LÖSEN VON TEXTAUFGABEN

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1 Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Personen Mathematik 1 -Arbeitsblatt 1: LÖSEN VON TEXTAUFGABEN 1F Wintersemester 01/01 Unterlagen: LehrerInnenteam GFB LÖSEN VON TEXTAUFGABEN Beispiel: In einer 5-köpfigen Familie behauptet der Vater: Meine Frau ist um Jahre jünger als ich. Mein Sohn Otto hat ein Drittel meines Alters; meine Tochter Renate ist um Jahr jünger als Otto; mein jüngstes Kind Richard ist um Jahre jünger als Renate. Zusammen sind wir 89 Jahre alt. Wie alt sind die einzelnen Familienmitglieder? Viele solche Tetaufgaben lassen sich durch ausprobieren lösen. Werden die Aufgaben aber schwieriger, so muss man das Problem systematisch angehen, was meist zu Gleichungenn führt: 1. Wahl der Unbekanntenn Wir nehmen an: Alter des Vaters =. Gegebenenfalls Verständlichmachung des Problems mittels Skizzen, Diagrammen, Tabellen, Notizen Wir müssen nun die Alter der einzelnen Familienmitglieder durch den Vater ausdrücken: Person Alter Vater Mutter - Otto Renate Richard = 5. Aufstellen der Gleichung Vater + Mutter + Otto + Re nate + Richard + 4. Lösen der Gleichung ( )

2 + ( ) = 99 / : / + 10 = 5. Beantwortung der Frage: Um die Frage zu beantworten setzen wir einfach das errechnete ein: Person Alter Tatsächliches Alter Vater Jahre Mutter - -=0 Jahre Otto = 11Jahre Renate = 9Jahre Richard = 5 5 = 6Jahre Dieses Schema ist natürlich stark vereinfacht. Sie werden schnell feststellen, dass das Kunststück im Finden der Gleichung liegt. Nehmen Sie sich dafür also wirklich Zeit und verzweifeln Sie nicht sofort. Wenn Sie bei einer Aufgabe Schwierigkeiten haben, so legen Sie besonderen Wert auf das Lesen des Tetes. Zerlegen Sie sich den Tet in einzelne Teile und machen Sie sich klar, was die Aussage bedeutet. Wenn möglich, sollten Sie Skizzen, Tabellen u.a. verwenden, um sich das Problem verständlich zu machen. Weitere Beispiele: 1) Addiert man zu einer Zahl das Doppelte der Zahl und subtrahiert vom Ergebnis, so erhält man 1. Wie lautet die Zahl? Lösung: Zahl... Doppelte der Zahl = Verbal lautet die Gleichung also: ( Zahl ) + ( DoppelteZahl) = 1 Wir setzen unsere Variable nun ein: + = 1 Nun lösen wir die Gleichung: + = 1 = 1 / + = 15 = 5 / : Da die gesuchte Zahl ist, lautet diese also 5.

3 ) Von zwei Zahlen ist die eine um 5 größer als die andere Zahl. Das Dreifache der kleineren Zahl ist um 1 größer als die größere Zahl. Berechne die beiden Zahlen. Lösung: Nun ist von zwei Zahlen die Rede. Wir legen einmal die Variable fest: kleinere Zahl... Da die größere Zahl um 5 größer als die kleinere Zahl ist, gilt für diese: größere Zahl...+5 Das Dreifache der kleineren Zahl muß also folgendes sein: Nun müssen wir nur noch die Gleichung anschreiben, wobei es eine Falle gibt. Laut Tet ist das Dreifache der kleineren Zahl um 1 größer als die größere Zahl. Wir müssen aber die beiden Seiten der Gleichung gleich groß machen. Folglich müssen wir vom Dreifachen der kleineren Zahl 1 abziehen, damit diese Seite gleich groß ist wie die größere Zahl. Wir erhalten folgende verbale Gleichung: ( Dreifache kleinerezahl) 1 = größerezahl Wir setzen die Variable ein: 1 = + 5 / + 1 = + 6 = 6 = / : / Gesucht sind beide Zahlen. Da die kleinere Zahl gleich ist, ist dies also. Die größere Zahl ist +5, folglich +5=8. ) In einem rechtwinkeligen Dreieck ist der eine Winkel um 0 größer als der andere spitze Winkel. Wie groß sind die Winkel dieses Dreiecks? Zur Erklärung: Bei einen rechtwinkeligen Dreieck ist stets ein Winkel 90. Die Winkel werden normalerweise mit griechischen Buchstaben benannt. Zum Eckpunkt A gehört der Winkel α (sprich: Alpha), zum Eckpunkt B gehört der Winkel β (sprich: Beta), zum Eckpunkt C gehört der Winkel γ (sprich: Gamma). Ein rechtwinkeliges Dreieck sieht also folgendermaßen aus: C γ = 90 α β A B

4 Nun müssen wir nur noch folgendes wissen: Satz: Die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks ist immer 180. Lösung: Der Winkel γ ist also 90. Sagen wir, α sei der kleinere Winkel. Wir definieren unsere Variable: α... Da β um 0 größer als α sein muss, gilt für diesen: β...+0 Für die Gleichung gilt folgendes: α + β + γ =180 Wir setzen unsere Werte und Variablen ein: = 180 Nun lösen wir die Gleichung: = = 180 = 70 = 5 / : / 110 Da α= ist also α=5 ; β=+0 ist folglich 5+0=55. 4) In einem Rechteck ist die Breite um cm kürzer als die Länge. Verlängert man die Länge des Rechtecks um cm und die Breite um cm, so ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks um 0 cm größer als der des ersten Rechtecks. Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks. Anmerkung: Die Fläche eines Rechtecks ergibt sich immer, indem man die Länge (a) mit der Breite (b) multipliziert. = A a b Lösung: Wir definieren wieder unsere Variable. Nennen wir die Breite des ursprünglichen Rechtecks. Länge... Da die Breite um cm geringer ist, ergibt sich: Breite...- Das ursprüngliche Rechteck hat also folgendes Aussehen und Flächeninhalt: A = a b A = ( ) - Nun wird das Rechteck folgendermaßen verändert: 4

5 A = a b A = ( + ) + = Laut Angabe muss nun die Fläche des neuen Rechtecks um 0 cm größer sein als jene des ursprünglichen, d.h. dass wir zur Fläche des ersten Rechtecks 0 cm dazuaddieren müssen, um die Fläche des neuen Rechtecks zu erhalten. Verbal ergibt dies folgende Gleichung: ( Fläche ursprügliches Re chteck) + 0 = Fläche neues Rechteck Wir setzen nun die Flächen ein und erhalten: + 0 = + ( ) ( ) + 0 = + 0 = = 0 5 = 0 = 4 + / : + / / 0 ( 5) / Da die Länge des ursprünglichen Rechtecks war, ist diese also 4 cm. Die Breite war -, ist also cm. 5