Parametrisierung und Integralsätze
|
|
- Lars Dominik Maier
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Parametrisierung und Integralsätze 2. März 2 Integration in der Ebene. Defintion: eien w,..., w n stückweise reguläre, einfach geschlossene Kurven in R 2, seien W,..., W n die von diesen Wegen umschlossene Gebiete, Wi W und es gelte W i W j, i j, i, j {, 2,..., n}, dann bezeichnet man := W \ ( n i= W i) als regulären Bereich..2 Definition: Eine Menge R 2 wenn es u, v C [a, b] mit u v und gibt, dann nennt man einen Normalbereich. := {(x, y) : a x b, u(x) y v(x)} Für die Integration über Normalbereiche gilt wegen der Konstruktion des Normalbreiches folgende Gleichung b v(x) f(x, y) dλ 2 = f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx womit die Integration über R 2 auf eine sukzessive Integration zweier Integrale zurückgeführt wird..3 Beispiel (Integration über Normalbereiche): Wir betrachten hier als Beispiel einen sehr einfachen Bereich und die Funktion f(x, y) :=. Gegeben sei dann gilt := {(x, y) [, ] 2 : x + y } = {(x, y) R 2 : x, y x} dλ 2 = dx x dy = a u(x) dx( x) = [x 2 x2 ] = 2 ein Ergebnis, dass man sich auch schnell durch eine einfache geometrische Überlegung klar macht. Nun wollen wir den atz von Green im R 2 formulieren. Dazu benötigen wir erstmal ein Kurvenintegral über Vektorfelder im Zweidimensionalen zu unserer Definition des regulären Bereiches..4 Definition (Kurvenintegral über den Rand eines regulären Bereiches): ei R 2 ein regulärer Bereich und F : D R 2 ein stetiges Vektorfeld auf D R 2 offen mit D, dann nennt man F ds := F ds i das Kurvenintegral entlang des Randes von. Betrachten wir nun ein Kurvenstück w i : R I R 2, so lässt sich das Integral entlang dieser Kurve mit dem Tangentenvektor ẇ i folgendermaßen schreiben: γ i F ds = (F(w i (t)) ẇ i ) dt I i w i
2 hierbei soll I i der Definitionsbereich für die Kurve w i bezeichen. Bemerkung: Man beachte, dass die Kurven im positiven inne durchlaufen werden sollen, d.h. die Fläche soll beim Durchlaufen auf der linken eite liegen. Man schreibt dies auch als ( ) w wird an der telle w(t) positiv durchlaufen : δ > : w(t) + ɛ ẇ(t) \, < ɛ δ.5 atz von Green: ei R 2 ein regulärer Bereich und der Rand werden im mathematisch positiven inne durchlaufen. F : D R 2 beizeichne ein C -Vektorfeld auf D R 2 offen mit D, dann gilt ( F ds = x F 2(x, y) ) y F (x, y) Der atz von Green hat wichtige Folgerungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Physik. uch lässt sich eine Version des atzes von Gauß im Zweidimensionalen mit ihm beweisen (siehe Übungen). 2 Integration über Flächen im Raum 2. Definition (Parameterdarstellung von d-dim. Flächen im R n ): eien U R d offen und U kompakt, dann nennt man eine C -bbildung x : U R n eine reguläre Parameterdarstellung des Flächenstückes := x(), falls (i) x injektiv ist (ii) die partiellen bleitungen x ui, i,..., d in alle u linear unabhängig sind. Bemerkungen: () Man definiert hier den Rand nicht als, sondern durch die Parametrisierung des Randes von, welches sich dann als Rand := x( ) schreibt. (2) Ein Flächenstück nennt man stückweise regulär, falls es aus regulären Flächenstücken aufgebaut ist, d.h. = n, solcher rt, dass diese nur Randpunkte gemeinsam haben. Dann wird Rand als die Ränder definiert, welche nur zu einem i gehören. (3) Die letzte Eigenschaft garantiert, dass der Tangentialraum an das Flächenstück nicht entartet ist, d.h. die Dimension d hat, da der Tangentialraum am Flächenstück durch die Vektoren x ui aufgespannt wird. 2.2 Beispiele: () Für d = ergeben sich die regulären Kurven γ : R I R n. Die Bedingung der linearen Unabhängigkeit ergibt hier die Forderung γ(t) für alle t I (zur Erinnerung: Der Nullvektor ist immer linear abhängig), was in der Definition für reguläre Kurven auch gefordert wird. (2) Die regulären Rotationsflächen im R 3. Es sei α = (r, z) : I R 2 eine reguläre Kurve mit r(v) > für alle v I, I ein offenes Intervall. Man definiere dazu γ : R I R 3 durch r(v) cos u γ(u, v) := r(v) sin u z(v), (u.v) R I 2.3 Die wichtigsten Parametrisierungen (i) Polarkoordinaten im R 2 lauten x(r, ϕ) = ( ) r cos ϕ, (r, ϕ) (, ) (, 2π) r sin ϕ 2
3 (ii) Kugelkoordinaten im R 3 lauten r sin θ cos ϕ x(r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ, (r, θ, ϕ) (, ) (, π) (, 2π) r cos θ (iii) Zylinderkoordinaten im R 3 r cos ϕ x(r, ϕ, z) = r sin ϕ, (r, ϕ, z) (, ) (, 2π) (, ) z Für die Wahl der richtigen Parametrisierung gibt es kein allgemeines Rezept oder eine einfache Regel. In den Übungen werden wir einige Beispiele behandeln und mit der Zeit erhält man so etwas wie eine Intuition, welche Parametrisierung die richtige ist. 2.4 Definition (Gramsche Matrix und Determinante): Die Gramsche Matrix ist durch G(u) := J x (u) T J x (u) = ( x i, x j ) i,j d R d,d definiert, wobei J x (u) die Jacobi-Matrix bezeichnet. Durch die Bedingung (ii) aus der Definition für die Parameterdarstellung hat die Jacobi-Matrix maximalen Rang. Die Gramsche Determinante ist einfach die Determinante der Gramschen Martix g(u) := det(g(u)) Mit der Gramschen Determinante kann man nun das Oberflächenelement do(u) := g(u)dλ d (u) mit dem d-dimensionalen Lebesgue-Maß λ d definieren. Daher nennt man das Integral f do = f(x) g(x)dλ d (x) das Oberflächenintegral über die d-dimensionale Fläche. Wir geben hier noch eine wichtige Eigenschaft des Oberflächenintegrals bei Parametertransformationen an. 2.5 atz (Parametertransformation): ei = x() ein stückweise reguläres Flächenstück, U offen und φ : U U bijektiv und es seien sowohl φ, als auch φ stetig differenzierbar (d.h. φ ist ein C -Diffeomorphismus). Dann nennt man φ eine Parametertransformation und x := x φ ist eine Parametrisierung von = x() = x(φ ()). Dann gilt f do = f(x) do(x) = f( x) do( x) nders ausgedrückt: Das Oberflächenintegral ist invariant unter Parametertransformationen (unabhängig von der Parametrisierung). Im folgenden werden wir uns meistens auf den pezialfall n = 3 beschränken. Eine Parametrisierung eines regulären Flächenstückes (d = 2) definiert man im R 3 durch x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) und das reguläre Flächenstück ist durch := x() = { x(u, v) R 3 : (u, v) } gegeben. 3
4 2.6 Beispiel (Oberflächenelement für eine Fläche im R 3 ): Die Gramsche Matrix hat hier die Form ( ) xu, x G(u, v) = u x u, x v x v, x u x v, x v und hieraus erhält man nach einigen Umformungen Damit lässt sich das Oberflächenelement als g(u, v) = x u x v do = x u x v dλ 2 Nehmen wir mal als Beispiel die Einheitskugel = {x R 3 : x = }. Hier nehmen wir als Parametrisiereung Polarkoordinaten, womit die Bedingung x = die einfache Form r = annimmt, während θ und ϕ unbestimmt bleiben. Genauer bedeutet dies in unseren Definitionen, dass u = θ, v = ϕ, = [, π] [, 2π] und sin θ cos ϕ x = sin θ sin ϕ cos θ woraus sich nach kurzer Rechnung g(θ, ϕ) = sin 2 (θ) und daher auch do(θ, ϕ) = sin θ dθdϕ. Damit lässt sich z.b. die Oberfläche von berechnen, O() = 2π dλ 2 = dϕ π dθ sin(θ) = 4π 2.7 Definition (Einheitsnormalenvektorfeld einer Fläche im R 3 ): ei durch x : R 2 U R 3 eine Parametrisierung eines regulären Flächenstückes := x() gegeben. Dann definiert man das Einheitsnormalenvektorfeld auf durch n := x u x v x u x v und hiermit kann man Fluss eines integrierbaren Vektorfeldes F : R 3 durch die Fläche definieren: F do := (F n) do = (F n) do i wobei im letzte chritt das stückweise reguläres Flächenstück aus den regulären Flächenstücken i zusammengesetzt ist. 2.8 Definition (Randintegral eines Vektorfeldes in R 3 ): ei = x() ein reguläres Flächenstück und F ein stetiges Vektorfeld. Dann nennt man das Integral F dx := i= I i i n F(γ i (t)) γ i (t) dt das Randintegral von F bezüglich. Hier erinnern wir uns an die Definition eines regulären Bereiches. Der Rand von besteht aus stückweise regulären geschlossenen Wegen w, w,..., w n und daher ergibt sich durch die Parametrisierung die Wege γ i := x w i, welchen den Rand x( ) darstellen. 2.9 atz von tokes: ei = x() ein reguläres Flächenstück und die Parametrisierung x sei 2 mal stetig-differenzierbar, dann gilt: F dx = ( F) do 4
5 wobei F : R 3 V R 3 mit V ein stetige-differenzierbares Vektorfeld ist. Bemerkung: Hier seien noch ein paar Worte zum atz von tokes verloren. us der Definition des Randes eines regulären Flächenstückes folgt, dass der Rand genau eine Orientierung im mathematisch positivem inne besitzt, wenn man von Oben auf das Flächenstück (entgegen der Richtung von n = x x u x v u x v ) so schaut. Eine leicht zu merkende Regel (Regel der rechten Faust) ist die Folgende: Bildet man mit der rechten Hand eine Faust und streckt den Daumen nach oben, dann müssen die Wege so parametrisiert werden, dass sie in Richtung der Finger durchlaufen werden. 3 Volumenintegration Im Folgenden wollen wir uns auf Integrationen von Mengen mit der gleichen Dimension wie der R n beschränken, und werden uns meistens mit dem speziellen Fall n = 3 begnügen. Der zentrale atz in diesem bschnitt ist der atz von Gauß, welchen wir in einer Form für den R 3 formulieren. Zuerst werden wir einfach die Definition für den Normalbereich aus dem R 2 für den R 3 formulieren. 3. Definition(Normalbereich): ei R 2 und u, v : R messbar mit u(x, y) v(x, y), (x, y), dann nennt man B := {x R 3 : (x, y), u(x, y) z v(x, y)} einen messbaren Normalbereich. Es ergibt sich B B 3. Man schreibt v(x,y) f(x, y, z) dλ 3 = f(x, y, z) dx dy dz B u(x,y) 3.2 atz von Gauß: ei G R 3 kompakt mit Rand G aus endlich vielen disjunkten, geschlossenen, stückweise regulären, orientierbaren Flächenstücken. Für ein C -Vektorfeld F : U R 3 auf einer offenen Menge U G gilt divf dλ 3 = F do G Die Voraussetzungen, welche an den Rand von G gestellt werden, sind notwendig um die Integrierbarkeit (so wie wir sie definiert haben) über reguläre Flächenstücke zu gewährleisten, d.h. unser Oberflächenintegral ist definiert. Die Orientierbarkeit ist z.b. für das richtige Vorzeichen wichtig. Man beachte, dass die Normale n = x u x v x u x v immer nach außen (in Hinsicht auf G) weist. Zum chluss wird hier noch ein atz zitiert, welcher geometrisch eigentlich schon klar ist 3.3 atz: Für jede Borel-messbare Menge B B k und für k < n gilt G λ n (B) = wobei hier λ n natürlich das Lebesgue-Borel Maß (oder Lebesgue Maß) bezeichnet. 5
Grundzüge der Vektoranalysis
KAPITEL 7 Grundzüge der Vektoranalysis 7. Satz von Green................................... 2 7.2 Satz von Stokes................................... 22 7.2. Zirkulation und Wirbelstärke..........................
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Simone Warzel Max Lein TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) Wintersemester 29/2 Lösungsblatt 2 (27..29) Zentralübung 4. Parametrisierung einer
MehrVektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes
Vektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes Themen des Tutoriums am 03.06.2015: Wiederholung: Ein glattes Flächenstück ist eine Menge M R 3, die eine reguläre Parametrisierung
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 8.6.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrFerienkurs Analysis 3 für Physiker. Integration im R n
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Integration im R n Autor: Benjamin Rüth Stand: 16. ärz 214 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Definition des Riemann-Integrals über Quadern 3
MehrAnalysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld
Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann
Mehr19.3 Oberflächenintegrale
19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,
MehrHöhere Mathematik Vorlesung 7
Höhere Mathematik Vorlesung 7 Mai 2017 ii Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt. Albert Einstein 7 Flächenintegrale Flächen Reguläre Flächen: ei D R 2 regulär. Unter einer Fläche
MehrFerienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Integralsätze
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Integralsätze Autor: enjamin Rüth Stand: 7. März 4 Aufgabe (Torus) Zu festem R > werden mittels ϱ T : [, R] [, π] [, π] R 3, ϕ ϑ Toruskoordinaten eingeführt. estimmen
Mehrφ(ζ, η) = (ζ η, η) = (x, y), bijektiv und stetig differenzierbar ist. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: f(ζ) det(dφ(ζ, η)) dζ dη f(ζ) dζ dη.
Übungen (Aufg und Lösungen zu Mathem u Lin Alg II SS 6 Blatt 9 66 Aufgabe 43: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dx dy in ein einfaches Integral um Lösung: Führe neue Koordinaten
MehrFerienkurs Analysis 3
Ferienkurs Analysis 3 Vektoranalysis Zensen Carla, Heger aniel, Kössel Fabian, Ried Tobias 21. ärz 21 Inhaltsverzeichnis 1 Untermannigfaltigkeiten des R n 3 1.1 Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten...............
MehrAnalog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form. ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können.
142 Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können. efinition
MehrTeil 8. Vektoranalysis
Teil 8 Vektoranalysis 5 6 8. kalar- und Vektorfelder kalarfeld alternative chreibweisen: U = U(x, y, z) = U( r) R 3 P U(P ) R Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschränkungen auf achsenparallele
Mehr(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const.
13 Flächenintegrale 64 13 Flächenintegrale Im letzten Abschnitt haben wir Integrale über Kurven betrachtet. Wir wollen uns nun mit Integralen über Flächen beschäftigen. Wir haben bisher zwei verschiedene
MehrNormalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form
155 Normalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. D. Castrigiano Dr. M. Prähofer Zentralübung 7. Das Gauss-Integral e x2 dx TECHNISCHE UNIVESITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 4 (nalysis 3 http://www.ma.tum.de/hm/m924 2W/
MehrMathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 212 Mathematik für Anwender II Vorlesung 58 Der Satz von Green Wir betrachten eine kompakte eilmenge R 2, deren Rand R sich stückweise durch reguläre Kurven parametrisieren
MehrLinien- und Oberflächenintegrale
Linien- und berflächenintegrale Bei den früheren eindimensionalen Integralen wurde in der Regel entlang eines Intervalls einer Koordinatenachse integriert. Bei einem Linienintegral wird der Integrationsweg
MehrDas heißt, Γ ist der Graph einer Funktion von d 1 Veränderlichen.
Kapitel 2 Der Gaußsche Satz Partielle Differentialgleichung sind typischerweise auf beschränkten Gebieten des R d, d 1, zu lösen. Dabei sind die Eigenschaften dieser Gebiete von Bedeutung, insbesondere
Mehr1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler
Zusammenfassung Kapitel IV: Funktionen mehrerer Veränderlicher und vektorwertige Funktionen 1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler Definition vektorwertige
Mehr15. Bereichsintegrale
H.J. Oberle Analysis III WS 212/13 15. Bereichsintegrale 15.1 Integrale über uadern Ziel ist die Berechnung des Volumens unterhalb des Graphen einer Funktion f : R n D R, genauer zwischen dem Graphen von
MehrListe wichtiger Stammfunktionen
Liste wichtiger Stammfunktionen Funktion Stammfunktion x n, x ln(x) n R \ { } n + xn+ ln( x ) x ln(x) x a x, a > sin(x) cos(x) sin 2 (x) cos 2 (x) x 2 x 2 a x ln(a) cos(x) sin(x) (x sin(x) cos(x)) 2 (x
Mehr1. Juli F k x k (X), X D. k=1 (X) F. x 2 (X) F 3. x 1 F 2. F 1 (X). rot F (X) = F n (X) = F j x i. , 1 i, j 3
. Juli 28 3 9 Vektoranalysis 9. Divergenz und otation Es sei D n offen und = [,..., n ] T sei stetig differenzierbares Vektorfeld. Unter der Divergenz des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck div = n
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck França Stefan Huber Zentralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) MA94 Z4.. Parametrisierungsinvarianz des Oberflächenintegrals
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrMathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 35 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 21.11.28 2 / 35 Wiederholung Divergenz und Rotation Gradient und Laplace-Operator Merkregeln
Mehr12 Der Gaußsche Integralsatz
12. Der Gaußsche Integralsatz 1 12 Der Gaußsche Integralsatz Das Ziel dieses Abschnitts ist die folgende zentrale Aussage der mehrdimensionalen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen:
Mehr10 Untermannigfaltigkeiten
10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und
Mehr8 Beispiele von Koordinatentransformationen
8 Beispiele von Koordinatentransformationen Wir diskutieren nun diejenigen Koordinatentransformationen, die in der Praxis wirklich gebraucht werden (ebene und räumliche Polarkoordinaten sowie Zylinderkoordinaten).
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr D Castrigiano Dr M Prähofer Zentralübung 85 Oberfläche des Torus im R 4 TECHNICHE UNIVERITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 4 (Analysis http://wwwmatumde/hm/ma924 2W/ Gegeben
MehrX. Mehrfache Integrale
X. Mehrfache Integrale Definition (10.1). Sei I k = {x = (x 1,..., x k ) : a i x i b i, i = 1,..., k} eine k Zelle in R k. Weiters sei I j die j Zelle in R j definiert durch die ersten j Ungleichungen,
MehrRepetitorium Analysis II für Physiker
Technische Universität München Larissa Hammerstein Vektoranalysis und Fourier-Transformation Lösungen Repetitorium Analysis II für Physiker Analysis II Aufgabe Skalarfelder Welche der folgenden Aussagen
MehrLösungsvorschlag zum 12. Übungsblatt zur Vorlesung Analysis III im Wintersemester 2018/ Januar 2019
Lösungsvorschlag zum 2. Übungsblatt zur Vorlesung nalysis III im Wintersemester 28/9 28. Januar 29 Institut für nalysis Prof. Dr. Michael Plum M.Sc. Jonathan Wunderlich ufgabe 45: (i Der Weg umlaufe den
MehrLösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie. Tobias Ried
Lösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie Tobias Ried. März 2 2 Aufgabe (Messbarkeit der Komposition zweier Abbildungen). Seien (X, A), (Y, B) und (Z, C) Messräume und f : (X,
MehrAnalysis II. 8. Klausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis II 8. Klausur mit en 1 2 Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Eine Metrik auf einer Menge M. 2) Die Kurvenlänge
MehrMusterlösungen zu Serie 6
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 3 Dr. Ana Cannas da Silva Musterlösungen zu Serie 6. Die Bogenlänge des Graphen einer differenzierbaren Funktion b f : [a, b] R ist durch + (f (x)) dx gegeben. Insbesondere
MehrTechnische Universität München. Probeklausur Lösung SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel & Carla Zensen Ferienkurs Analysis für Physiker Probeklausur Lösung SS Aufgabe Differenzierbarkeit / Punkte: [4,, 3, 4] Es sei f(x, y) = sin(x3 + y 3 ) x +
MehrAnleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2
Mehr6.4 Oberflächenintegrale 1. und 2. Art
6.4 Oberflächenintegrale. und. Art 6.4. Integration über Flächen im Raum Es gibt verschiedene Möglichkeiten der arstellung von Flächen im Raum:. explizite arstellung als Graph z = f(x, y), was aber eigentlich
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 7/8 W. Stannat, A. Gündel-vom ofe..8 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurwissenschaften Lösungsskizze Analysis II für Ingenieurwissenschaften
MehrMehrdimensionale Integration
Kapitel C Mehrdimensionale Integration h s r h h r h r Inhalt dieses Kapitels C000 1 Der Satz von Fubini 3 Aufgaben und Anwendungen 1 Vertauschen von Integral und Reihe Mehrdimensionale Integration #Der
MehrAbbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,
MehrAnalysis IV. Gruppenübungen
Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner TECHNISCHE UNIVESITÄT DAMSTADT ASS 6 7.7.26 Analysis IV 3. Übung mit Lösungshinweisen (G ) Berechnung einiger Volumina Gruppenübungen
Mehr(Gaußscher Integralsatz)
Der Gaußsche Integralsatz Beim Oberflächenintegral O F n da beschreibt der Integrand den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement da. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene
MehrDas mehrdimensionale Riemann-Integral. 1. Volumenintegrale
Das mehrdimensionale Riemann-Integral. Volumenintegrale Es sei ein uader im R n gegeben durch := [a, b ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x,... x n ) a j x j b j } mit rellen Zahlen a j, b j, j =,... n. Offenbar
MehrDifferentialgeometrie von Kurven und Flächen
Differentialgeometrie von Kurven und Flächen Inhaltsverzeichnis:. Hilfsmittel Fritzsche 2. Parametrisierte Kurven Ballnus, 29.0. 3. Ebene Krümmung Ballnus, 05.. 4. Raumkurven Stergiou, 2.. 5. Globale Eigenschaften
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Analysis.6.3 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick reuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 9. Übungsblatt Ein Heißluftballon
Mehrein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
Mehr1 Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben
Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben. Lösungen zu den Aufgaben zum Kapitel.. Tutoraufgaben. Man stellt fest: fx, y x, y G. omit ist f beschränkt auf G a Da f auf G beschränkt, ist f auf G Riemann-Integrabel
MehrTotale Ableitung und Jacobi-Matrix
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Totale Ableitung 1-1 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
Mehrf(s)ds = F (b) F (a).
Analysis 3, Woche 9 Berechnen der Integrale 91 Einleitung Um ein Integral eplizit berechnen zu können, greift man fast immer auf ein Ergebnis zurück: den Hauptsatz der Integralrechnung Er stellt die Verbindung
Mehr116 KAPITEL 15. INTEGRALSÄTZE
116 APITEL 15. INTEGRALSÄTZE Aufgabe 15.1.3 (Verschwinden des Integrales über eine partielle Ableitung) Es sei U R n offen, ϕ C 0 (U; R). Dann ist für j = 1,..., n U ϕ x j dλ n = 0. Wir erinnern an die
Mehr2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1
UNIVERSITÄT ARLSRUHE Institut für Analsis HDoz Dr P C unstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Phsik und Geodäsie inklusive omplexe Analsis
Mehrv(x, y, z) = (1 z)x 2 + (1 + z)y 2 + z. Hinweis: Der Flächeninhalt der Einheitssphäre ist 4π; das Volumen der Einheitskugel
Aufgabe Gegeben sei das Gebiet G : { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 < } und die Funktion Berechnen Sie das Integral v(x, y, z) ( z)x 2 + ( + z)y 2 + z. G n ds, wobei n der nach außen zeigende Normalenvektor
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Lösungen zu Serie 8. F n ds = (0 + 0) dx dy = 0. (1 ( 1)) dx dy = 2
D-EDW, D-HET, D-UY Mathematik II F Dr. Ana annas Lösungen zu erie 8. a) Wir berechnen den Fluss von F mittels Green F n ds + ) dx dy und die Zirkulation F T ds )) dx dy wobei Vol ) den Flächeninhalt des
MehrSerie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum
: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt
MehrAnalysis II. Vorlesung 52. Diffeomorphismen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 52 Diffeomorphismen Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition. Definition 52.1. EsseienV 1 undv 2 endlichdimensionalereellevektorräume
MehrFormelsammlung Analysis I & II
Formelsammlung Analysis I & II Wichtige eindimensionale Integrale: { x s dx = s+ xs+ + C falls s log x + C falls s = exp(x dx = exp(x + C cos(x dx = sin(x + C sin(x dx = cos(x + C sinh(x dx = cosh(x +
MehrÜbungen zur Vorlesung: Mehrdimensionale Integralrechnung, Vektoranalysis und Differentialgleichungen B.Sc. Matthias Schulte
SoSe 17 Blatt 1 07. April 2017 Abgabe: Freitag, 14.04.2017 bis 14:00 Uhr. Persönlich oder per Mail. Aufgabe 1. [4+2 = 6 Punkte] a) Berechnen Sie folgende Integrale! 4 i) 3 7x 2 +6x 4 x 3 3x 2 dx 1 ii)
Mehr5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz
HM III = MATH III FT 2013 50 5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz Der Gaußsche Integralsatz umgangssprachlich am eispiel strömender Flüssigkeiten: Die Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche
MehrKLAUSUR. Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing) Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf
KLAUSUR Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing).9.7 Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Unterschrift: In der Klausur können Sie insgesamt
Mehr3 Die Integralsätze von Gauß und Stokes
3 Die Integralsätze von Gauß und Stokes 3.1 Der Gaußsche Integralsatz 3.1 Definition. Es sei G R n (n N, n 2) ein beschränktes Gebiet und k N eine natürliche Zahl. G heißt C k glatt berandet, falls es
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt N dl. y 3
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS / Blatt 9.. Aufgabe 5: Berechnen Sie das Integral K ( x y N dl über den Rand des Kreises K {(x, y x + y } einmal direkt mit Hilfe einer geeigneten Parametrisierung
MehrIntegralrechnung für GLET
Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
MehrAnalysis 3, Woche 11. Mannigfaltigkeiten II Immersionen
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten II. Immersionen Definition. Sei m n N und X R m offen. Eine Abbildung f C X; R n heißt Immersion, wenn für jedes x X die Matrix fx injektiv ist. Bemerkung.. Man hat
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. M. Keyl M. Kech TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) MA923 http://www-m5.ma.tum.de/allgemeines/ma923 216S Sommersem. 216 Lösungsblatt 3 (29.4.216)
MehrTechnische Universität München. Aufgaben Mittwoch SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 2 für Physiker Aufgaben Mittwoch SS 2012 Aufgabe 1 Äquivalente Aussagen für Stetigkeit( ) Beweisen Sie folgenden Satz: Seien X und Y metrische
Mehr7 Der Gaußsche Integralsatz
7 Der Gaußsche Integralsatz Im Folgenden sei eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n und a. 7.1 Tangentialvektoren. Ein Vektor v R n heißt Tangentialvektor an in a, falls es eine stetig differenzierbare
Mehr6 Integration auf Untermannigfaltigkeiten
6 Integration auf Untermannigfaltigkeiten 6.1 annigfaltigkeiten. Eine k dimensionale C α annigfaltigkeit ist ein metrischer Raum mit einer Überdeckung {V : J} durch offene engen und Homöomorphismen ϕ :
MehrAnalysis I & II Lösung zur Basisprüfung
FS 6 Aufgabe. [8 Punkte] (a) Bestimmen Sie den Grenzwert ( lim x x ). [ Punkte] log x (b) Beweisen Sie, dass folgende Reihe divergiert. n= + n + n + sin(n) n 3 + [ Punkte] (c) Finden Sie heraus, ob die
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 8 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom./3. April.. Den Satz
Mehr1. und 2. Fundamentalform
1. und 2. Fundamentalform regulärer Flächen Proseminar Differentialgeometrie Von Daniel Schliebner Herausgabe: 05. Dezember 2007 Daniel Schliebner 1. und 2. Fundamentalform regulärer Flächen Seite 1 6.1
MehrKlausur HM II/III F 2003 HM II/III : 1
Klausur HM II/III F 3 HM II/III : Aufgabe : (7 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion f : R R gegeben durch x 3 y 3 f(x, y) x + y sin, (x, y) (, ) x + y, (x, y) (, ) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
MehrPrüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...
Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 20. März 2014 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können 10 Punkte pro Aufgabe, also insgesamt 100 Punkte erreicht werden.
Mehr1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) := xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) Hinweis: Verwenden Sie Symmetrien.
1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) : xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) inweis: Verwenden Sie Symmetrien. Lösung: Betrachte den Diffeomorphismus j : B 1 () B 1
Mehr1. Klausur. für Studierende der Fachrichtungen phys. 2u du u(1 + u 2 ) = 2. = 1, c = 1. x= 1
Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Prof. Dr. C. Rohde Höhere Mathematik I III Diplomvorprüfung 3. 3. 8. Klausur für Studierende der Fachrichtungen phys Bitte unbedingt beachten: In dieser Klausur
Mehr26. Der Gaußsche Integralsatz
6 26. Der Gaußsche Integralsatz Im Folgenden sei eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n und a 2. 26.1. Tangentialvektoren. Ein Vektor v 2 R n heißt Tangentialvektor an in a, falls es eine stetig
MehrMannigfaltigkeiten und Integration I
und Integration I Martin Jochum 16. Dezember 2008 und Integration I 16. Dezember 2008 1 / 28 Gliederung Definition Folgerungen Tangentialvektoren Differentialformen Euklidische Simplizes Definition Motivation
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 1. Juni 13 *Aufgabe 1. erechnen Sie durch Übergang zu Polar-, Kugel- oder Zylinderkoordinaten die Fläche bzw. das Volumen (a) der von der Lemniskate x y (x + y ) = umschlossenen
MehrTransformation mehrdimensionaler Integrale
Transformation mehrdimensionaler Integrale Für eine bijektive, stetig differenzierbare Transformation g eines regulären Bereiches U R n mit det g (x), x U, gilt für stetige Funktionen f : f g det g du
MehrTeil IV : Integration über Untermannigfaltigkeiten. 9 Untermannigfaltigkeiten von R n
Teil IV : Integration über Untermannigfaltigkeiten In der Analysis II haben wir bereits Kurven in R n eine Länge zugeordnet (also ein eindimensionales Volumen ) und Funktionen über Kurven integriert. In
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Höhere Mathematik für Ingenieure 2 Prof. Dr. Swanhild Bernstein Sommersemester 218 Institut für Angewandte Analysis Kurven- und Parameterintegrale Parameterintegrale Typische Beispiele für Parameterintegrale
Mehr2.5 Pfaffsche Formen. Definition Satz
39 2.5 Pfaffsche Formen Sei B R n offen. Eine Pfaffsche Form oder Differentialform vom Grad 1 auf B ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion ω : B R n R, die im zweiten Argument linear ist. (Gelegentlich
MehrIntegrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir
Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/14 Mathematische Methoden 8.1.2014 Frank Bertoldi (Version 2) Abbildungen und Beispiele aus F. Embacher "Mathematische Grundlagen..." und "Elemente der theoretischen
MehrM U = {x U f 1 =... = f n k (x) = 0}, (1)
Aufgabe 11. a) Es sei M = {(x, y, z) R 3 f 1 = xy = 0; f = yz = 0}. Der Tangentialraum T x M muss in jedem Punkt x M ein R-Vektorraum sein und die Dimension 1 besitzen, damit diese Menge M eine Untermannigfaltigkeit
MehrFerienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- ten
Ferienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März 1 Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- Lösung 1. ten Ψ(θ, φ) sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ Dann gilt 1 Ψ(θ, φ) cos θ
MehrPrüfung Modul A, Teil 2 (Mathematik 2) (Fernstudium Bauingenieurwesen)
Name: Vorname: Matrikelnummer: TU Dresden, Fachrichtung Mathematik, Dr. N. Koksch 6. Februar 8 Prüfung Modul A, Teil (Mathematik ) (Fernstudium auingenieurwesen) ewertet werden nur solche Lösungsschritte,
MehrDer allgemeine Satz von Stokes...
Der allgemeine Satz von Stokes...... in der Sprache der Differentialformen. dω Differentialformen... sind - vereinfacht gesagt - orientierte Differentiale. k-form im R n a i1,...,i k (x) dx i1... dx ik,
MehrSchwerpunkte des Kapitels Differentialrechnung für skalare Felder Integralrechnung für skalare Felder Kurvenintegrale. Aufgabe 9.2 Aufgabe 9.
9. Mehrdimensionale Analysis 1/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 2/42 Schwerpunkte des Kapitels Differentialrechnung für skalare Felder Integralrechnung für skalare
MehrFachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt
MehrProbeklausur zur Analysis II
Probeklausur zur Analysis II Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 3. Februar 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller SS 2014
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller SS 14 P R A K T I S C H E M A T H E M A T I K I I F Ü R T P H, 13.58) Test 1 Gruppe C Mo, 8.4.14) mit Lösung ) Unterlagen: eigenes VO-Skriptum.
MehrHöhere Mathematik III. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III WiSe 04/05 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrÜbungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 19
9. Sei IR 3 der Einheitswürfel Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 9 erifizieren Sie für : {(x, y, z) IR 3 : x, y, z.} den Gaußschen Divergenzsatz. Lösung: v(x, y, z) : (4xz, y, yz) erifizieren
MehrMathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 57 Die ransformationsformel für Integrale Wir kommen zur ransformationsformel für Integrale, wofür wir noch eine Bezeichnung
MehrA1: Diplomvorprüfung HM II/III WS 2007/
A: Diplomvorprüfung HM II/III WS 7/8 6..8 Aufgabe. (+68 Punkte) a) Ist die Reihe k+ k k 5k konvergent oder divergent? Begründen Sie ihre Aussage! b) Führen Sie eine Partialbruchzerlegung für n+ durch und
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck rança Stefan Huber Zentralübung TECHNISCHE UNIVESITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) MA924 Z3.. Polardarstellung quadratischer Matrizen
MehrLösungsvorschlag Klausur MA9802
Lehrstuhl für Numerische Mathematik Garching, den 3.8.22 Prof. Dr. Herbert Egger Dr. Matthias Schlottbom Lösungsvorschlag Klausur MA982 Aufgabe [3 + 3 Punkte] Berechnen Sie, falls existent, die folgenden
Mehr