Die Einsteinsche Feldgleichung

Transkript

1 Die Einsteinsche Feldgleichung Volker Perlick ZARM, Univ. Bremen, Germany Eisenbahnfriedhof Uyuni, Bolivien Heraeus-Seminar 100 Jahre Allgemeine Relativitätstheorie Potsdam, 11 März 2015

2 Newton Einstein d 2 dt 2 r + φ = 0??? 1 4πG φ = µ??? φ (Gravitationspotential)??? µ (Massendichte)???

3 m träge d 2 dt 2 r + m schwer φ = 0 Äquivalenzprinzip: m träge = m schwer Eötvös: 10 7 (1889) Eöt-Wash: (2001)

4 Frei fallender Kasten im homogenen Gravitationsfeld Ruhender Kasten in einem Inertialsystem

5 Ruhender Kasten im homogenen Gravitationsfeld Kasten, der gegenüber einem Inertialsystem gleichmäßig beschleunigt wird

6 Äquivalenzprinzip = Im Infinitesimalen gilt die Spezielle Relativitätstheorie Raumzeit der Speziellen Relativitätstheoprie Raumzeit mit Gravitationsfeld Raumzeit mit Gravitationsfeld = Mannigfaltigkeit mit Metrik g µν Im Gravitationsfeld frei fallende Teilchen = zeitartige Geodäten

7 Newton Einstein d 2 dt 2 r + φ = 0 ẍ µ + Γ µ νσẋ ν ẋ σ = 0, 1 4πG φ = µ??? φ (Gravitationspotential)??? µ (Massendichte)???

8 Newton Einstein d 2 dt 2 r + φ = 0 ẍ µ + Γ µ νσẋ ν ẋ σ = 0, 1 4πG φ = µ??? φ (Gravitationspotential) g µν (Raumzeitmetrik) µ (Massendichte)???

9 Was ersetzt die Massendichte µ auf der rechten Seite der Feldgleichung? Masse ist in der (Speziellen) Relativitätstheorie eine Form von Energie Massendichte Energiedichte Energiedichte ist in der (Speziellen) Relativitätstheorie beobachterabhängig Energiedichte Energie-Impuls-Tensor

10 Energie-Impuls-Tensor für Staub ( inkohärente Materie ) x 0 U ρ (x) x 2 x 1 Energiedichte = Energie / Volumen

11 Betrachte kleines Volumen um x x 0 Energie: E = mc 2 1 V (x)2 c 2 Vol 0 u ν U µ (x) = mu σ (x)u σ, Volumen: Vol = 1 V (x)2 c 2 Vol 0 Vol x 2 = c2 Vol 0 U λ (x)u λ, x 1

12 Energiedichte ε(x) = E Vol = mc 2 Vol 0 ( 1 V (x) 2 c 2 ) = mu σ(x)u σ U λ (x)u λ Vol 0 c 2 = µ(x) c 2 U σ(x)u λ (x)u σ u λ mit Ruhmassendichte µ(x) = m Vol 0 Energiedichte ist quadratische Form in der Vierergeschwindigkeit ε(x) = T σλ (x) uσ c u λ c mit Energie-Impuls-Tensor T σλ (x) = µ(x)u σ (x)u λ (x)

13 Energie-Impuls-Tensor für ideale Flüssigkeit: T ρσ (x) = ( µ(x) + p(x) c 2 ) U ρ (x)u σ (x) + p(x)η ρσ U ρ (x) :Vierergeschwindigkeit µ(x) : Ruhmassendichte p(x) :Druck Energie-Impuls-Tensor für elektromagnetisches Feld, Klein-Gordon- Feld, Dirac-Feld...

14 T σρ (x) ist symmetrisch. S σ (x) = T σρ (x)u ρ definiert die Energiestromdichte bzgl. u ν. Im abgeschlossenene System: Energieerhaltung 0 = ρ S ρ (x) = ρ ( T ρσ (x)u σ ) = uσ ρ T ρσ (x). in jedem Inertialsystem, also ρ T ρσ (x) = 0. In gekrümmter Raumzeit: ρ T ρσ (x) = 0.

15 Newton Einstein d 2 dt 2 r + φ = 0 ẍ µ + Γ µ νσẋ ν ẋ σ = 0, 1 4πG φ = µ??? φ (Gravitationspotential) g µν (Raumzeitmetrik) µ (Massendichte) T µν (Energie-Impuls-Tensor) 1 D (Differentialoperator) 4πG

16 Newton Einstein d 2 dt 2 r + φ = 0 ẍ µ + Γ µ νσẋ ν ẋ σ = 0, 1 4πG φ = µ Dg µν = T µν φ (Gravitationspotential) g µν (Raumzeitmetrik) µ (Massendichte) T µν (Energie-Impuls-Tensor) 1 D (Differentialoperator) 4πG

17 Theorem (David Lovelock, 1972): D ist zweiter Ordnung und µ Dg µν = 0 Dg µν = 1 κ (R µν R2 g µν + Λg µν ) R µν :Ricci Tensor, R :Ricci-Skalar, κ, Λ :Konstante. Einsteinsche Feldgleichung: R µν R 2 g µν + Λg µν = κt µν

18 Newtonscher Limes d 2 x µ dτ 2 + Γµ νσ dx ν dτ dx σ dτ = 0 Näherung d 2 x i dt 2 + δij j φ = 0, R µν R 2 g µν + Λg µν = κt µν Näherung φ = 4πGµ. Gravitationsfeld ist schwach Zeitliche Änderung des Gravitationsfelds ist schwach Teilchenbewegung ist langsam Materiebewegung ist langsam = κ = 8πG c 4, Λ = 0

19 Positives Λ bewirkt abstoßende Gravitation Λ wurde von Einstein (1917) in die Feldgleichung eingeführt, um statische kosmologische Lösungen zu erhalten Heute: R µν R 2 g µν = κt µν Λg µν Dunkle Energie bewirkt beschleunigte Expansion des Universums Λ m 2 T µν enthält (kalte) Dunkle Materie

20 Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung R µν R 2 g µν + Λg µν = κt µν Jede Metrik ist eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichung mit irgendeinem Energie-Impuls-Tensor. Gesucht: Lösungen für Vakuum, Staub, Ideale Flüssigkeit, Elektromagnetisches Feld, Klein-Gordon-Feld, Dirac-Feld,...

21 Vakuum (T µν = 0): R µν R 2 g µν + Λg µν = 0 g µν R 2R + 4Λ = 0 R = 4Λ Vakuum-Feldgleichung mit kosmologischer Konstante: R µν = Λg µν Einstein-Mannigfaltigkeit

22 Vakuum (T µν = 0): R µν R 2 g µν + Λg µν = 0 g µν R 2R + 4Λ = 0 R = 4Λ Vakuum-Feldgleichung ohne kosmologische Konstante: R µν = 0

23 Lösungen der Vakuum-Feldgleichung ohne Λ: Schwarzschild-Lösung (1916): Außenraum eines kugelsymmetrischen Körpers (Stern, Schwarzes Loch) Kerr-Lösung (1963): Rotierendes Schwarzes Loch Neugebauer-Meinel-Scheibe (1994): Außenraum einer rotierenden Staubscheibe Brinkmann-Lösungen (1925): Ebene Gravitationswellen Beck(-Einstein-Rosen-)Lösungen (1925): Zylindrische Gravitationswellen...

24 Feldgleichung für ideale Flüssigkeit: R µν R 2 g µν + Λg µν = κ {(µ + pc 2 )U µ U ν + pg µν } Euler-Gleichung: (µ + p ) c 2 U ρ ρ U σ ( + τ p g τσ + 1 c 2Uτ U σ ) = 0. Zustandsgleichung: p = f(µ) Gekoppeltes System von Gleichungen für g ρσ, U σ, µ,

25 Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung mit idealer Flüssigkeit Innere Schwarzschild-Lösung (1916): Kugelsymmetrische statische Lösung (ohne Λ) mit konstanter Massendichte, Sternmodell Friedmann-Lösungen (1922): Kosmologische Lösungen, homogen und isotrop Gödel-Kosmos (1949): rotierende homogene Staublösung mit Λ, Kausalitätsverletzung...

26 Einsteinsche Feldgleichung kann aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden Einstein-Hilbert-Wirkungsintegral: W = Ω ( R 2 κl mat) det(g µν ) dx 0 dx 1 dx 2 dx 3. D. Hilbert (1915)

27 Linearisierte Einsteinsche Feldgleichung: R µν R 2 g µν = κt µν g µν = η µν + h µν. γ µν = h µν 1 2 η ρσh ρσ η µν. Hilbert-Eichung: µ γ µν = 0 γ µν = 2κT µν. = η ρσ ρ σ = 1 c 2 2 t 2 T µν = 0 :Ebene harmonische Gravitationswellen