Einführung in die Theoretische Informatik
|
|
- Karlheinz Franke
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass Stelligkeit von 0, 1 ist 0 Stelligkeit von ist 1 Stelligkeit von +, ist 2 2 V = {x, y,... } 3 Wir betrachten die leichungen E (x + y) + z x + (y + z) x + x 1 x + x x 4 Dann gilt E 1 + x 1 5 Dann gilt E x Satz (Satz von Birkhoff) Für beliebige Terme s, t gilt: E = s t gdw. E s t. HZ (IFI) ETI - Woche 7 104/217
2 Zusammenfassung (Schaltalgebra) Sei B = {0, 1}, wir betrachten die Algebra B; +,,, 0, 1 wobei die Operationen +,, wie folgt definiert sind: x y xy x y x + y x x Diese Algebra ist eine Boolesche Boolesche und heißt Schaltalgebra. (Schaltnetz) Ein logischer Schaltkreis (Schaltnetz) ist ein algebraischer Ausdruck der Schaltalgebra Die Operationen +,, werden als logische atter dargestellt HZ (IFI) ETI - Woche 7 105/217 Überblick Inhalte der Lehrveranstaltung Einführung in die Logik Syntax & Semantik der Aussagenlogik, Formales Beweisen, Konjunktive und Disjunktive Normalformen Einführung in die Algebra Boolesche Algebra, Universelle Algebra, Logische Schaltkreise Einführung in die Theorie der Formalen Sprachen rammatiken und Formale Sprachen, Reguläre Sprachen, Kontextfreie Sprachen Einführung in die Berechenbarkeitstheorie Algorithmisch unlösbare Probleme, Turing Maschinen, Registermaschinen Einführung in die Programmverifikation Prinzipien der Analyse von Programmen, Verifikation nach Hoare, Verschlüsselung und Sicherheit HZ (IFI) ETI - Woche 7 106/217
3 Sprachen Eine Teilmenge L von Σ heißt eine formale Sprache über Alphabet Σ Die Menge aller Wörter, die aus n Nullen gefolgt von n Einsen bestehen, wobei n 0: {ɛ, 01, 0011, ,...} Die Menge aller Wörter, die jeweils die selbe Anzahl Nullen und Einsen enthalten: {ɛ, 01, 10, 0011, 0101,...} Für jedes Alphabet Σ ist Σ eine formale Sprache eine formale Sprache (die leere Sprache) {ɛ} eine formale Sprache (beachte: {ɛ}) HZ (IFI) ETI - Woche 7 107/217 Sprachen Seien L, M formale Sprachen über dem Alphabet Σ Die Vereinigung von L und M ist wie folgt definiert L M := {x x L oder x M} Wir definieren das Komplement von L: L = Σ \ L := {x Σ x / L} Der Durchschnitt von L und M ist wie folgt definiert: L M := {x x L und x M} Das Produkt (oder die Verkettung) von L und M ist definiert als: LM := {xy x L, y M} Lemma Seien L, L 1, L 2, L 3 formale Sprachen, dann gilt (L 1 L 2 )L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) L{ɛ} = {ɛ}l = L L = L = HZ (IFI) ETI - Woche 7 108/217
4 Sprachen Abschluss einer Formalen Sprache Sei L eine formale Sprache und k N Die k-te Potenz von L ist definiert als: {ɛ} falls k = 0 L k = L falls k = 1 LL L }{{} falls k > 1 k-mal Der Kleene-Stern oder Abschluss von L ist wie folgt definiert: L = k 0 L k = {x 1 x k x 1,..., x k L und k N, k 0} HZ (IFI) ETI - Woche 7 109/217 Sprachen Schließlich definieren wir: L + = k 1 L k = {x 1 x k x 1,..., x k L und k N, k 1} Sei Σ = {0, 1} und betrachte die formale Sprache L aller Wörter, die aus n Nullen gefolgt von n Einsen bestehen, wobei n 0, also L = {0 n 1 n n 0} Es gilt L, aber L 2 Allgemein erhalten wir: L 2 = {0 n 1 n 0 k 1 k n, k 0} HZ (IFI) ETI - Woche 7 110/217
5 rammatiken und Formale Sprachen rammatiken und Formale Sprachen S Pronomen Nomen Verb Adjektiv Nomen Lehrveranstaltungsleiter Nomen Vortragender Pronomen Unser Mein Verb ist Adjektiv lästig nett streng monoton anspruchsvoll S Unser Lehrveranstaltungsleiter ist anspruchsvoll HZ (IFI) ETI - Woche 7 111/217 rammatiken und Formale Sprachen Eine rammatik ist ein Quadrupel = (V, Σ, R, S), wobei 1 V eine endliche Menge von Variablen (oder Nichtterminale) 2 Σ ein Alphabet, die Terminale, V Σ = 3 R eine endliche Menge von Regeln 4 S V das Startsymbol Eine Regel ist ein Paar P Q von Wörtern P, Q (V Σ), sodass in P mindestens eine Variable vorkommt P nennen wir auch die Prämisse und Q die Konklusion der Regel Konvention Variablen werden groß geschrieben, Terminale klein Statt P Q 1, P Q 2, P Q 3 schreiben wir P Q 1 Q 2 Q 3 HZ (IFI) ETI - Woche 7 112/217
6 Ableitungen in einer rammatik Sei = (V, Σ, R, S) eine rammatik und seien x, y (V Σ) 1 Wir sagen y ist aus x in direkt ableitbar, wenn gilt: u, v (V Σ), (P Q) R sodass (x = upv und y = uqv) 2 In diesem Fall schreiben wir kurz x y 3 Wenn aus dem Kontext folgt schreiben wir x y (Ableitbar) Wir sagen y ist aus x in ableitbar, wenn k N und w 0, w 1,..., w k (V Σ) existieren, sodass Wir schreiben x x = w 0 w 1... w k = y y, beziehungsweise x y HZ (IFI) ETI - Woche 7 113/217 Sprache einer rammatik Sprache einer rammatik Die vom Startsymbol S ableitbaren Wörter heißen Satzformen Elemente von Σ heißen Terminalwörter Satzformen, die Terminalwörter sind, heißen Sätze (Sprache einer rammatik) Die Menge aller Sätze L() = {x Σ S x} heißt die von der rammatik erzeugte Sprache (Äquivalenz) Zwei rammatiken 1 und 2 heißen äquivalent, wenn L( 1 ) = L( 2 ) HZ (IFI) ETI - Woche 7 114/217
7 Klassen von rammatiken Klassen von rammatiken (rechtslinear) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt rechtslinear, wenn für alle Regeln P Q gilt: 1 P V 2 Q Σ Σ + V rammatik 1 = ({B}, {0, 1}, R, B) mit Regeln R: B 0 1 0B 1B B 0B 01B 010 zurück 1 ist rechtslinear L( 1 ) = {0, 1} + HZ (IFI) ETI - Woche 7 115/217 Klassen von rammatiken (kontextfrei) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt kontextfrei, wenn für alle Regeln P Q gilt: 1 P V 2 Q (V Σ) rammatik 2 = ({S}, {(, )}, R, S) mit Regeln R: 2 ist kontextfrei S ɛ (S) SS S SS (S)S (ɛ)s = ()S ()(S) ()(SS) ()(()(())) L( 2 ) beschreibt die Menge der balancierten Klammerausdrücke HZ (IFI) ETI - Woche 7 116/217
8 Klassen von rammatiken (beschränkt) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt beschränkt, wenn für alle Regeln P Q gilt: 1 entweder P Q 2 oder P = S, Q = ɛ und S kommt in keiner Konklusion einer Regel vor 3 = ({S, B, C}, {a, b, c}, R, S) mit Regeln R: S asbc abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc Es gilt 3 ist beschränkt L( 3 ) = {a n b n c n n 1} HZ (IFI) ETI - Woche 7 117/217 Klassen von rammatiken (kontextsensitiv) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt kontextsensitiv, wenn für alle Regeln P Q gilt: 1 entweder es existieren u, v, w (V Σ) und A V, sodass P = uav und Q = uwv wobei w 1 2 oder P = S, Q = ɛ und S kommt in keiner Konklusion einer Regel vor 3 = ({S, B, C}, {a, b, c}, R, S) mit Regeln R: S asbc abc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc 3 ist nicht kontextsensitiv L( 3 ) = {a n b n c n n 1} HZ (IFI) ETI - Woche 7 118/217
9 Klassen von rammatiken (kontextsensitiv) rammatik = (V, Σ, R, S) heißt kontextsensitiv, wenn für alle Regeln P Q gilt: 1 entweder es existieren u, v, w (V Σ) und A V, sodass P = uav und Q = uwv wobei w 1 2 oder P = S, Q = ɛ und S kommt in keiner Konklusion einer Regel vor 4 = ({S, B, C, H}, {a, b, c}, R, S) mit Regeln R: S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc 4 ist kontextsensitiv L( 4 ) = {a n b n c n n 1} HZ (IFI) ETI - Woche 7 118/217 Klassen von rammatiken rammatik 5 = ({S, Y, T }, {a}, R, S) mit Regeln R: S YST a Y a aay Y at aa 5 ist nicht beschränkt L( 5 ) = {a 2n n 0} = {a, aa, aaaa, aaaaaaaa,...} rammatik 6 = ({S, Y, T }, {a}, R, S) mit Regeln R: S YST a aa Y a aay Y aat aaaa 6 ist beschränkt L( 6 ) = {a 2n n 0} = {a, aa, aaaa, aaaaaaaa,...} HZ (IFI) ETI - Woche 7 119/217
10 Klassen von rammatiken Beobachtung rammatik 2 ist kontextfrei, aber nicht kontextsensitiv, wegen der Regeln S ɛ und S (S). 2 kann in eine äquivalente kontextsensitive rammatik umgeschrieben werden. Satz Für jede kontextfreie rammatik gibt es eine äquivalente kontextsensitive rammatik. Beobachtung rammatik 3 ist nicht beschränkt, aber die äquivalente rammatik 4 ist beschränkt. Satz Jede kontextsensitive rammatik ist beschränkt. Für jede beschränkte rammatik gibt es eine äquivalente kontextsensitive rammatik. HZ (IFI) ETI - Woche 7 120/217 Chomsky-Hierarchie Eine formale Sprache L heißt regulär (vom Typ 3) wenn rechtslineare rammatik mit L = L() kontextfrei (vom Typ 2) wenn kontextfreie rammatik mit L = L() kontextsensitiv (vom Typ 1) wenn kontextsensitive rammatik mit L = L() rekursiv aufzählbar (vom Typ 0) wenn rammatik mit L = L() Satz (Chomsky-Hierarchie) Sei L i die Klasse der Sprachen vom Typ i und L die Klasse aller Sprachen. Dann gilt: L 3 L 2 L 1 L 0 L HZ (IFI) ETI - Woche 7 121/217
11 Chomsky-Hierarchie Chomsky-Hierarchie L L 0 L 1 {(E, s, t) E s t} L 2 {(E, s, t) E s t} L 3 L( 4 ) = {a n b n c n n 1} L( 2 ) = Klammerausdrücke L( 1 ) = {0, 1} + HZ (IFI) ETI - Woche 7 122/217
Zusammenfassung. Beispiel. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {,, +, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Identitäten E. 4 Dann gilt E 1 + x = 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele eorg Moser Michael Schaper Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2016
MehrZusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur
MehrEinführung in die Theoretische Informatik. Inhalte der Lehrveranstaltung. Definition (Boolesche Algebra) Einführung in die Logik
Zusammenfassung Einführung in die Theoretische Informatik Woche 5 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung der letzten LV Jede binäre Operation hat maximal ein
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 5 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Jede binäre Operation hat maximal ein
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Maximilian Haslbeck Fabian Mitterwallner Georg Moser David Obwaller cbr.uibk.ac.at Zusammenfassung der letzten LVA Definition Eine Grammatik G ist ein Quadrupel
MehrZusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Christina Kohl Alexander Maringele
MehrZusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke
MehrZusammenfassung der letzten LVA. Einführung in die Theoretische Informatik. Syntax der Aussagenlogik. Inhalte der Lehrveranstaltung
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Institut für Informatik
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Maximilian Haslbeck Fabian Mitterwallner Georg Moser David Obwaller cbr.uibk.ac.at Zusammenfassung der letzten LVA Definition Eine Registermaschine (RM) R ist
MehrZusammenfassung. Definition. 1 (x i ) 1 i n Sequenz von Registern x i, die natürliche Zahlen beinhalten. 2 P ein Programm. Befehle: 1 x i := x i + 1
Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LVA Einführung in die Theoretische Informatik Christina Kohl Alexander Maringele Georg Moser Michael Schaper Manuel Schneckenreither Eine Registermaschine (RM)
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre
MehrDefinition (Modus Ponens) Wenn A, dann B. A gilt Also, gilt B
Zusammenfassung der letzten LVA Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger Fakt Korrektheit dieser Schlussfigur ist unabhängig von den konkreten Aussagen Einführung
Mehr2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von Welche der folgenden Aussagen zur Aussagenlogik ist falsch?
2. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welche der folgenden Aussagen zur Aussagenlogik ist falsch? A. Für jede Formel A existiert eine DNF D und eine KNF K, sodass A D K
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 23.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
Mehr1. Welche der folgenden Aussagen zur Verifikation nach Hoare ist richtig?
1. Welche der folgenden Aussagen zur Verifikation nach Hoare ist richtig? A. Eine Formel, die sowohl vor der Ausführung des Programmes, wie auch nachher falsch ist, nennt man Invariante. B. Mit Hilfe der
MehrFormale Sprachen. Grammatiken. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marion OSWALD. Grammatiken: Ableitung
Formale Sprachen rammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marion OSWALD rammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind rammatiken.
MehrTheoretische Informatik Mitschrift
Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=
MehrFormale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER
Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.
Mehr3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14
3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welche der folgenden Aussagen zur Verifikation nach Hoare ist richtig? A. Eine Formel, die sowohl vor der Ausführung des Programmes,
MehrKapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken
Kapitel IV Formale Sprachen und Grammatiken 1. Begriffe und Notationen Sei Σ ein (endliches) Alphabet. Dann Definition 42 1 ist Σ das Monoid über Σ, d.h. die Menge aller endlichen Wörter über Σ; 2 ist
Mehr3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar?
3. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welches der folgenden klassischen Probleme der Informatik ist entscheidbar? A. Gegeben eine kontextfreie Grammatik G. Gibt es ein
MehrDefinition 4 (Operationen auf Sprachen) Beispiel 5. Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A + = n 1 An
Definition 4 (Operationen auf Sprachen) Seien A, B Σ zwei (formale) Sprachen. Konkatenation: AB = {uv ; u A, v B} A 0 = {ɛ}, A n+1 = AA n A = n 0 An A + = n 1 An Beispiel 5 {ab, b}{a, bb} = {aba, abbb,
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2017 20.04.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Organisatorisches Literatur Motivation und Inhalt Kurzer
Mehr1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14
1. Klausur Einführung in die Theoretische Informatik Seite 1 von 14 1. Welche der folgenden Aussagen zu Normalformen einer aussagenlogischen Formel A ist falsch? A. Für Formel A existiert eine KNF K, sodass
MehrInformatik III - WS07/08
Informatik III - WS07/08 Kapitel 5 1 Informatik III - WS07/08 Prof. Dr. Dorothea Wagner dwagner@ira.uka.de Kapitel 5 : Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Informatik III - WS07/08 Kapitel 5 2 Definition
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 1 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Einleitung Einleitung HZ (IFI) ETI - Woche 1 8/210 Theoretische Informatik Theoretische
MehrEinführung in die Theoretische Informatik. Woche 1. Harald Zankl. Institut für UIBK Wintersemester 2014/2015.
Einführung in die Woche 1 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Einleitung Einleitung HZ (IFI) ETI - Woche 1 8/210 Die beschäftigt sich mit der Abstraktion, Modellbildung
MehrGrammatiken. Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V. Startsymbol S V. Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S)
Grammatiken Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V Startsymbol S V Produktionen P ( (V Σ) \ Σ ) (V Σ) Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S) Schreibweise für Produktion (α, β) P: α β 67 /
MehrKapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14
Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen
MehrGrammatiken. Grammatiken sind regelbasierte Kalküle zur Konstruktion von Systemen und Sprachen Überprüfung von Systemen und Sprachen
Grammatiken Grammatiken sind regelbasierte Kalküle zur Konstruktion von Systemen und Sprachen Überprüfung von Systemen und Sprachen Grammatiken eignen sich besonders zur Modellierung beliebig tief geschachtelter,
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 6.1 Einführung. 6.2 Alphabete und formale Sprachen. 6.3 Grammatiken. 6.4 Chomsky-Hierarchie
Theorie der Informatik 17. März 2014 6. Formale Sprachen und Grammatiken Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 6.1 Einführung
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2016 20.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 22.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen
MehrWas bisher geschah: Formale Sprachen
Was bisher geschah: Formale Sprachen Alphabet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen Darstellung unendlicher Sprachen durch reguläre Ausdrücke (Syntax, Semantik, Äquivalenz)
MehrGrundbegriffe. Grammatiken
Grammatiken Grammatiken in der Informatik sind ähnlich wie Grammatiken für natürliche Sprachen ein Mittel, um alle syntaktisch korrekten Sätze (hier: Wörter) einer Sprache zu erzeugen. Beispiel: Eine vereinfachte
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
Mehr2.1 Allgemeines. Was ist eine Sprache? Beispiele:
Was ist eine Sprache? Beispiele: (a) Deutsch, Japanisch, Latein, Esperanto,...: Natürliche Sprachen (b) Pascal, C, Java, Aussagenlogik,...: Formale Sprachen Wie beschreibt man eine Sprache? (i) Syntax
MehrTeil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie
Teil V Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ),
MehrDank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Reguläre Ausdrücke als Suchmuster für grep
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
MehrInformatik III. Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung
Informatik III Christian Schindelhauer Wintersemester 2006/07 5. Vorlesung 09.11.2006 schindel@informatik.uni-freiburg.de 1 Äquivalenzklassen Definition und Beispiel Definition Für eine Sprache L Σ* bezeichnen
MehrSei Σ ein endliches Alphabet. Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben werden kann.
Der Satz von Kleene Wir haben somit Folgendes bewiesen: Der Satz von Kleene Sei Σ ein endliches Alphabet. Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn sie von einem regulären Ausdruck beschrieben werden
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
MehrDas Halteproblem für Turingmaschinen
Das Halteproblem für Turingmaschinen Das Halteproblem für Turingmaschinen ist definiert als die Sprache H := { T w : T ist eine TM, die bei Eingabe w {0, 1} hält }. Behauptung: H {0, 1} ist nicht entscheidbar.
MehrLemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive
Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G
Mehr1 Automatentheorie und Formale Sprachen
Sanders: TGI October 29, 2015 1 1 Automatentheorie und Formale Sprachen 1.1 Allgemeines Sanders: TGI October 29, 2015 2 Beispiel: Arithmetische Ausdrücke:EXPR Σ={1,a,+,,,(,)} a ist Platzhalter für Konstanten
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 16.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Organizatorisches Literatur Motivation und Inhalt Kurzer
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 10 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Satz Sei G = (V, Σ, R, S) eine kontextfreie
MehrSprachanalyse. Fachseminar WS 08/09 Dozent: Prof. Dr. Helmut Weber Referentin: Nadia Douiri
Sprachanalyse WS 08/09 Dozent: Prof. Dr. Helmut Weber Referentin: Inhalt 1. Formale Sprachen 2. Chomsky-Hierarchie 2 FORMALE SPRACHE 1. WAS IST EINE SPRACHE? 2. WIE BESCHREIBT MAN EINE SPRACHE? 3. WAS
MehrMotivation natürliche Sprachen
Motivation natürliche Sprachen (Satz) (Substantivphrase)(Verbphrase) (Satz) (Substantivphrase)(Verbphrase)(Objektphrase) (Substantivphrase) (Artikel)(Substantiv) (Verbphrase) (Verb)(Adverb) (Substantiv)
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Kontextfreie Grammatiken Definition: Eine Grammatik G
Mehr1. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik
. Übungsblatt 6. VU Theoretische Informatik und Logik 25. September 23 Aufgabe Sind folgende Aussagen korrekt? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. a) Für jede Sprache L gilt: L < L (wobei A die Anzahl
MehrF2 Zusammenfassung Letzte Tips zur Klausur
F2 Zusammenfassung Letzte Tips zur Klausur Berndt Farwer FB Informatik, Uni HH F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.1/15 Funktionen vs. Relationen Funktionen sind eindeutig, Relationen brauchen nicht eindeutig
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 17. Januar 2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 18.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der
MehrVorlesung Automaten und Formale Sprachen Sommersemester Beispielsprachen. Sprachen
Vorlesung Automaten und Formale Sprachen Sommersemester 2018 Prof. Barbara König Übungsleitung: Christina Mika-Michalski Wörter Wort Sei Σ ein Alphabet, d.h., eine endliche Menge von Zeichen. Dann bezeichnet
MehrFormale Sprachen. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S
Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Das Alphabet Σ sei eine endliche
MehrTheoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I)
Theoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I) Literatur: Buch zur Vorlesung: Uwe Schöning, Theoretische Informatik - kurzgefasst. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin, 4. Auflage, 2001.
MehrFormale Grundlagen der Wirtschaftsinformatik
Formale Grundlagen der Wirtschaftsinformatik Nikolaj Popov Research Institute for Symbolic Computation popov@risc.uni-linz.ac.at Sprachen und Grammatiken Teil II Sprache Definition: Ein Alphabet Σ ist
MehrGrundlagen der Informatik II
Grundlagen der Informatik II Dr.-Ing. Sven Hellbach S. Hellbach Grundlagen der Informatik II Abbildungen entnommen aus: Dirk W. Hoffmann: Theoretische Informatik; Hanser Verlag 2011, ISBN: 978-3-446-42854-6
MehrGrammatik Prüfung möglich, ob eine Zeichenfolge zur Sprache gehört oder nicht
Zusammenhang: Formale Sprache Grammatik Formale Sprache kann durch Grammatik beschrieben werden. Zur Sprache L = L(G) gehören nur diejenigen Kombinationen der Zeichen des Eingabealphabets, die durch die
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I Rückblick Theoretische Informatik I 1. Mathematische Methoden 2. Reguläre Sprachen 3. Kontextfreie Sprachen Themen der Theoretischen Informatik I & II Mathematische Methodik in
MehrAutomatentheorie und formale Sprachen
Automatentheorie und formale Sprachen Zusammenfassung Kathrin Hoffmann 27. Juni 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen 27.6. 2012 329 Kontextsensitive Grammatiken und Sprachen
MehrChomsky-Grammatiken 16. Chomsky-Grammatiken
Chomsky-Grammatiken 16 Chomsky-Grammatiken Ursprünglich von Chomsky in den 1950er Jahren eingeführt zur Beschreibung natürlicher Sprachen. Enge Verwandschaft zu Automaten Grundlage wichtiger Softwarekomponenten
Mehrq 0 q gdw. nicht (q A) (q A) q i+1 q gdw. q i q oder ( a Σ) δ(q, a) i δ(q, a) L = {a n b n : n N} für a, b Σ, a b
Kap. 2: Endliche Automaten Myhill Nerode 2.4 Minimalautomat für reguläre Sprache Abschnitt 2.4.3 L Σ regulär der Äuivalenzklassen-Automat zu L ist ein DFA mit minimaler Zustandszahl (= index( L )) unter
MehrTheoretische Grundlagen des Software Engineering
Theoretische Grundlagen des Software Engineering 5: Reguläre Ausdrücke und Grammatiken schulz@eprover.org Software Systems Engineering Reguläre Sprachen Bisher: Charakterisierung von Sprachen über Automaten
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.02.2006 28. und letzte Vorlesung 1 Die Chomsky-Klassifizierung Chomsky-Hierachien 3: Reguläre Grammatiken
MehrAutomaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung
Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Rami Swailem Mathematik Naturwissenschaften und Informatik FH-Gießen-Friedberg Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Altklausur Jäger 2006 8 1 1 Definitionen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrDank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Teil II. Terminologie. Vorlesung
Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:
Mehr11. Übung Formale Grundlagen der Informatik
Institut für Informatik der Universität Zürich Sommersemester 2002 11. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Verantwortlicher Assistent Bruno Nietlispach (nietli@ifi.unizh.ch)
MehrFormalismen für REG. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen. Das Pumping Lemma. Abschlusseigenschaften
Formalismen für RE Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 7 Kontextfreie Sprachen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de Satz Zu jeder regulären Sprache L gibt es einen DFA A mit L(A) =
MehrLösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004
Lösung zur Klausur Grundlagen der Theoretischen Informatik im WiSe 2003/2004 1. Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten an, der die Sprache aller Wörter über dem Alphabet {0, 1} akzeptiert,
MehrWas bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen
Was bisher geschah Chomsky-Hierarchie für Sprachen: L 0 Menge aller durch (beliebige) Grammatiken beschriebenen Sprachen L 1 Menge aller monotonen (Kontextsensitive) Sprachen L 2 Menge aller kontextfreien
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik. Vorlesung am 17. Januar INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Theoretische Grundlagen der Informatik 0 17.01.2019 Torsten Ueckerdt - Theoretische Grundlagen der Informatik KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Evaluation Ergebnisse
MehrNormalformen für kontextfreie Grammatiken. Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH. Bäume. Ableitungen in kontextfreien Grammatiken. Grammatik G = (N,T,P,S)
Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH Normalformen für kontextfreie Grammatiken Noam CHOMSKY (*1928 ) Sheila GREIBACH (*1939) Grammatik G = (N,T,P,S) GREIBACH Normalform: A aw, w N* Erweiterte GREIBACH Normalform:
MehrNoam CHOMSKY, Sheila GREIBACH
Noam CHOMSKY, Sheila GREIBACH Noam CHOMSKY (*1928 ) Sheila GREIBACH (*1939) Normalformen für kontextfreie Grammatiken Grammatik G = (N,T,P,S) GREIBACH Normalform: A aw, w N* Erweiterte GREIBACH Normalform:
MehrAutomaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier
Automaten und Formale Sprachen SoSe 2013 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 2. Juni 2013 1 Automaten und Formale Sprachen Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Endliche
MehrTheoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2017S) Lösung
Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2017) en Aufgabe 2.1 Geben ie jeweils eine kontextfreie Grammatik an, welche die folgenden prachen erzeugt, sowie eine Linksableitung und einen Ableitungsbaum
MehrDefinition 98 Eine Turingmaschine heißt linear beschränkt (kurz: LBA), falls für alle q Q gilt:
5.2 Linear beschränkte Automaten Definition 98 Eine Turingmaschine heißt linear beschränkt (kurz: LBA), falls für alle q Q gilt: (q, c, d) δ(q, ) = c =. Ein Leerzeichen wird also nie durch ein anderes
MehrEinführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie
Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.11.2005 5. Vorlesung 1 Überblick: Kontextfreie Sprachen Formale Grammatik Einführung, Beispiele Formale
Mehr(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen
(Prüfungs-)Aufgaben zu formale Sprachen (siehe auch bei den Aufgaben zu endlichen Automaten) 1) Eine Grammatik G sei gegeben durch: N = {S, A}, T = {a, b, c, d}, P = { (S, Sa), (S, ba), (A, ba), (A, c),
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I Einheit 2.5 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibung des Aufbaus von Sprachen Mathematische Mengennotation Beschreibung durch Eigenschaften
MehrAbschnitt 5. Grammatiken
Abschnitt 5 Sven Büchel Computerlinguistik I: Übung 148 / 163 Definition Formale Grammatik Eine formale Grammatik G ist eine 4-Tupel G =(N,T,P,S) mit einem Alphabet von Nicht-Terminalsymbolen N einem Alphabet
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (II) 11.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie
MehrÜbungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im W 16/17 Ausgabe 17. Januar 2017 Abgabe 31. Januar 2017, 11:00 Uhr (im
MehrUmformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz.
Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Satz T5.2.2: Wenn L durch eine Chomsky-0- Grammatik G beschrieben wird, gibt es eine NTM M, die L akzeptiert. Beweis: Algo von M: Schreibe S auf freie Spur. Iteriere: Führe
MehrDiskrete Mathematik. Arne Dür Kurt Girstmair Simon Legner Georg Moser Harald Zankl
OLC mputational gic Diskrete Mathematik Arne Dür Kurt Girstmair Simon Legner Georg Moser Harald Zankl Fakultät für Mathematik, Informatik und Physik @ UIBK Sommersemester 2011 GM (MIP) Diskrete Mathematik
MehrI.5. Kontextfreie Sprachen
I.5. Kontextfreie prachen Zieht man in Betracht, dass BNF-yteme gerade so beschaffen sind, dass auf der linken eite immer genau ein Nichtterminal steht, so sind das also gerade die Ableitungsregeln einer
MehrTheoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl
Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl Bestandteile einer Programmiersprache: a) Syntax (Form): durch kontextfreie Grammatik beschrieben b) Semantik (Bedeutung) 1.) Kontextfreie Sprachen
MehrAbschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution
Wiederholung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen: DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke:, {ε}, {a}, und deren Verknüpfung mit + (Vereinigung), (Konkatenation) und * (kleenescher Abschluss) Abschluss gegen
MehrRekursiv aufzählbare Sprachen
Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben
MehrDiskrete Mathematik. Anna-Lena Rädler Christina Kohl Georg Moser Christian Sternagel Vincent van Oostrom
Diskrete Mathematik Anna-Lena Rädler Christina Kohl Georg Moser Christian Sternagel Vincent van Oostrom Zusammenfassung der letzten LVA Definition Ein ɛ-nea N = (Q, Σ, δ, S, F) ist gegeben durch eine endliche
MehrVorlesung Theoretische Informatik (Info III)
1 Vorlesung Theoretische Informatik (Info III) Prof. Dr. Dorothea Wagner Dipl.-Math. Martin Holzer 22. Januar 2008 Einleitung Motivation 2 Thema heute Kontextfreie Grammatiken: Lemma von Ogden Eigenschaften
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I Einheit 2.4 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibungsformen für Sprachen Mathematische Mengennotation Prädikate beschreiben Eigenschaften
MehrBerechenbarkeit und Komplexität
Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter
Mehr2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2014/2015
2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2014/2015 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnummer anbringen Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Beachten Sie: Bringen Sie
MehrGrundlagen Theoretischer Informatik 2 WiSe 2011/12 in Trier. Henning Fernau Universität Trier
Grundlagen Theoretischer Informatik 2 WiSe 2011/12 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Grundlagen Theoretischer Informatik 2 Gesamtübersicht Organisatorisches; Einführung Ersetzungsverfahren:
Mehr