PHYSIK FÜR MASCHINENBAU SCHWINGUNGEN UND WELLEN

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1 1 PHYSIK FÜR MASCHINENBAU SCHWINUNEN UND WELLEN Vorstellung: Professor Kilian Singer und Dr. Sam Dawkins (Kursmaterie teilweise von Dr. Saskia Kraft-Bermuth) EINFÜHRUN Diese Vorlesung behandelt ein in der Natur sehr weit verbreitetes Phänomen, das für viele Anwendungen wichtig ist: Schwingungen und Wellen. Schwingungen und Wellen begegnen uns in der Mechanik das haben Sie zum Teil schon in der technischen Mechanik behandelt der Akustik Schallerzeugung, -ausbreitung und aufnahme der Optik als elektromagnetische Welle in der Atom- und Kernphysik über den Welle-Teilchen-Dualismus Die Vorlesung wird einen Überblick über diese ebiete geben mit dem Ziel, das allgemeine Prinzip zu verstehen und anzuwenden. Organisatorisches: Vorlesung immer am Dienstag und Mittwoch, 14:15 bis 15:45 Uhr, Dienstag in Diagonale 3 - Hörsaal II und Mittwoch in Arnold Bode 12 - Hörsaal V. Termine für Klausuren werden noch bekannt gegeben Übungen sind offiziell keine vorgesehen, aber: am Ende KLAUSUR Kontakt: physik-singer@quantumtechnology.info Skript:

2 2 Überblick über den Vorlesungsinhalt: Teil 1: Mechanik reift schon bekannte Themen auf und vertieft sie: die harmonische Schwingung (bekannt aus der technischen Mechanik) gekoppelte Schwinger mechanische Wellen Anwendung mechanischer Wellen: Schallwellen Schall als Längswelle in einem Medium Schallerzeugung Die Physik des Hörens Ein kleiner Ausflug in die Wärmelehre: Phononen als Schallwellen mit extrem kurzer Wellenlänge Wärmetransport Teil 2: Vom Schall zum Licht: Optik Zunächst Wiederholung der altbekannten Strahlenoptik: Beugung, Brechung, Linsen etc. Dies sind alles Wellenphänomene! Vom elektromagnetischen Schwingkreis zur elektromagnetischen Welle Wellenoptik: Ausbreitung elektromagnetischer Wellen, Wechselwirkung mit Materie, Brechung und Beugung unter neuen esichtspunkten Teil 3: Welle und Teilchen: Licht hat je nach Betrachtung eben auch Teilcheneigenschaften Plancks Lichtquantenhypothese: Welle-Teilchen-Dualismus Elektronen als Wellen Materiewellen Konsequenzen: Der Aufbau der Atome Besonderes Licht: der Laser

3 3 TEIL 1: MECHANIK 1. Der Einmassen-Schwinger a.) Der ungedämpfte Schwinger Aus der technischen Mechanik sollten Sie mindestens drei verschiedene Einmassen- Schwinger kennen: das Feder-Pendel = Sprungfeder mit einer Masse Zeichung: Federpendel Ø Federkraft proportional zu Auslenkung: F = m y = D y Ø Lösung: y t = y ) cos ω ) t mit ω ) = 0 1 Ø das mathematische Pendel = Masse an einem als masselos angenommenen Faden Zeichnung: Fadenpendel Ø Federkraft = ravitation: m l φ = m g sin φ Ø Lösung für kleine Auslenkungen sin φ φ: φ t = φ ) cos ω ) t mit ω ) = 8 9 das Torsionspendel = Masse an einer Torsionsfeder, Kreisschwingung Zeichnung: Torsionspendel Ø statt Kräften: Drehmomente: J φ = D φ

4 4 Ø Lösung: φ t = φ ) cos ω ) t mit ω ) = 0 ; Alle diese Schwinger haben gemeinsam, dass die zugehörige Differentialgleichung dieselbe Form hat: m x = f x wobei f eine konstante Rückstellkraft beschreibt. Man bezeichnet diese DL auch als ungedämpften harmonischen Oszillator. Es ist ein in der Physik sehr verbreitetes Phänomen. Man kann den Ansatz: x t = x ) exp [ iωt ] benutzen und 2 Lösungen mit ω = ± D finden. Man kann allgemein als eine lineare Kombination von den 2 1 schreiben: x t = x )E exp iω ) t + x ) exp iω ) t mit ω ) = f m Mit den Anfangsbedingungen x 0 = x ) und x 0 = 0 ergibt sich daraus: x )E + x ) = x ) x )E = x ) = x ) 2 iω ) x )E iω ) x ) = 0 x )E = x ) x t = x ) 2 2 cos ω )t = x ) cos ω ) t Das ist genau das, was man nach der Intuition erwartet. b.) Der gedämpfte Schwinger Man kann nun ein weiteres lied, nämlich einen eschwindigkeits-abhängigen Dämpfungsterm x, hinzufügen, und erhält dann eine homogene Differentialgleichung 2.Ordnung: m x + x + f x = 0 Machen wir wieder den Ansatz: x t = x ) exp [ i ωt] und setzen ein, so erhalten wir das charakteristische Polynom: mω + iω + f = 0 ω E/ = 1 i ± + 4mf = i ± ω ) Für P < D ist der Radikant positiv. Es ergibt sich: 1 1

5 5 x t = x )E exp i ω ) exp t t + x ) exp i ω ) Das beschreibt eine Schwingung, bei der die Amplitude im Lauf der Zeit mit der Zeitkonstanten P abnimmt (siehe Folie). 1 Für P 1 > ω ) ist der Radikant negativ. Es ergibt sich für ω: t ω E/ = i ± ω ) bzw. x t = x ) exp λ E t + x ) exp λ t mit λ E/ = ± ω ) Es bildet sich also keine Schwingung mehr aus, die Amplitude nimmt nur noch exponentiell ab. Der Oszillator kommt zum Stillstand. Der Fall P 1 = ω ) heißt aperiodischer renzfall. In diesem Fall wird der leichgewichtszustand in kürzester Zeit erreicht. c.) Mit äußerer Kraft-Einwirkung Äußere Kraft: inhomogene DL m x + x + f x = F(t) Spezialfall: periodische Kraft F t = m a ) exp iω [\] t Man nimmt an, dass der Oszillator der äußeren Kraft folgen wird, macht also den Ansatz: x t = x ) exp i ω [\] t + α α ist eine ggf. Frequenz-abhängige Phasenverschiebung. Einsetzen in die DL: x ) exp iα mω [\] + iω [\] + f = m a ) x ) exp iα = x ) cos α + i sin α a ) = ω [\] + i m ω [\] + f m = a ) ω ) ω [\] + m ω [\] ω ) ω [\] i m ω [\] Schreibe die rechte Seite ebenfalls als Eulersche Darstellung:

6 6 z = r exp iα r = x + y = = a ) ω ) ω [\] + m ω [\] a ) ω ) ω [\] + m ω [\] ω ) ω [\] + m ω [\] Koeffizientenvergleich: x ) = `a b c a db c c efg h i j b c efg ω ) ω [\] cos α = ω ) ω [\] + m ω [\] tan α = m ω ext ω 02 ω 2 ext α = arctan q m ω ext ω 02 ω 2 r ext sin α = m ω [\] ω ) ω [\] + m ω [\] x 0 kann angenähert werden durch eine modifizierte Lorentz-Kurve der prinzipiellen Form (siehe Folie): Γ/2 f x = ω ) ω + Γ/2 Die Halbwertsbreite Γ ist dabei gegeben durch die Dämpfung und die äußere Frequenz: Γ = P 1 Für ω [\] = ω ) ist x ) = `a i j b efg groß Resonanzkatastrophe c. Ohne Dämpfung wird die Amplitude also unendlich 2 Beispiele auf Video: Weinglas und Tahoma-Brücke in den USA (jeweils 1:30 min) Erweiterung auf beliebige Kraft F(t): Schreibe die Kraft als Fouriertransformation: F t = m a ) ω exp iωt dω Dann muss auch für x(t) eine Fouriertransformation als Ansatz gemacht werden: x t = x ) ω exp i ωt + α(ω) dω Es ergibt sich analog zum harmonischen Fall: x ) ω exp iα(ω) mω + iω + f exp iωt dω = m a ) ω exp iωt dω

7 7 Integrale sind genau dann auf jeden Fall gleich, wenn die Integranden gleich sind. Also erhält man analog zum vorherigen Fall: a ) ω x ) ω = d.) Energiebilanz des harmonischen Oszillators ω ) ω [\] + m ω [\] α(ω) = arctan m ω ω 02 ω 2 rundsätzlich gilt für eine Kraft: Es gibt immer ein zugeordnetes Potential, sodass gilt: F = m x = d dx V(x) Für den harmonischen Oszillator: V x = f x dx = E fx Im allgemeinen hängen x )E und x ) von den Anfangsbedingungen ab. Der Einfachheit halber wollen wir für die folgende Diskussion annehmen, es gelte (s.o.) x t = x ) cos ω ) t E uv] (t) = 1 2 fx = 1 2 fx ) cos ω ) t Die potentielle Energie des harmonischen Oszillators ist proportional zum Quadrat der Amplitude. Mittlere potentielle Energie: E uv] = 1 2π x 1 2 fx ) cos ω ) t dt = 1 ) 2π 1 2 fx ) 1 2 t + 1 sin 2ω 4ω ) t ) = 1 4 fx ) = 1 4 mx ) ω ) ) x Mittlere kinetische Energie: E z{ = 1 2π x 1 2 mx ) ω ) sin ω ) t dt ) = 1 2π 1 2 mx ) ω 1 ) 2 t 1 sin 2ω 4ω ) t ) ) x = 1 4 mx ) ω ) esamtenergie des Schwingers: E ) = E mx + E fx = E m x )ω ) sin ω ) t + E f x ) cos ω ) t = 1 2 mx ) ω ) sin ω ) t + ω ) cos ω ) t = 1 2 mx ) ω ) Welchen Einfluss hat Reibung?

8 8 m x + x + f x x = 0 d dt 1 2 mx fx + x = 0 d dt E ) = x Die Energie nimmt durch Reibung also streng monoton ab (sollte sie auch). Der Term x beschreibt die durch die Reibung als Wärme dissipierte Leistung. Wenn eine äußere Kraft dazu kommt, verrichtet diese natürlich auch Arbeit und bringt damit Energie in das System ein: W = F t dx = F(t) dx dt dt Die entsprechende Leistung ist gegeben durch: P [\] dw dt = F(t) x Betrachte die leichung des harmonischen Oszillators: m x + x + f x x = F(t) x d dt E ) = x + P [\] Die Energieerhaltung ist also zu allen Zeiten gewährleistet.