e z cos ϕ sin ϕ 2r r sin ϕ r cos ϕ 2r 2 cos ϕ 2r 2 sin ϕ r und damit ergibt sich der Fluss r 2 cos ϕ sin ϕ 2r 2 cos ϕ 2π F v d O r 3 cos ϕ 2r 2 sin ϕ dϕ dr S r 3 sin ϕ r 2π 2r 4 cos 2 ϕ sin ϕ 2r 5 cos ϕ sin ϕ r 4 sin ϕ dϕ dr, 22

12 und die Auswertung der Integrale ergibt F. 2. Wir erinnern uns, dass das Vektorfeld v ein Vektorpotential w x z2 2, xyz, T. Mit Hilfe des Satzes von Stokes erhält man v d O rot w d O w d x. S S Als Parametrisierung des Randes S {x, y, z T S : z x 2 + y 2 } nimmt man Φr, ϕ Damit ergibt sich für den Fluss F 2π 2π 2π cos ϕ sin ϕ, S ϕ [, 2π]. cos ϕ 2 2 sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ dϕ 2 2 cos ϕ sin ϕ cos2 ϕ sin ϕ dϕ 2 2 cos ϕ + cos2 ϕ d cos ϕ. 7.5 Zusammenfassung In der folgenden Tabelle ist abschließend die Bedeutung der Integralsätze für die Berechnung eines Arbeits- und eines Flussintegrals abhängig von den Eigenschaften des zu integrierenden Vektorfelds bzw. der zu durchlaufenden Kurve bzw. der zu durchfließenden Fläche dargestellt. 22

13 Zusammenfassung: Vektoranalysis Spezieller Integrand v Spezielles Integrationsgebiet γ v d x Arbeitsintegral längs der Kurve γ Kurve von γa nach γb Ist rot v, d.h. das Vektorfeld v ist wirbelfrei im einfach zusammenhängenden Gebiet, dann ist Die Oberfläche O wird von der geschlossenen Kurve S γ berandet, positiver Umlaufsinn, dann gilt der Satz von Stokes: S v d x S rot v d O 222 S v d O Fluss über die Fläche S Oberflächenintegral 2. Art v grad f und nach dem. Hauptsatz für Kurvenintegrale gilt grad f d x f γb f γa. γ Ist das Vektorfeld v quellenfrei, d.h. div v, im einfach zusammenhängenden Gebiet, dann ist v rot w. S rot w d O S w d x Der räumliche Bereich B wird von der geschlossenen Oberfläche O berandet, d.h. B O. B v d O div v dv Satz von Gauß B 7 Grundzüge der Vektoranalysis Satz von Stokes