Multiplizierer. Beispiel komplexer arithmetischer Schaltung. Langsamer als Addition, braucht mehr Platz. Sequentielle Multiplikation

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1 Multiplizierer 1 Beispiel komplexer arithmetischer Schaltung Langsamer als Addition, braucht mehr Platz Sequentielle Multiplikation Kompakte kombinatorische Variante mit Carry-Save-Adders (CSA) Vorzeichenbehaftete Multiplikation mit Booth-Algorithmus Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

2 Schulalgorithmus zur Multiplikation 2 B A Partielle Summe * Resultat Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

3 Einfacher Multiplizierer 3 5 B A 5 5 Bit Addierer 5 5 Bit Addierer 5 5 Bit Addierer 5 5 Bit Addierer 5 Resultat Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

4 Ad: Einfacher Multiplizierer 4 n n Multiplikation: Eingabe: zwei n Bit Vektoren Ausgabe: 2 n Bit-Vektor benützt n 1 seriell geschaltete Addierer Annahme CLA Adder Zeit: O(n logn) Platz: O(n 2 ) Gatter, Fläche O(n 2 logn) Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

5 Sequentielle Version 5 Shiften C P A n n 1 n n n n Bit Addierer n B Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

6 Sequentieller Algorithmus 6 1. Obere Hälfte P der partiellen Summe mit initialisieren 2. Erster Operand ins B Register 3. Zweiter Operand ins A Register (untere Hälfte der partiellen Summe) 4. Für jeden der n Multiplikationsschritte: (a) LSB von A gleich 1, dann Addiere B zu P (ansonsten ) (b) Shiebe (C,P,A) nach rechts (C ist Carry des Addierers) 5. Result findet sich in (P,A) Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

7 Sequentielle Multiplikation von 7 und 5 7 C P A 11 Schreibe 7 = nach B und 5 = 11 2 nach A A = 1 also Addiere B = Shiften (A gebraucht, fällt also raus) + A 1 = also Addiere Shiften (A 1 gebraucht, fällt also raus) A 2 = 1 also Addiere B = Shiften, Resultat ist = 35 Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

8 Probleme mit Vorzeichen 8 Multiplikation von 3 und 7 gibt natürlich 21 4-Bit Zweierkomplement: , als unsigned 4-Bit Zahlen sind das 13 bzw. 9 Multiplikation von 13 und 9 ergibt Bit Zweierkomplement: , Multiplikation gibt es mit oder ohne Vorzeichen (signed oder unsigned)! Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

9 Einfache Multiplikation mit Vorzeichen 9 1. Konvertierung der beiden Operanden in positive Zahlen 2. Speichern der urspünglichen Vorzeichen 3. Unsigned Multiplikation der Konvertierten Zahlen 4. Berechnung des Resultats-Vorzeichen aus gespeicherten Vorzeichen (negativ gdw. ursprüngliche Operanden hatten komplementäres Vorzeichen) 5. eventuell Negation des Ergebnisses bei negativem Resultats-Vorzeichen Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

10 Booth Recoding 1 Erste Beobachtung: PA ist auch signed! Verwende Arithmetisches Shift statt Logischem (schiebe beim Shift Vorzeichen-Bit nach, statt dem Carry) Verwende folgende Addition/Subtraktion Regeln (A 1 = ): 1. addiere zu P wenn A i = und A i 1 = 2. addiere B zu P wenn A i = und A i 1 = 1 3. subtrahiere B von P wenn A i = 1 und A i 1 = 4. addiere zu P wenn A i = 1 und A i 1 = 1 Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

11 Booth Multiplikation von 6 und 5 11 P A 11 Schreibe 6 = 11 2 nach A und 5 = 111 nach B 11 A = A 1 = ergibt mit Regel 1 Addition von 11 Shiften 111 A 1 = 1, A = ergibt mit Regel 3 Subtraktion von B +11 Zweierkomplement von ist Shiften +111 A 2 =, A 1 = 1 ergibt mit Regel 2 Addition von B Shiften (arithmetisch!) 111 A 3 = 1, A 2 = ergibt mit Regel 3 Subtraktion von B +11 Zweierkomplement von ist Shiften (arithmetisch!) Shiften, Resultat is = 3 Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

12 Hintergrund Booth Multiplikation 12 Da jedesmal B (A i 1 A i ) zum partiellen Produkt addiert wird, erhält man die Teleskopsumme B n 1 B (A i 1 A i ) 2 i i= ) ( A n 1 2 n 1 + A n 2 2 n A A + B A 1 Integer-Konvertierung einer n-bit Zahl A im Zweierkomplement: A n 1 2 n 1 + A n 2 2 n A A (z.b. 3 = 11 2 = = ) Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

13 Carry-Save-Adder (CSA) 13 Idee: keine Carry Propagierung bei der Multiplikation Unabhängige Volladdierer (Full Adder = FA) Carry-In wird von vorheriger Berechnung genommen Carry-Out wird gespeichert für nachfolgende Berechnung Man spart Propagation durch min. Ω(log n) Logik-Level beim CLA Wesentlich kürzere Multiplikationschritte Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

14 Sequentieller Multiplizierer mit CSA 14 P A Summe Carries FA FA FA FA Volladdierer C i C i +1 A i FA S i B i B Nach n Schritten muss noch die Summe und die Carries addiert werden. Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

15 Kombinatorischer Multiplizierer mit CSA 15 B 4 A B 3 A B 2 A B 1 A B A CSA CSA CSA Ausrollen des sequentiellen CSA und direktes Verbinden der Carries Propagate Adder Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich

16 Zusammenfassung Multiplizierer 16 Multiplikation braucht Platz oder Zeit Carry-Save-Adder braucht kein Rippeln (sequentiell und kombinatorisch) Vorzeichen mit Booth-Recoding behandeln! Weitere Operationen wie Division haben ähnliche Trade-Offs Digitaltechnik # Sommersemester 24 Armin Biere ETH Zürich