Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 1/10

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1 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 1/10 1) Bei Atombombentests wird radioaktives Kobalt freigesetzt. a) Berechne, wann der letzte Test stattfand, wenn nur mehr 10 % der ursprünglichen Kobaltmasse vorhanden sind. Die Halbwertszeit von Kobalt beträgt 5,3 Jahre. b) Ermittle, wie lange diese Methode angewandt werden kann, wenn 0,1 % der ursprünglichen Kobaltmasse noch gemessen werden können. 2) Löse die Gleichung 5 = 3 x auf 2 verschiedene Arten und erkläre den Vor- bzw. Nachteil der jeweiligen Lösungsvariante. 3) Beim Wiederholen des Stoffs in einem fünften Jahrgang wird die Frage gestellt, wann man beim Lösen einer Exponentialgleichung den LOGARITHMUS zur Basis 10 und wann den natürlichen Logarithmus verwendet. Beantworte diese Frage! 4) Bei exponentiellen Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen gibt es mehrere Möglichkeiten Formeln anzuschreiben. Erkläre, wie die folgenden Gesetze zusammenhängen: m(t) = m 0 (1 + p 100 )t y = c a x 0 < a < 1 m(t) = m 0 (1 p 100 )t y = c a x a > 1 y = c a x a > 1 y = c a x 0 < a < 1 5)a) Erkläre, was man unter einem Logarithmus zur Basis a versteht! b) Gib 2 Beispiele an, bei denen man den Logarithmus zu einer bestimmten Basis mit Hilfe der Definition im Kopf lösen kann! c) Gib ein Beispiel an, wenn man einen Logarithmus zu einer bestimmten Basis mit Hilfe der Definition nicht im Kopf lösen kann. Wie kann man hier vorgehen? d) Berechne folgende Logarithmen ohne Verwendung eines Taschenrechners! 1) log 2 (1) 2) log 2 (0, 125) 3) log 5 (0, 04) 4) log a (a) 5) log a ( 1 a 2) 6) Löse die Gleichung log(3 x +8) = 0, und führe die Probe durch! 7) Vereinfache mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus und der Rechenregeln für Potenzen so weit wie möglich! 3 log(x y) log x 2 3 log(y) 8) Lösen Sie die Gleichung! log 2 (x) + log 2 (x + 2) = 3 9) Berechne die Variable x auf 3 Nachkommastellen genau! 1 a) 1 ln 2 3x 2 b) 2 3 x

2 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 2/10 10) Forme die Formel nach x um! b x 1 c y a 10 Welcher Wert ergibt sich für x, wenn a = -10, b = 0,1, c = 2 und y = -0,01? 11) Zur Altersbestimmung von organischen archäologischen Fundstücken eignet sich die so genannte Radiokarbon-Methode. Das Kohlenstoffisotop 14 C ist radioaktiv und in jedem lebenden Organismus in Spuren vorhanden. Nach dem Tod des Organismus verringert sich der Anteil an 14 C entsprechend dem Gesetz für den radioaktiven Zerfall. a) Ermittle aus der gegebenen Darstellung der Zerfallsfunktion von 14 C, um wie viel Prozent der 14C-Gehalt im ersten Jahrtausend ungefähr abnimmt. Die berühmte Gletschermumie Ötzi hat heute noch ca. 53 % der ursprünglichen Menge an 14 C. Bestimme aus der Grafik das Alter der Mumie. b) 14 C hat eine Halbwertszeit von ungefähr Jahren. Der Pasterzengletscher hat beim Abschmelzen des Eises einen Lärchenstamm freigegeben. Die Untersuchungen ergaben, dass noch 34 % des ursprünglichen 14 C-Gehalts vorhanden sind. Bestimme das Alter der Lärche. Aus welchem Zeitraum stammt der Fund, wenn für die Halbwertszeit eine Schwankung von bis einkalkuliert werden muss? 12) Eine Strahlung wird nach Durchdringen einer Schicht von 10 mm Dicke auf 80 % der Anfangsintensität abgeschwächt. a) Bei welcher Schichtdicke erfolgt eine Abschwächung auf 20%? b) Welche Schichtdicke ist erforderlich, um 95% der Strahlung zu absorbieren? c) Wie viel % der Strahlung wird von einer 10 cm dicken Schicht absorbiert? [ Lösungen: a) ca. 72 mm b) ca. 134 mm c) 10,8% ] 13) Der Wiederverkaufswert eines Autos hängt unter anderem von seinem Alter ab. Näherungsweise kann der Wert W eines bestimmten Automodells nach t Jahren mithilfe 0,154 t der Funktion W(t) e berechnet werden. a) Welche Bedeutung hat die Zahl ? b) Welcher Wiederverkaufswert ergibt sich für ein zehn Jahre altes Auto? 2

3 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 3/10 c) Wie alt darf ein Auto höchstens sein, wenn man dafür Euro verlangen möchte? d) Jemand kaufte sich vor 6 Jahren ein 2 Jahre altes Auto. Nun möchte er sich ein neues Auto um kaufen. Welche Summe muss er dazuzahlen, wenn er sein altes Auto zum Wiederverkaufswert verkauft und den gesamten Erlös zum Kauf des neuen Wagens verwendet? 14) Fasse den Ausdruck zu einem einzigen Logarithmus zusammen. Das Ergebnis ist ohne Verwendung eines Taschenrechners zu lösen! a) log 3 (5) log 3 (15) + log 3 ( 1 9 ) b) 2 log b (ab) log b b 3 + log b ( 1 a 2) c) log 2 ( 8 7 ) log 2( 3) + log 2 ( 9 5 ) log 2 ( ) 15) In einem Buch findet sich die Angabe, dass die Funktion y = 2 (1 e x ) ein beschränktes Wachstum mit der Wachstumsgrenze 2 beschreibt. Ein Schüler meint, das könne nicht sein, da y = e x immer einen exponentiellen Zerfall beschreibe. Überprüfe diese Behauptung, indem die Angabe durch Entwicklung in Teilschritten gezeichnet wird. Verwende die Grafik auf der nächsten Seite. Dort ist bereits y 1 gezeichnet! y 1 = e x y 2 = e x y 3 = e x y 4 = 1 e x y 5 = y = 2 (1 e x ) 16) Auf Seite 5 sind die Funktionen y 1 = e x und y 2 = e 1 2 x gezeichnet. a) Wie hängen die beiden Funktionen zusammen? b) Entwickle aus der Funktion y 2 schrittweise die Funktion y = 3 e 1 2 x 17) Auf der Seite 6 sind die Funktionen y 1 = e x (grün) und y 2 = e 3x (pink) gezeichnet. Gib die Gleichungen aller anderen Funktionen an! 18) a) Wie hängen die Funktionen y 1 = a x (a > 1) und y 2 = a x + d (d > 0) zusammen? Erklärung in Worten + aussagekräftige Skizze! b) Wie hängen die Funktionen y 1 = a x (0 < a < 1) und y 2 = c a x (c > 1) zusammen? Erklärung in Worten und aussagekräftige Skizze! c) Werden die x-werte in der Funktion y = a x + d (0 < a < 1) immer größer, dann nähert sich die Exponentialfunktion immer mehr d) y 1 = e 2x und y 2 = e -2x verlaufen symmetrisch bezüglich 19) Löse folgende Gleichungen und führe die Probe durch! a) 2 log 4 (3x + 1) = log 4 (6x + 10) b) log 2 ( x + 12) + log 2 ( 2x) = 7 c) 5 x 1 = 8 x 3

4 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 4/10 Grafik zu Aufgabe 15) 4

5 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 5/10 Grafik zur Aufgabe 16 y 1 = e x y 2 = e 1 2 x 5

6 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 6/10 Grafik zur Aufgabe 17 y 2 = e 3x y 1 = e x 6

7 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 7/10 20) Von den Funktionen y 1, y 2 und y 3 sind folgende Wertetabellen gegeben. Eine davon beschreibt exponentielles Wachstum, eine lineares und eine quadratisches. Ordne richtig zu und gib die betreffenden Gleichungen an! Von der quadratischen Funktion ist auch der Scheitel anzugeben! x x x y 1 1,5 3 4,5 y ,5 y ) Eine Exponentialfunktion der Gestalt y = c a x geht durch die Punkte A(3/172,8) und B(5/248,832). Stelle die Funktionsgleichung auf! 22) Die folgende Wertetabelle beschreibt eine Exponentialfunktion. Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle! x f(x) 27 6,75 23) Eine Exponentialfunktion geht durch die Punkte A(-2/0,3125) und B(3/320). a) Wie lautet ihre Gleichung? b) Wenn man die Stelle um 2 vergrößert um das Wie Vielfache ändert sich dann der Funktionswert? c) Wenn man die Stelle um 2 verkleinert - um das Wie Vielfache ändert sich dann der Funktionswert? 24) Forme die Formel nach der gefragten Variablen um! a) a b = s ln( u m ) m =? b) a = 2 - x + e t b t =? c) m = n - a e bt t =? d) v = log (1 u s ) s =? 25) Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das mit einer Halbwertszeit von 40 Minuten abgebaut wird. a) Stelle das Zerfallsgesetz auf! Berechne p auf 4 NKS genau! b) Wie viel Prozent der ursprünglichen Menge sind nach 10 Minuten noch übrig? c) Eine Patientin erhält zuerst 2 mg des Medikaments, danach zweimal in Abständen von einer Stunde je 1 mg. Welche Menge ist nach der letzten Infusion insgesamt vorhanden? 26) Innerhalb von 10 Jahren ist der Holzbestand eines Waldes von 7000 m³ auf 9880 m³ angewachsen. a) Berechne, um wie viel Prozent der Holzbestand pro Jahr wächst! b) Berechne die Zeitspanne, innerhalb der sich der Holzbestand verdoppelt bzw. verdreifacht. c) Man hat vor, in 3 Jahren 3000 m³ Holz zu schlägern. Wann wird dieser Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen? 7

8 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 8/10 27) Das Kabel einer Hochspannungsleitung zwischen 2 Masten verläuft parabelförmig. Messungen der Höhe des Kabels über dem Boden in verschiedenen Abständen zum linken Strommast ergaben folgende Werte: Abstand in m zum linken Strommast Höhe in m 42,8 39,8 35 a) Gib die Gleichung der quadratischen Funktion an, die diesen Bedingungen genügt! b) In welchem Abstand zum linken Mast hängt das Kabel am tiefsten. Wie groß ist dort die Höhe über dem Boden? c) Der rechte Strommast steht 400 m vom linken entfernt. In welcher Höhe ist das Kabel am rechten Mast angebracht? d) Bekanntlich dehnen sich Hochspannungsleitungen im Sommer aufgrund der Hitze aus und ziehen sich im Winter aufgrund der Kälte wieder zusammen. Gib an, welche Parameter der Parabelgleichung sich beim Ausdehnen bzw. beim Zusammenziehen der Hochspannungsleitung ändern und begründe deine Entscheidung! (Tipp: Überlege anhand der Gleichung in Scheitelform!) 28) Auf einer Teststrecke wird gemessen, wie viel Benzin ein PKW bei gleich bleibender Geschwindigkeit verbraucht. Dabei hängt der Benzinverbrauch b (in Liter / 100 km) quadratisch von der Geschwindigkeit v (in km/h) ab. Geschwindigkeit v Benzinverbrauch b in Liter/100 km 6,25 6,2 7,0 a) Bestimme den Funktionsterm für den Benzinverbrauch b(v). b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verbrauch am geringsten? 29) Ein Brückenbogen ist 40 m hoch und an der Basis 100 m breit. a) Gib die Gleichung der Parabel an! b) In einer Höhe von 15 m soll ein Transparent gespannt werden. Wie lang muss das Spannseil mindestens sein? (Rechnerische Lösung!) 8

9 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 9/10 30) Nimm zu folgenden Aussagen Stellung! Gegeben ist eine Parabel in Polynomform mit y = ax 2 + bx (a > 0, b > 0) a) Die Parabel hat immer zwei Nullstellen, wobei gilt: x 1 = 0 und x 2 = -a/b b) Der Scheitel der Parabel liegt im zweiten Quadranten. c) Die Parabel ist symmetrisch zur y-achse. 31) Eine quadratische Gleichung hat nur eine Lösung: x 1 = 5, x 2 = 5. Gib eine quadratische Gleichung an, die genau diese Doppellösung hat! 32 Zeige, dass man folgende quadratische Gleichungen ohne Verwendung der Lösungsformel lösen kann! a) 5 8 x2 = 9 40 x b) x2 + 8x +16 = 0 c) -28x 2 4x = 0 33) Zeige ein Verfahren, mit dem man die gegebene quadratische Gleichung x 2-14x + 49 = 0 auf schnellstem Weg lösen kann. Was kannst du aufgrund des Ergebnisses über die Lage der zugehörigen Parabel sagen. 34) Gegeben ist eine quadratische Funktion g(x) = cx 2 + d, wobei c und d reelle Zahlen sind, c nicht 0. Welche Bedingungen müssen für die Parameter c und d gelten, damit die Gleichung g(x) = 0 keine reellen Lösungen hat? Führe alle Möglichkeiten an und skizziere den Verlauf der entsprechenden Funktionsgraphen von g! 35) Was kann man über die Lage der quadratischen Funktion g(x) = ax 2 + bx + c sagen, wenn die zugehörige quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 nur eine Lösung hat? 36) Was kann man über die Lage der quadratischen Funktion g(x) = ax 2 + bx + c sagen, wenn man weiß, dass a > 0 ist und die zugehörige quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 zwei positive Lösungen hat? 37) Eine Kugel wird von der Dachkante eines 200 m hohen Gebäudes mit der Abschussgeschwindigkeit 80 m/s nach oben geschossen. h(t) = h 0 + v 0 t g 2 t2 g 10 m/s 2 t in Sekunden h in m a) Stelle die Funktionsgleichung auf, mit der man für jeden beliebigen Zeitpunkt t die Höhe h der Kugel berechnen kann! b) Wann trifft die Kugel auf dem Boden auf? c) Nach welcher Zeit erreicht sie die höchste Höhe? Wie hoch ist diese? d) Wie viel Meter über der Abwurfstelle befindet sie sich 15 Sekunden nach dem Abwurf? e) Mit welcher Geschwindigkeit muss eine zweite Kugel nach oben geworfen werden, damit sie nach 20 Sekunden auf dem Boden auftrifft? f) Wie viel m höher fliegt die Kugel aus Aufgabe e) als jene von der Angabe? 38) Beim schrägen Wurf sind Wurfweite und Wurfhöhe abhängig vom Abwurfwinkel und der Abwurfgeschwindigkeit. Die Flugbahn wird durch eine Parabel beschrieben. Ein Ball wird 2 m über dem Erdboden weggeworfen. Nach 5 m horizontal vom Abwurfpunkt entfernt erreicht der Ball einen Höhe von 5,6 m und 8 m horizontal vom Abwurfpunkt entfernt erreicht der Ball eine Höhe von 2 m. a) Skizziere den Sachverhalt und berechne die Gleichung der Funktion, die die Flugbahn des Balls beschreibt! 9

10 Aufgaben zum Üben für die zweite Schularbeit 10/10 b) Wie weit wurde der Ball geworfen? c) Welche maximale Höhe erreicht der Ball? 39) Eine quadratische Funktion f geht durch die Punkte A(-3/0), B(1/8) und C(4/3,5). a) Gib die Gleichung der Parabel in Polynomform an! b) Berechne die Nullstellen und den Scheitel der Parabel! c) Was bedeutet die Gleichung f(x) = 2? 10