QUASI-SPLINE-INTERPOLATION BEZÜGLICH GLEICHMÄSSIGER UNTERTEILUNGEN

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1 QUASI-SPLINE-INTERPOLATION BEZÜGLICH GLEICHMÄSSIGER UNTERTEILUNGEN IRYNA FEUERSTEIN Es wir ein Verfahren zur Konstruktion einer quasiinterpolierenden Funktion auf gleichmäßig verteilten Konten vorgestellt. Eine Quasi-Interpolierende Qf einer Funktion f ist eine Approximationsfunktion welche die Funktion f i.a. nicht, oder nicht exakt, an den vorgegebenen Knoten interpoliert. Außerdem erfüllt eine Quasi-Interpolationsfunktion die folgenden Eigenschaften: der Wert von Qf hängt in einem Punkt x nur von Nachbarswerten (in einem festen kleinen Intervall) von f ab; Qf interpoliert exakt die Polynome vom Grad kleiner als der Grad der für die Konstruktion von Qf eingesetzten Splines. Die Formel für eine Quasi-Interpolierende, welche in dem zugrundeliegenden Artikel [1] angegeben wird, sieht folgendermaßen aus Qf = i Z λ i (f) M i wobei M i = M( i) ein B-Spline der Ordnung 2n ist. Für die Konstruktion der Funktionale λ i werden Integrale über dem Produkt von f und B-Spline M i, falls eine Funktion f gegeben ist, eingesetzt, oder nur diskrete Funktionswerte f(x i ), i Z, falls nur diese gegeben sind. In meinem Programm habe ich den zweiten Fall implementiert. Dabei wurden die Indexwerte i auf ein endliches Interval I Z begrenzt, welches vom Benutzer vorzugeben ist. Demnächst habe ich vor das Programm um die Interpolation einer Funktion, und nicht nur eines Satzes diskreter Werte, zu erweitern. In beiden Fällen fließen in die Interpolationsformel Koeffizienten γ j R, m j m ein, mit einem geeigneten m n. Dabei wurde die Zahl m in dem Artikel nicht näher spezifiziert. Ich werde verschiedene Beispiele mit verschiedenen m-werten vorstellen, und den Einfluss dieser Größe auf die Qualität der Interpolation untersuchen. Der Wert m, wie auch die Ordung der eingesetzten B-Splines werden vom Benutzer eingegeben. 1

2 2 IRYNA FEUERSTEIN Das Programm erstellt eine Quasi-Interpolierende nach der Formel Qf = ( ) m γ 0 f(i) + γ j (f(i + j) + f(i j)) M i i I j=1 und Werte an beliebigen Punkten aus dem vorgegebenen Intervall I können errechnet werden. Nach der obigen Formel erstellte Quasi-Interpolierende interpoliert Polynome vom Grad 2n-1 genau dann exakt, wenn folgende Bedinungen stimmen: m γ γ j = 1 und 2 j=1 m j 2l γ j = 2l!β(2l, 2n), 1 l n 1 j=1 Dabei werden die β(2l, 2n) mithilfe der sogenannten central factorial numbers erster Art berechnet. Die Formel für die Berechnung dieser Zahlen habe ich dem Artikel [2] entnommen. Nimmt man in den obigen Gleichungen γ 1 = γ 2 =... = γ m n+1 = 0 an, so ergibt sich damit ein lineares Gleichungssystem, welches eindeutig lösbar ist. Für die Lösung des Gleichungssystems habe ich die numerische Bibliothek GNU Scientific Library (GSL) im Programm benutzt, welche dafür einen Algorithmus unter Benutzung der Householder Transformationen zur Verfügung stellt. Ebenso wird die Konstruktion von B-Splines von dieser Bibliothek unterstützt. Es werden Quasi-Interpolierende mit minimalen Norm vorgestellt, und gezeigt, dass diese die Lebesgue-Funktion minimieren, also stabiler bezüglich der Eingabedaten-Fehler sind. Eine Quasi-Interpolierende besitzt diese Minimaleigenschaft, falls die obengenannten Koeffizienten γ j bestimmte Bedinungen erfüllen. Am schluss wird der Interpolationsfehler betrachtet, und eine obere Schranke dazu gestellt. Anwendbarkeit des Verfahrens bei den Funktionen mit Unstetigkeitsstellen wird kurz erläutert. Unten sehen Sie einige Graphen. Dabei wird die zu interpolierende Funktion rot gezeichnet, und die Quasi-Interpolierende selbst grün. Die Graphen wurden alle mit Gnuplot gezeichnet. Dem Gnuplot habe ich Funktionswerte, ein mal mit MATLAB errechnet um die zu interpolierende Funktion zu zeichnen, und entsprechend von meinem Programm berechnet um die Quasi- Interpolierende zu zeichnen, übergeben.

3 QUASI-SPLINE-INTERPOLATION BEZÜGLICH GLEICHMÄSSIGER UNTERTEILUNGEN3 Zuerst der Polynom 2x 3 + 1, 7x x 8. Die Quasi-Interpolierende wurde mithilfe kubischer B-Splines konstruiert. Wie oben erwähnt, sollte diese die kubischen Polynome exakt interpolieren. Das bestätigt uns die untere Grafik. Abgesehen von der kleinen Umgebung der beiden Intervallränder, stimmt die Quasi- Interpolierende mit dem Polynom überein. Die Ursache für den Fehler an den Intervallrändern liegt, wie ich festgestellt habe, an der GSL-Funktion gsl_bspline_evaluate(), welche die jeweils 2k 1 B-Splines an den beiden Rändern nicht richtig berechnet. Ich habe mein Problem vor kurzem in der Mailing-List der GSL gepostet, um festzustellen, ob das ein Bug der Bibliothek ist, oder falsche Benutzung der Funktion meinerseits. Nach dem ich nähere Inforamtionen dazu habe, werde ich den Fehler beheben. Auch die Interpolation von Polynomen höheren Grades als 3 gelingt gut. Nun ist die Approximation von Polynomen auch kein hochinteressantes Thema, da es diesem Bereich schon viele gute und efiziente Auswertungsverfahren gibt. Als nächstes sehen Sie eine Grafik mit Funktionswerten der gebrochen-rationalen Funktion 3x Diese Funktion ist im x Punkt x = 0.2 nicht stetig. Im Graf sind die wirklichen Funktionswerte rot markiert. Man sieht, dass in der direkten Umgebung der Unstetigkeitsstelle, die interpolierten Werte sich stark von den tatsächlichen Funktionswerten unterscheiden.

4 4 IRYNA FEUERSTEIN Jetzt schauen wir uns Graphen zweier Funktionen an, die zwar stetig, aber nicht überall differenzierbar sind. Es sind x x sin ( ) 1 x 0.4 Die zweite Funktion ist zusäzlich im Punkt x = 0.4 nicht definiert.

5 QUASI-SPLINE-INTERPOLATION BEZÜGLICH GLEICHMÄSSIGER UNTERTEILUNGEN5 Wie man sieht, ist der Fehler im ersten Fall, bei dem es nur einen Punkt x = 0 gibt, in welchem die Funktion nicht differenzierbar ist, nicht so significant, wie im Fall der Funktion x sin ( 1 x 0.4), welche auf einem Interval in der Umgebung der Unstetigketsstelle x = 0.4 nicht differenzierbar ist. Als letztes Stelle ich eine Funktion vor, bei der das Interpolationsverfahren zu keinen zufriedenstellenden Resultaten geführt hat. Es geht um die Gamma-Funktion Γ(x) = 0 e t t x 1 dt. Ich habe über einem Intervall interpoliert, auf dem die Gamma- Funktion stetig ist. Nichtsdestotrotz sind die Ergebnisse nicht einsatzfähig. In dem Bereich, in welchem die Gamma-Funktion sehr stark ansteigt, entsteht ein imenser Interpolationsfehler. Die Ursache dafür muss noch untersucht werden. Eventuell wird sich die Qualität der Interpolation verbessern, nachdem ich den oben erwähnten Fehler bei der B-Spline-Auswertung behoben habe.

6 6 IRYNA FEUERSTEIN LITERATUR [1] D. Barrera et. al., Near minimally normed spline quasiinterpolants on uniform partitions, Journal of Computational and Applied Mathematics 181, 2005, [2] P.L. Butzer, M. Schmidt, E.L. Stark and L. Vogt, Central factorial numbers; their main properties and some applications, Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 10, 5&6 (1989) FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN address: