DER GOLDENE SCHNITT. Ein Verhältnis, das es in sich hat A B C D E F G

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1 DER GOLDENE SCHNITT Ein Verhältnis, das es in sich hat A B C D E F G Welches der sieben Rechtecke gefällt die am besten? Miss bei jedem Rechteck die Seitenlänge ab und trage ihr Längen in die nachfolgende Tabelle ein. Gib anschließend die gesuchten Verhältnisse an! Finde dazu ganzzahlige Werte! Verhältnis (lange : kurze Seite) Wert des Bruchs Verhältnis (lange : kurze Seite) Wert des Bruchs A B C D E F G A B C D E F G Kennst du dieses Gebäude? Wo steht es? Seine Maße betragen: 91 m x 22 m x 154 m In welchem Verhältnis stehen Länge und Höhe sowie Breite und Höhe zueinander? 1

2 Eine weitere Fragestellung führt uns ebenfalls zum Verhältnis des Goldenen Schnitts: Kaninchen sind dafür bekannt, dass sie viele Junge gebären. Ein italienischer Mathematiker namens Fibonacci 1 wollte wissen, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres geboren werden. Er nahm an: Im Januar gibt es ein Paar Kaninchen, nämlich ein Männchen und ein Weibchen. Einen Monat später im Februar bekommt es Junge, wiederum ein männliches und ein weibliches (also ein Pärchen). Das geht jeden Monat so weiter. Nun können die Jungpärchen aber auch wieder Junge bekommen und zwar im übernächsten Monat nach ihrer Geburt. Also für die Februargeborenen gibt es im April den ersten Nachwuchs in Form eines Pärchens. Das gilt für alle neugeschlüpften Kaninchenpaare. Überlege nun, wie viele Pärchen es am Ende des Jahres (also im Dezember) gibt, wenn keine Todesfälle zu beklagen sind! Tipp: Lege dir eine Übersicht ( umgekehrter Stammbaum ) an und trage jeweils ein, wie viele Pärchen im Februar, März, April geboren werden! Auch wenn es am Anfang nicht so scheint, es gibt ein Prinzip, mit dem man jeweils auf das nächste Monat schließen kann. Monat Neuge- borene Jan 0 Feb 1 März 1 April 2 Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez 1 Fibonacci war ein italienischer Mathematiker, der um 1200 lebte. Neben anderen ist es auch ihm zu verdanken, dass die römische Ziffernschreibweise durch die indisch- arabischen Ziffern in Europa abgelöst wurde. Er wurde 1179 geboren und hieß eigentlich Leonardo da Pisa, wurde aber Fibonacci genannt, weil er»figlio di Bonaccio«, der Sohn des Bonaccio war, eines bekannten Kaufmanns und Funktionärs der Republik Pisa im 12. Jahrhundert. Der Vater unterhielt Handelsbeziehungen mit den arabischen Ländern Nordafrikas und des Nahen Ostens. Weil der Sohn ihn auf seinen häufigen Reisen begleitete, konnte er die muselmanischen Schulen besuchen und die mathematischen Techniken lernen, in denen die Araber Meister waren. Es war nur natürlich, dass Leonardo dabei auch das System der indisch- arabischen Ziffern erlernte. Später fasste er seine arithmetischen, algebraischen und geometrischen Kenntnisse in seinem Buch über Abaci (1202, Liber abaci ) zusammen, in dem er auch die Vorzüge der Einfachheit und Praktikabilität des neuen Zahlsystems verteidigte. Im Westen wurde dieses System zunächst nicht sofort wohlwollend aufgenommen. Es gab viele Wissenschaftler, Händler und Gelehrte, die sich der neuen Mode widersetzten. In Florenz zum Beispiel wurde den Bankiers durch die Statuten des Geldwechsels der Gebrauch arabischer Ziffern verboten. Die Menschen widersetzten sich den neuen Ziffern, weil es jetzt schwieriger war, die Rechnungsbücher der Händler zu verstehen. Langsam, aber unaufhaltsam setzten sich jedoch auch in Europa die arabischen Ziffern durch. 2

3 Trage die Fibonacci- Zahlen in die nachstehende Tabelle ein und berechne das Verhältnis benachbarter Zahlen! Dass verschiedene Größen in genau diesem Verhältnis stehen, kommt auch in der Natur vor! Spiralförmiges Wachstumsmuster des Föhrenzapfens Beim Tannenzapfen gehört jeder Samen zu zwei Spiralen. Acht dieser Spiralen verlaufen im Uhrzeigersinn, 13 in entgegen gesetzter Richtung. Das Verhältnis von 8:13 kommt mit 1:1,625 schon recht nahe an den Goldenen Schnitt heran. Spiralförmiges Wachstumsmuster bei Pflanzen Ähnlich wie beim Tannenzapfen gehört auch bei vielen anderen Pflanzen, jeder Samen zu beiden Spiralen! Die eine Spirale dreht sich immer im Uhrzeigesinn, die andere gegen den Uhrzeigersinn. Berechne für die folgenden Pflanzen das Verhältnis im Uhrzeiger : gegen Uhrzeiger! 3

4 Bekannt ist auch, dass bereits die Menschen der Renaissance Körperstudien betrieben haben, in denen der Goldene Schnitt eine wesentliche Rolle spielte. Sie griffen dabei auf die Schönheitsideale der Antike zurück, für deren Skulpturen ebenfalls diese Proportion verwendet wurde. Körperstudie von Leonardo da Vinci und von Albrecht Dürer Übereinander gelegt ergibt sich, dass die (Körper- )Proportionen nahezu identisch sind! Nur im Bereich des Kopfes gibt es markante Unterschiede. Wir sehen, dass sich auf die Studien Rechtecke legen lassen, deren Seitenverhältnisse das Verhältnis des Goldenen Schnitts ergeben. Man nennt ein solches Rechteck Goldenes Rechteck! 4

5 Konstruktion des Goldenen Schnitts Das Besondere am Goldenen Rechteck ist also, dass das kleinere Restrechteck, das durch das Abschneiden eines Quadrats entsteht, stets wieder ein Goldenes Rechteck ist. Wegen dieser speziellen Eigenschaft bezeichnet man das Goldene Rechteck auch als das Rechteck mit dem tanzenden Quadrat. Wie lang sind die ersten fünf Quadratseiten und die ersten fünf Rechtecksseiten? Wenn man in die ständig kleiner werdenden Quadrate jeweils einen Viertelkreis mit der Seitenlänge des neuen Quadrats als Radius einzeichnet, entsteht eine Spirale. Zeichne nun eine solche Spirale und gestalte sie färbig! 5

6 Konstruktion der Goldenen Spirale 6

7 Untersuchungen an der Regenbogenforelle Untersuche mithilfe der beiden goldenen Rechtecke beim Kopf und der Schwanzflosse die Regenbogenforelle! Wo liegt ungefähr das Auge? Wo ungefähr die Schwanzflosse? 7

8 Konstruktion des Goldenen Dreiecks aus einem regelmäßigen Fünfeck Verbindest du die Eckpunkte A, B und D zu einem Dreieck, dann entsteht ein Goldenes Dreieck! Miss die Winkel und Seitenlänge! Wo zeigt sich das Verhältnis des Goldenen Schnittes? Zeichne nun alle fünf möglichen Goldenen Dreiecke im Fünfeck ein! Miss alle entstehenden Seiten möglichst genau nach! Kannst du bei diesen Seiten nochmals das Verhältnis des Goldenen Schnittes finden? 8

9 VW- Beetle und der Goldene Schnitt Finde das Goldenes Rechteck, das den VW- Beetle umschreibt! Untersuche die Gestaltung des VW- Beetle anschließend mit weiteren Gnomonen und Goldenen Rechtecken! 9

10 Der Goldene Schnitt und die Werbung Der Goldene Schnitt ist für die Werbung und Gestaltung von Werbeplakaten von zentraler Bedeutung! Zeichne ein Goldenes Rechteck mit den Seitenlängen 16 cm und 10 cm! Entwirf ein Plakat, ein Buchcover, für dein Lieblingsprodukt und achte dabei auf den Goldenen Schnitt!! 10