KOMPETENZHEFT ZU QUADRATISCHEN FUNKTIONEN

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1 KOMPETENZHEFT ZU QUADRATISCHEN FUNKTIONEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Gib die Funktionsgleichung der dargestellten Parabeln in Scheitelpunktform an. Parabel I: Parabel II: Parabel III: Parabel IV: Parabel V: Aufgabe 1.2. Eine quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Punkt S = (2 5) und verläuft durch den Punkt P = ( 1 22). a) Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelpunktform. b) Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel in Polynomform. Aufgabe 1.3. Bestimme durch Umformen in Scheitelpunktform, ob und wo die Funktionen f(x) = x x 3 g(x) = 2 x 2 16 x 15 h(x) = 3 x 2 8 x + 2 ein globales Minimum bzw. ein globales Maximum besitzen. Datum: 16. März

2 Aufgabe 1.4. Erkläre anhand des zugehörigen Funktionsgraphen, warum eine quadratische Gleichung a x 2 + b x + c = 0 höchstens zwei Lösungen besitzen kann. Aufgabe 1.5. Berechne alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen: a) x 2 64 = 0 b) x x = 0 c) x x 21 = 0 d) x 2 = 10 x 25 e) (2 x 2) 2 = (3 x 3) f) 3 (x 2) (x + 5) = 0 Nur hinschauen, nicht ausmultiplizieren... Aufgabe 1.6. Der Verlauf einer parabelförmigen Brücke wird durch den Funktionsgraph von f(x) = 0,06 x 2 + 1,8 x 7,5 modelliert: a) Berechne die horizontale Länge der Brücke zwischen den beiden Punkten P und Q. b) Berechne die maximale Höhe der Brücke. c) Die beiden Stützen sind 5 Meter vom Mittelpunkt der Brücke entfernt. Berechne die Höhe der beiden Stützen. 2

3 Aufgabe 1.7. Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen von f(x) = 0,5 x 2 8, und skizziere den Funktionsgraph im Intervall [ 5, 5]. x f(x) Aufgabe 1.8. Eine quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt S = (4 7) und eine Nullstelle bei x = 2. Gib die Funktionsgleichung in Polynomform an. Aufgabe 1.9. Der Graph der Funktion g ist aus einer Verschiebung des Graphen der quadratischen Funktion f(x) = 0,5 (x 1) 2 1 entstanden. Gib die Funktionsgleichung der Funktion g in Scheitelpunktform beziehungsweise in Polynomform an. 3

4 Aufgabe I : y = 1 4 (x 3)2 +4 II : y = 2 (x 3) 2 +1 III : y = 1 2 x2 5 IV : y = (x+3) 2 +4 V : y = 1 8 (x 2) a) y = 3 (x 2) b) y = 3x x f hat bei S = ( 2 7) ein globales Minimum. g hat bei S = ( 4 17) ein globales Maximum. h hat bei S = (4/3 10/3) ein globales Minimum. 1.4 Die Lösungen sind die Nullstellen der zugehörigen Parabel. Jede Parabel schneidet die horizontale Achse entweder gar nicht, einmal oder zweimal. 1.5 a) L = { 8, 8} b) L = {0, 3} c) L = { 7, 3} d) L = {5} e) L = {} f) L = {2, 5} 1.6 a) 20 m b) 6 m c) 4,5 m 1.7 S = (0 8), N 1 = ( 4 0), N2 = (4 0) 1.8 f(x) = 7 4 x2 14 x Scheitelpunktform: g(x) = (x + 3) 2 + 1, Polynomform: g(x) = x x Der Festwagen darf rund 4,42 m breit sein. 4

5 2. Bewegst du dich mit einer konstanten Geschwindigkeit von v = 3 m/s, legst du pro Sekunde immer die gleiche Strecke von 3 Metern zurück. Nach t Sekunden hast du dich also 3 t Meter bewegt. Allgemein wird der Zusammenhang, welche Strecke s du nach t Zeiteinheiten zurückgelegt hast, durch die lineare Funktion s(t) = v t beschrieben. Wenn ein Stift zu Boden fällt, bewegt er sich nicht mit konstanter Geschwindigkeit. Aufgrund der Erdanziehung wird er gleichmäßig mit a 9,81 m/s 2 beschleunigt. Das heißt, pro gefallenem Meter wird der Stift um ca. 9,81 m/s schneller. Man kann zeigen, dass der zurückgelegte Weg nach t Sekunden dann s(t) = a 2 t2 beträgt. Da die unabhängige Variable t in dieser Funktionsgleichung im Quadrat auftritt, sprechen wir von einer quadratischen Funktion. Mit quadratischen Funktionen können viele alltägliche funktionale Zusammenhänge beschrieben werden. Du kennst zum Beispiel die Flugkurve eines Tennisballs ( Flugparabel ): Allgemein ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion eine quadratische Parabel, und hat daher entweder genau ein globales Maximum oder ein globales Minimum. Dieser Punkt wird auch Scheitelpunkt genannt. Die Polynomform einer quadratischen Funktion lautet f(x) = a x 2 + b x + c, a 0. Erkläre, warum a 0 verlangt wird. Welche Art von Funktion erhält man, wenn a = 0 ist? Man kann die quadratische Funktion f(x) = a x 2 + b x + c auch in der sogenannten Scheitelpunktform darstellen: f(x) = a (x x S ) 2 + y S 5

6 wobei Es ist ja x S = b 2 a a (x x S ) 2 + y S = a ( x + und y S = c b2 4 a. b ) 2 b 2 + c 2 a 4 a b ( x x = a 2 a + b2 4 a 2 = a x 2 + b x + c. ) + c b2 4 a Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass wir den Scheitelpunkt S = (x S y S ) direkt ablesen können. Ob S ein globales Minimum oder Maximum ist, hängt vom Vorzeichen von a ab. 1) Erkläre, warum (x x S ) 2 0 für jede beliebige Zahl x gilt. 2) Erkläre, warum f(x S ) = y S der kleinstmögliche Funktionswert ist, wenn a positiv ist. 3) Erkläre, warum f(x S ) = y S der größtmögliche Funktionswert ist, wenn a negativ ist. Beispiel 2.1. Ordne den Funktionen den zugehörigen Funktionsgraphen zu: f(x) = 2 (x 3) 2 2 g(x) = x 2 4 h(x) = 0,5 (x + 1) A B C Schaffst du es auch nur anhand des Funktionsgraphen die Funktionsgleichung aufzustellen? Beispiel 2.2. Stelle die Funktion f(x) = 3 (x 2) in Polynomform dar. 6

7 Lösung. Um von der Scheitelpunktform in die Polynomform zu kommen, quadrieren wir das Binom aus. (Um Zeit zu sparen, erinnere dich an die Binomischen Formeln.) f(x) = 3 (x 2) = 3 (x 2 4 x + 4) + 1 = 3 x 2 12 x = 3 x 2 12 x + 13 Interessanter ist die umgekehrte Richtung von Polynomform in die Scheitelpunktform, also der Weg von f(x) = 3 x 2 12 x + 13 zu f(x) = 3 (x 2) Wenn wir nicht einfach in die Formeln einsetzen wollen, z.b. weil wir sie vergessen haben, überlegen wir uns, wie wir das Ausquadrieren des Binoms rückgängig machen können. Man spricht dabei oft von quadratischer Ergänzung: Erkläre die Methode der quadratischen Ergänzung anhand der folgenden Beispiele: x x = (x x ) 3 2 = (x + 3) 2 9 x 2 12 x = (x 2 2 x ) 6 2 = (x 6) 2 36 x 2 x = (x 2 2 x (1/2) + (1/2) 2 ) (1/2) 2 = (x 0,5) 2 0,25 x 2 + p x = Beispiel 2.3. Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion f(x) = x x. Lösung. Wir ergänzen quadratisch: f(x) = x x 5 ( ) 5 2 ( ) 5 2 ( 2 + = x + 5 ) Der Scheitelpunkt ist also S = ( 5 ) Beispiel 2.4. Wandle die Funktion f(x) = 3 x 2 12 x + 13 in die Scheitelpunktform um. Lösung. Wir werden genau dieser Art von Aufgabenstellung noch sehr häufig begegnen, und sie lässt sich immer in den gleichen drei Schritten lösen: 1) Beim Term a x 2 + b x den Koeffizienten a herausheben: f(x) = 3 (x 2 4 x)

8 2) In der Klammer quadratisch ergänzen: f(x) = 3 [(x 2) 2 4 ] ) Äußere Klammer ausmultiplizieren und zusammenfassen: f(x) = 3 (x 2) = 3 (x 2) (Hurra, vergleiche mit oben!) Beispiel 2.5. Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Die Höhe des Balls kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben: t... Zeit nach Abwurf in Sekunden, t 0 h(t) = 5 t t + 2 h(t)... Höhe des Balls in Metern über der dem Boden Berechne nach wie viel Sekunden der Ball den höchsten Punkt erreicht, und wie hoch er zu diesem Zeitpunkt ist. Lösung. Wir wandeln von der Polynomform in die Scheitelpunktform um: h(t) = 5 (t 2 2 t ) + 2 = 5 [(t 1) 2 1 ] + 2 = 5 (t 1) Der Ball erreicht nach t = 1 s die maximale Höhe von h(1) = 7 m. Die Nullstellen einer Funktion f sind jene Stellen (x-werte), an denen f(x) = 0 gilt. Es handelt sich also um jene Stellen, an denen der Funktionsgraph die horizontale Achse schneidet (oder berührt). 8

9 1) Zeichne die Nullstellen der dargestellten quadratischen Funktion h(t) = 5 (t 1) ein. 2) Erkläre anhand der Scheitelpunktform, warum der Funktionsgraph symmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Scheitelpunkt ist. Kurz: Warum gilt h(1 + t) = h(1 t)? 3) Erkläre, wie du anhand des Scheitelpunkts und einer Nullstelle die zweite Nullstelle bestimmen kannst. Ein weiterer Vorteil der Scheitelpunktform ist, dass wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion auch rechnerisch schnell ermitteln können. Beispiel 2.6. Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Die Höhe des Balls kann näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben werden: t... Zeit nach Abwurf in Sekunden, t 0 h(t) = 5 (t 1) h(t)... Höhe des Balls in Metern über der dem Boden Berechne nach wie viel Sekunden der Ball am Boden aufkommt. Lösung. Wir bestimmen die Nullstellen von h, das heißt wir lösen die Gleichung h(t) = 0. 5 (t 1) = 0 5 (t 1) 2 = 7 (t 1) 2 = t 1 = ± 5 7 t 1,2 = 1 ± 5 = t 1 2,18 s, t 2 0,18 s Der Ball kommt also nach rund 2,18 s wieder am Boden auf. 9

10 Neben dem rechnerischen Weg können wir auch auf grafischem Weg zur Scheitelpunktform gelangen. Bei quadratischen Funktionen mit Funktionsgleichung y(x) = a x 2 liegt der Scheitelpunkt im Koordinatenursprung. Durch Verschiebung des gesamten Funktionsgraphen in horizontaler Richtung (x-richtung) beziehungsweise vertikaler Richtung (y-richtung) können wir erreichen, dass der Scheitelpunkt bei einem von uns gewünschten Punkt S = (x S y S ) zu liegen kommt. Beispiel 2.7. Die Funktion y 1 wird zuerst um 3 Einheiten nach oben verschoben und danach um 4 Einheiten nach links verschoben: Beispiel 2.8. Vervollständige die Wertetabelle der beiden Funktionen y 1 (x) = 2 x 2 und y 2 (x) = 2 x und skizziere die Funktionsgraphen. x y 1 (x) y 2 (x) Tatsächlich können wir eine solche Verschiebung in vertikaler Richtung für beliebige Funktionsgraphen immer auf die gleiche Weise erreichen: 10

11 In der Skizze ist der Funktionsgraph einer Funktion f dargestellt. Erkläre, warum der Funktionsgraph von g(x) = f(x) 1 durch Verschiebung des Funktionsgraphen von f um eine Einheit nach unten entsteht. Zeichne den Funktionsgraphen von g ein: Beispiel 2.9. Vervollständige die Wertetabelle der beiden Funktionen y 1 (x) = 2 x 2 und y 2 (x) = 2 (x 1) 2 und skizziere die Funktionsgraphen. x y 1 (x) y 2 (x) Auch eine Verschiebung in horizontaler Richtung können wir für beliebige Funktionsgraphen immer auf die gleiche Weise erreichen: 11

12 In der Skizze ist der Funktionsgraph einer Funktion f dargestellt. Erkläre, warum der Funktionsgraph von g(x) = f(x 2) durch Verschiebung des Funktionsgraphen von f um zwei Einheiten nach rechts entsteht. Zeichne den Funktionsgraphen von g ein: Wir können diese beiden Arten von Verschiebungen eines Funktionsgraphen nun so kombinieren, dass der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion an einem beliebigen Punkt S = (x S y S ) zu liegen kommt: Ergänze die folgenden Sätze: Die quadratische Funktion y(x) = a x 2 hat ihren Scheitelpunkt bei S = Die quadratische Funktion y(x) = a x 2 + y S hat ihren Scheitelpunkt bei S = Die quadratische Funktion y(x) = a (x x S ) 2 + y S hat ihren Scheitelpunkt bei S = Beispiel Bestimme den Scheitelpunkt der beiden Funktionen f(x) = 3 (x + 1) und g(x) = 3 (x 2) 2 1, und erkläre wie du den Funktionsgraphen von f verschieben musst, um jenen von g zu erhalten. Lösung. Der Scheitelpunkt von f ist S f = ( 1 5) und jener von g ist S g = (2 1). Verschiebt man den Funktionsgraphen von f um 3 Einheiten nach rechts und um 6 Einheiten nach unten, erhält man den Funktionsgraphen von g. Tatsächlich gilt der Zusammenhang f(x 3) 6 = 3 (x 3 + 1) = 3 (x 2) 2 1 = g(x). 12

13 3. Quadratische Gleichungen Möchten wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x) = a x 2 +b x+c rechnerisch ermitteln, suchen wir nach Lösungen der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, a 0. In Beispiel 2.6 hast du gesehen, dass man aus der Scheitelpunktform die Lösungen leicht berechnen kann. Prinzipiell könntest du also eine quadratische Gleichung immer zuerst in Scheitelpunktform bringen und dann wie in Beispiel 2.6 lösen. Tatsächlich können wir auf diesem Weg eine allgemeine Lösungsformel herleiten ( Große Lösungsformel ) um die Lösungen der quadratischen Gleichung in Abhängigkeit von a, b und c zu berechnen. Besonders dann, wenn die Koeffizienten a, b und c nicht so schön ganzzahlig wie in Beispiel 2.6 sind, ist das Einsetzen in die Lösungsformel weniger fehleranfällig als die händische, quadratische Ergänzung. Bevor wir das allgemeine Problem lösen, betrachten wir zunächst die Spezialfälle, wenn b = 0 oder c = 0 ist. Beispiel 3.1. Berechne alle Lösungen der quadratischen Gleichung 2 x 2 32 = 0. Lösung. 2 x 2 32 = 0 2 x 2 32 = 0 2 x 2 = 32 2 (x 2 16) = 0 a 2 b 2 = (a b) (a + b) x 2 = 16 x 1,2 = ± 16 = x 1 = 4, x 2 = 4 2 (x 4) (x + 4) = 0 = x 1 = 4, x 2 = 4 Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Beide Lösungswege sind richtig, finde deinen Lieblingsweg. Wo liegt der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f(x) = 2 x 2 32? Erkläre, warum bei Gleichungen der Form a x 2 + c = 0 die Lösungen symmetrisch zum Ursprung liegen. Wenn c = 0 ist, können wir die Nullstellen durch Herausheben bestimmen. Beispiel 3.2. Berechne alle Lösungen der quadratischen Gleichung 3 x 2 12 x = 0. Lösung. 3 x 2 12 x = 0 3 x (x 4) = 0 x 1 = 0, x 2 = 4 13

14 Lukas hat noch nicht so viel Erfahrung beim Umformen von Gleichungen. Er löst das gleiche Beispiel folgendermaßen: 3 x 2 12 x = 0 + (12 x) 3 x 2 = 12 x : x 3 x = 12 : 3 x = 4 Worauf hat Lukas vergessen, und warum ist ihm die zweite Lösung abhanden gekommen? Beispiel 3.3. Auf der linken Seite siehst du, wie man eine quadratische Gleichung der Bauart x 2 + p x + q = 0 mit quadratischer Ergänzung lösen kann. Auf der rechten Seite führen wir die gleichen Rechenschritte allgemein durch: x 2 4 x 12 = 0 x 2 + p x + q = 0 x 2 4 x = 12 Warum ist x herausheben nicht zielführend? x 2 + p x = q ( (x 2) = 12 x + p ) 2 ( ) p 2 = q 2 2 ( (x 2) 2 = 16 x + p ) 2 ( ) p 2 = q 2 2 x 2 = ± 16 x + p 2 = ± (p 2) 2 q x 1,2 = 2 ± 4 = x 1 = 6, x 2 = 2 x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q Die Formel x 1,2 = p 2 ± (p 2 ) 2 q wird kleine Lösungsformel genannt. Das Prinzip der quadratischen Ergänzung hat uns wie auch schon bei quadratischen Funktionen auch hier beim Lösen geholfen. Insbesondere wenn die Koeffizienten p und q aber nicht so schön ganzzahlig wie hier sind, kannst du zeitsparender in die kleine Lösungsformel einsetzen. In diesem Beispiel mit p = 4 und q = 12 erhalten wir die Lösungen x 1,2 = 2 ± = 2 ± 4 = x 1 = 6, x 2 = 2. Anhand des Ausdrucks unter der Wurzel ( Radikand ) können wir unterscheiden, wie viele reelle Lösungen die quadratische Gleichung hat. Dieser Term ( ) p 2 D = q 2 14

15 wird daher auch Diskriminante (lat. discriminare unterscheiden) genannt. Begründe folgende Behauptungen anhand der kleinen Lösungsformel: 1) Wenn D > 0 ist, dann gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. 2) Wenn D = 0 ist, dann gibt es genau eine reelle Lösung. ( Doppelte Nullstelle ) 3) Wenn D < 0 ist, dann gibt es keine reelle Lösung. Warum erfüllt kein reelles x die Gleichung x 2 = 1? Erkläre, wie du anhand des Funktionsgraphen der quadratischen Funktion y(x) = x 2 +p x+q erkennen kannst, ob die Diskriminante größer, kleiner oder gleich Null ist. Beispiel 3.4. Löse die quadratischen Gleichungen ohne Verwendung der Lösungsformel. 1) (x 3) (x + 1) = 0 2) x 2 16 = 0 3) x x = 0 4) (x 5) = 0 5) (x + 3) 2 25 = 0 Lösung. 1) (x 3) (x + 1) ist genau dann Null, wenn x 3 = 0 oder x + 1 = 0 ist, also x 1 = 3, x 2 = 1. 2) x 2 16 = 0 genau dann wenn x 2 = 16 gilt. Die zwei Lösungen sind daher x 1 = 4, x 2 = 4. 3) x x = x (x + 7) = 0, also x 1 = 0, x 2 = 7. 4) (x 5) = 0 kann keine reelle Lösung haben, weil (x 5) 2 0 gilt, also ist die linke Seite nie kleiner als 4. 5) (x + 3) 2 25 = 0 (x + 3) 2 = 25 x + 3 = ±5, also x 1 = 2 und x 2 = 8. Eine allgemeine quadratische Gleichung a x 2 + b x + c = 0 kannst du mit einer Division durch a auf den bekannten Fall zurückbringen x 2 + p x + q = 0 zurückbringen. Wir sprechen bei dieser Division von einer Normierung der Gleichung. Beispiel 3.5. Berechne alle Lösungen der quadratischen Gleichung 4 x x 21 = 0. Lösung. 15

16 4 x x 21 = 0 x x 21 4 = 0 x 1,2 = 1 ± = 1 ± 5 2 = x 1 = 3 2, x 2 = 7 2 Führen wir die gleichen Lösungsschritte mit allgemeinen Koeffizienten a, b und c durch, erhalten wir die sogenannte große Lösungsformel: a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 1,2 = b ) 2 a ± 2 ( b c 2 a a = b 2 a ± b 2 4 a 4 a c = b ± b2 4 a c 2 4 a 2 2 a (Eigentlich ist ja 4 a 2 = 2 a. Das konnten wir hier aber unter den Tisch fallen lassen, weil wir ohnehin ±... rechnen.) Die Lösungen von Beispiel 3.5 könntest du also auch durch Einsetzen von a = 4, b = 8, c = 21 in die große Lösungsformel bestimmen: x 1,2 = 8 ± ( 21) 2 4 = 8 ± 20 8 = x 1 = 3 2, x 2 = 7 2 Aufgabe 3.6. Bei Anwendungsbeispielen sind die Koeffizienten a, b und c oft nicht ganzzahlig: 0,743 t t π 12 = 0 In solchen Fällen ist es empfehlenswert die Koeffizienten im Taschenrechner abzuspeichern (A = 0,743, B = 45, C = π ) und die große Lösungsformel unter Verwendung der Variablen einzutippen: 7 12 ( ) ( ) B + (B 2 4 A C) / (2 A) t 1 B (B 2 4 A C) / (2 A) t 2 Achte bei einzeiligen Taschenrechnern darauf, dass am Ende des Zählers zwei Klammern (Wurzel und Zähler) zu schließen sind. Versuche mit deinem Taschenrechner die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung zu ermitteln (t 1 8,6927, t 2 0,0405). Abschließend besprechen wir noch eine Lösungsmöglichkeit, die bei ganzzahligen Lösungen zielführend, schnell und elegant ist. Wir starten dazu vorher umgekehrt mit ganzzahligen Lösungen und suchen eine zugehörige quadratische Gleichung: 16

17 Ich wünsche mir zwei Lösungen x 1 = 2 und x 2 = 5. Erkläre, warum (x 2) (x 5) = 0 die gewünschten Lösungen hat. Wir multiplizieren die Klammern aus: (x 2) (x 5) = x 2 7 x + 10 Die Koeffizienten 7 und 10 sind eng mit den beiden Lösungen x 1 = 2 und x 2 = 5 verknüpft. Versuche den Zusammenhang zu beschreiben. Stelle allgemein eine Gleichung mit den beiden Lösungen x 1 und x 2 auf und multipliziere aus. Du hast gerade den Satz von Vieta bewiesen. Die Lösungen x 1 und x 2 einer quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 erfüllen p = (x 1 + x 2 ) und q = x 1 x 2. Begründe folgende Behauptungen, wenn p und q ganze Zahlen sind: Wenn eine Lösung eine ganze Zahl ist, dann muss auch die andere Lösung ganzzahlig sein. Jede ganzzahlige Lösung ist ein Teiler von q. Die Zahlen x 1 und x 2 sind also genau dann die Lösungen von x 2 + p x + q = 0, wenn x 2 + p x + q = (x x 1 ) (x x 2 ) gilt. Wir sprechen dabei auch von der Zerlegung in Linearfaktoren. Kennst du die Lösungen einer quadratischen Gleichung, kannst du somit die Zerlegung in Linearfaktoren angeben. Umgekehrt kannst du bei schönen Koeffizienten auch versuchen, die Zerlegung in Linearfaktoren zu erraten und daraus die Lösungen der quadratischen Gleichung abzuleiten: Vervollständige die Lücken und gib die Nullstellen der quadratischen Funktionen an: (Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, müssen sie Teiler von q sein.) f(x) = x 2 7 x + 6 = (x ) (x ) g(x) = x x 14 = (x ) (x ) h(x) = x 2 8 x + 15 = (x ) (x ) 17

18 Zusammengefasst stehen dir zum rechnerischen Lösen einer quadratischen Gleichung gleich vier verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. Beispiel 3.7. Albert, Barbara, Clemens und Daniela lösen die quadratische Gleichung 2 x 2 12 x 14 = 0 auf unterschiedliche Arten: a) Albert setzt a = 2, b = 12 und c = 14 in die große Lösungsformel ein: x 1,2 = 12 ± ( 14) 12 ± 16 = = x 1 = 7, x 2 = b) Barbara normiert die quadratische Gleichung zu x 2 6 x 7 = 0 und setzt p = 6 und q = 7 in die kleine Lösungsformel ein: x 1,2 = 3 ± = 3 ± 4 = x 1 = 7, x 2 = 1 c) Clemens lernt nicht gerne Formeln auswendig und führt die quadratische Ergänzung lieber selbst aus: x 2 6 x 7 = 0 (x 3) = 0 (x 3) 2 = 16 x 3 = ±4 = x 1 = 7, x 2 = 1 d) Daniela denkt sich gleich, dass 6 = ( 7) + 1 und 7 = ( 7) 1 ist. (Sie hat die Teiler von q = 7 probiert.) Dann ist doch (x 7) (x + 1) = x 2 6 x 7. Da ein Produkt von Zahlen nur dann 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist, folgert Daniela, dass die beiden Lösungen x 1 = 7 und x 2 = 1 sind. 4. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe 4.1. In wie vielen Punkten schneiden die dargestellte homogene Gerade und Parabel einander? y = k x, k > 0 y = a x 2, a > 0 18

19 Aufgabe 4.2. Was ist das flächengrößte Rechteck, das wir mit einem Stück Zaun von 12 m Länge einfassen können? Drücke dazu den Flächeninhalt als Funktion einer der beiden unbekannten Rechtecksseiten aus. Aufgabe 4.3. Handelsübliche Fernseher haben das 16 : 9 Format, d.h. die Breite und Länge des Bildschirms stehen im Verhältnis 16 : 9. Welche Länge und Breite in cm haben ein Fernseher mit einer Bildschirmdiagonale von 60 Zoll? (1 Zoll = 2,54 cm) Aufgabe 4.4. Ein Wasserstrahl tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2,5 m. Ermitteln Sie jene quadratische Funktion, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt. Aufgabe 4.5. Wird ein Ball aus h 0 Meter Höhe mit einer Geschwindigkeit von v 0 m/s senkrecht nach oben geschossen, beträgt die Höhe h in Meter nach t Sekunden h(t) = g 2 t2 + v 0 t + h 0, wobei g = 9,81 m/s 2 die Erdbeschleunigung ist. Begründe durch Umformen in die Scheitelpunktform, dass der Ball nach v 0 g Sekunden die maximale Höhe von h 0 + v2 0 2 g erreicht. Aufgabe 4.6 (2324 in [1]). Von einem quadratischen Stück Pappe wird an jeder Ecke ein Quadrat von 2 cm Seitenlänge herausgeschnitten; dann werden die außen entstandenen Rechtecke aufwärtsgebogen, so dass ein flaches Kästchen von 1152 cm 3 Rauminhalt entsteht. Wie groß war die ursprüngliche Quadratseite? Aufgabe 4.7 (2331 in [1]). Auf einem Kreis bewegen sich, von einer gemeinsamen Anfangslage ausgehend, zwei Körper gleichförmig nach entgegengesetzten Richtungen mit verschiedenen Geschwindigkeiten und treffen nach 30 Sekunden zusammen. Der eine Körper braucht zu einem ganzen Umlauf um 25 Sekunden länger als der andere. In welcher Zeit führt jeder einen Umlauf aus? Aufgabe 4.8. Wir nehmen zwei reelle Zahlen mit Summe 42 und bilden ihr Produkt. Was ist das größte Produkt, das man so bilden kann? Aufgabe 4.9 (nach 2355 in [1]). Wie lang sind die Zeiger einer Turmuhr, wenn ihre Spitzen um 9 Uhr einen Abstand von 25 dm haben und um 12 Uhr einen Abstand von 5 dm. Aufgabe Wir betrachten ein rechtwinkeliges Dreieck mit Katheten der Länge 12 cm und 16 cm und schreiben ihm Rechtecke ein, deren Seiten parallel zu den Katheten liegen. Was ist die größte Fläche, die ein solches Rechteck haben kann? Aufgabe Wir suchen nach jenem Punkt der Ebene, sodass die Summe der Quadrate der Abstände dieses Punkts von den drei Punkten A = (1 2), B = (5 2) und C = (3 12) kleinstmöglich ist. Erinnere dich für die Abstände an Pythagoras. 19

20 Aufgabe Wir haben gesehen, dass f(x) = a x 2 + b x + c = a (x x S ) 2 + y S mit x S = b 2 a und y S = c b2 4 a = 4 a c b2 gilt. 4 a a) Erkläre geometrisch, warum die Funktion f... 1) eine einzige Nullstelle hat, wenn y S = 0 ist. 2) zwei verschiedene Nullstellen hat, wenn y S und a unterschiedliche Vorzeichen haben. 3) keine reelle Nullstelle hat, wenn y S und a das gleiche Vorzeichen haben. b) Begründe, warum f in den ersten beiden Fällen die folgende(n) Nullstelle(n) hat: x 1 = x S + ys c) Leite daraus die große Lösungsformel ab. a und x 2 = x S ys a. 4.1 Es gibt zwei Schnittpunkte. Quadratisches Wachstum ist schneller als lineares Wachstum, d.h. a x 2 > k x wenn x groß genug ist. Bei den Schnittpunkten sind die y Koordinaten gleich: a x 2 = k x a x 2 k x = 0 x (a x k) = 0 x = 0 oder x = k/a. Die beiden Schnittpunkte sind daher S 1 = (0 0) und S2 = (k/a k 2 /a). 4.2 Das flächengrößte Rechteck ist ein Quadrat mit Seitenlänge 3 m. 4.3 l 132, 83 cm, b 74, 72 cm 4.4 h(x) = 1 6 (x 3)2 + 2,5 4.5 h(t) = g (t v 0 2 g cm ) 2 + v g h Sekunden bzw. 75 Sekunden 4.8 x = 21, y = Stundenzeiger: 15 cm, Minutenzeiger: 20 cm 4.10 Die größte Fläche beträgt 48 cm Der gesuchte Punkt ist S = (3 4) a) 1) Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der x-achse. Es gibt also nur eine Nullstelle und zwar den Scheitelpunkt. 2) Wenn y S < 0 und a > 0 ist, liegt der Scheitelpunkt unterhalb der x-achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. Wenn y S > 0 und a < 0 ist, liegt der Scheitelpunkt oberhalb der x-achse und die Parabel ist nach unten geöffnet. In beiden Fällen schneidet die Parabel die x-achse in zwei Stellen. 3) Wenn y S > 0 und a > 0 ist, liegt der Scheitelpunkt oberhalb der x-achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. Wenn y S < 0 und a < 0 ist, liegt der Scheitelpunkt unterhalb der x-achse und die Parabel ist nach unten geöffnet. In beiden Fällen schneidet die Parabel die x-achse an keiner Stelle. b) f(x) = 0 = a (x x S) 2 = y S = x1,2 = xs ± ys a c) x 1,2 = xs ± ys = b ± b 2 4 a c = b± b 2 4 a c a 2 a 4 a 2 2 a Literatur [1] Rosenberg: Methodisch geordnete Sammlung von Aufgaben aus der Arithmetik und Algebra. 14. Auflage. Hölder- Pichler-Tempsky A.G., 1933 Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.