Algebraische Strukturen. Idee. Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4)

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1 Algebraische Strukturen Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4) Idee Formalisierung von Strukturen, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen auftreten, z. B. bei Computergraphik (Rechnen mit Vektoren und Matrizen), Verschlüsselung von Daten (modulare Arithmetik, Galoiskörper) algebra.pdf, Seite 1

2 Eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Vorschrift, die je zwei Elementen x, y M ein Element x y M zuordnet, formal eine Abbildung : M M M, (x, y) x y Beispiele Die Addition + deniert eine zweistellig Verknüpfung auf der Menge N der natürlichen Zahlen, (x, y) x + y. Eine weitere zweistellige Verknüpfung auf N ist die Multiplikation. Die Subtraktion deniert keine Verknüpfung auf N, da x y nicht für alle x, y N wieder in N liegt, z. B. ist 3 5 = 2 N. Somit ist die Menge N nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. Jedoch deniert eine zweistellige Veknüfung auf der Menge Z der ganzen Zahlen. algebra.pdf, Seite 2

3 Halbgruppen Gegeben sei eine Menge M mit einer zweistelligen Verknüpfung. (M, ) heiÿt Halbgruppe, wenn das Assoziativgesetz gilt, d. h. (x y) z = x (y z). Beispiele (N, +) und (N, ) sind Halbgruppen, denn für natürliche Zahlen x, y, z gilt bekanntlich (x + y) + z = x + (y + z) sowie (x y) z = x (y z). Die Potenz x y deniert ebenfalls eine zweistellige Verknüpfung auf N. Jedoch gilt hier das Assozialtivgesetz nicht. Zum Beispiel ist (2 3 ) 4 = 8 4 = (34) = 2 81 = Folglich ist N mit der Potenz als Verknüpfung keine Halbgruppe. algebra.pdf, Seite 3

4 Gruppen Ist (M, ) Halbgruppe, so heiÿt ein Element e M neutrales Element, wenn gilt e x = x = x e für alle x M. Beispiele: e = 1 ist neutrales Element von (N, ), die Halbgruppe (Z, +) hat das neutrale Element e = 0. Gilt a b = b a = e, so heiÿt b inverses Element von a in (M, ), Notation b = a 1. Beispiel: In (Z, +) ist b = 3 inverses Element zu a = 3 bzw. allgemeiner hat jedes beliebige a Z das inverse Element a. Denition Eine Halbgruppe (M, ) heiÿt Gruppe, wenn es ein neutrales Element e M gibt und jedes a M ein inverses Element b = a 1 M hat. Beispiel: (Z, +) ist eine Gruppe. algebra.pdf, Seite 4

5 Gegenbeispiel (N, ) ist keine Gruppe. Zwar gibt es mit e = 1 ein neutrales Element, jedoch gibt es innerhalb von N keine Inversen. Für ein inverses Element b zu a = 3 müsste beispielsweise gelten a b = 1 b = 1, was nicht in N liegt. 3 Zusammenfassung Damit (M, ) eine Gruppe ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: M ist abgeschlossen bezüglich, d. h. zu je zwei Elementen a, b M liegt auch a b in M, Die Verknüpfung ist assoziativ, d. h. für alle a, b, c M gilt (a b) c = a (b c), Es gibt ein neutrales Element e M mit a e = e a = a für alle a M, Zu jedem a M gibt es ein inverses Element a 1 M mit a a 1 = a 1 a = e algebra.pdf, Seite 5

6 Bemerkung In einer Gruppe sind neutrale und inverse Elemente immer eindeutig. Dies rechnet man formal wie folgt nach: Angenommen, e und e sind neutrale Elemente. Dann gilt e e = e (da e neutrales Element ist) sowie e e = e (da e neutrales Element ist). Durch Gleichsetzen folgt e = e. Sind b und b inverse Elemente von a M, so gilt a b = a b = e. Multipliziert man diese Gleichung von links mit b, so folgt b (a b) = b (a b ) (b a) b = (b a) b e b = e b b = b Abelsche Gruppen Eine Gruppe (M, ) heiÿt kommutativ oder abelsch, wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt, d. h. a b = b a für alle a, b M gilt. Beispiel: (Z, +) ist abelsche Gruppe. algebra.pdf, Seite 6

7 Weitere Beispiele für Gruppen (Q, +) und (R, +) sind abelsche Gruppen mit neutralem Element n = 0 und Inversen a. (Q \ {0}, ), (R \ {0}, ) und ({±1}, ) sind abelsche Gruppen mit neutralem Element 1 und Inversen 1 a. Die Menge aller Drehungen im dreidimesionalen Raum bildet mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine (nichtkommutative) Gruppe. Ist M eine Menge, so bildet die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach M bezüglich der Komposition eine (i. A. nicht abelsche) Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung f (x) = x, das Inverse zu f ist die Umkehrabbildung f 1. Die Menge aller m nmatrizen bildet mit der Matrizenaddition eine abelsche Gruppe. Die Menge aller invertierbaren n nmatrizen bildet mit der Matrizenmultiplikation eine (nicht abelsche) Gruppe. algebra.pdf, Seite 7

8 Z m ist Gruppe Z m bildet mit der Addition modulo m eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 und Inversen i(a) = m a. Zu m 2 bildet die Menge der teilerfremden Restklassen Z m = {a Z m : ggt(a, m) = 1} bildet mit der Multiplikation modulo m als Verknüpfung eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1. i(a) ist hier das modulare Inverse von a modulo m. Die Eulersche PhiFunktion ϕ(m) gibt die Anzahl der Elemente von Z m an. Beispiele Z 4 = {1, 3} ϕ(4) = 2 Für die Verknüpfung gilt beispielsweise 3 3 = 9 mod = 3. Z 5 = {1, 2, 3, 4} ϕ(5) = 4 und Z 6 = {1, 5}. algebra.pdf, Seite 8

9 Weitere Beispiele Z 10 = {1, 3, 7, 9} ϕ(10) = 4. Hier gilt beispielsweise 3 9 = 7 und 3 7 = 1. Es folgt, dass 3 und 7 zueinander invers sind (d. h. 3 1 = 7 und 7 1 = 3). Man erhält die Multiplikationstabelle Z 60 = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59} ϕ(60) = 16 mit z. B = 143 mod 60 = 23. Aus = 481 = 1 (mod 60) folgt, dass 13 und 37 zueinander invers sind. algebra.pdf, Seite 9

10 Ringaxiome Ein Ring (R, +, ) ist eine abelsche Gruppe (R, +) mit einer zweiten Verknüpfung (Multiplikation), die folgende Bedingungen erfüllt: (R, ) ist eine Halbgruppe, d. h. für alle a, b, c R gilt (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz der Multiplikation) a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a für alle a, b, c R (Distributivgesetze) Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz der Multiplikation a b = b a für alle a, b R, so spricht man von einem kommutativen Ring. Gibt es ein neutrales Element 1 M der Multiplikation (d. h. es gilt 1 a = a 1 = a für alle a R), so spricht man von einem Ring mit Eins. algebra.pdf, Seite 10

11 Beispiele (Z, +, ), (Q, +, ) und (R, +, ) sind kommutative Ringe mit Eins. (Z m ) ist mit Addition und Multiplikation kommutativer Ring mit Eins. mod m ein Die Menge aller n nmatrizen bildet einen (nicht kommutativen) Ring. Die Menge aller Polynome über R (oder über Z 2 ) bildet einen kommutativen Ring. Fazit In einem kommutativen Ring können die Grundrechenarten plus, minus und mal mit den gängigen Rechenregeln durchgeführt werden. Division ist jedoch in der Regel nicht allgemein möglich. algebra.pdf, Seite 11

12 Körperaxiome Ein kommutavier Ring (K, +, ) mit Eins ist ein Körper, wenn zusätzlich gilt Jedes a K mit a 0 (wobei 0 das neutrale Element der Addition bezeichnet) hat ein multiplikatives Inverses a 1 mit a a 1 = a 1 a = 1 Beipsiele Q und R (und die komplexen Zahlen C) sind Körper, nicht jedoch Z. Die Galoiskörper GF(2 n ) sind Körper mit endlich vielen Elementen. algebra.pdf, Seite 12

13 Endlicher Körper Z p Ist p eine Primzahl, so ist ggt(a, p) = 1 für jedes a mit 1 a p 1, d. h. es ist Z p = Z p \ {0} = {1, 2,..., p 1}. Also hat jedes a 0 in Z p eine multiplikatives Inverses. Somit ist Z p ein Körper. Beispiel p = 7 Man erhält die Multiplikationstabelle Daraus können die multiplikativen Inversen abgelesen werden: = 1, 2 1 = 4, 3 1 = 5, 4 1 = 2, 5 1 = 3, 6 1 = 6. algebra.pdf, Seite 13

14 Lineare Gleichungen lassen sich in einem Körper durch elementare Umformungen auösen, z. B. a x + b = c a x = c b x = a 1 (c b), wobei b das Inverse von b bezüglich der Addition bezeichnet. Beispiel in Z 7 3x + 6 = 1 3x = 1 6 = 2 x = = 5 2 = 3 4x + 5 = 2(x + 4) 4x + 5 = 2x = 2x + 1 2x + 4 = 0 2x = 3 x = = 4 3 = 5 algebra.pdf, Seite 14

15 Beispiel in Z 17 Gesucht x Z 17 mit 9(x + 7) = 14x + 16: 9(x + 7) = 14x x + 12 = 14x = (14 9)x 13 = 5x x = = 7 13 = 6 Bei der ersten Umformung wurde benutzt 9(x + 7) = 9 x = 9x + 12 in Z 17, am Ende wurde benutzt, dass 7 das modulare Inverse zu 5 in Z 17 ist, was beispielsweise mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmt werden kann (alternativ durch die Beobachtung 5 7 = 35 = ). algebra.pdf, Seite 15

16 Polynomringe (siehe Teschl/Teschl Kap. 4) Zu einem Körper K bezeichnet { K[x] = p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 : } n N 0 und a 0,..., a n K die Menge alle Polynome mit Koezienten in K. Mit der üblichen Multiplikation und Addition bildet (K[x], +, ) einen kommutativen Ring mit 1 (das Einselement ist das konstante Polynom p(x) = 1). Beispiel p(x) = x 2 3x + 2 und q(x) = 2x 3 x + 1 sind Elemente von R[x] mit p(x) + q(x) = 2x 3 + x 2 4x + 3 und p(x) q(x) = 2x 5 + 6x 4 5x 3 + 4x 2 5x + 2 algebra.pdf, Seite 16

17 Der Polynomring Z 2 [x] Von besonderem Interesse für die Informatik sind Polynome mit Koezienten in Z 2, dem Körper, der nur die zwei Elemente 0 und 1 enthält. Eine Verfahren in der Kodierungs bzw. Verschlüsselungstheorie benutzen Rechnungen in Z 2 [x] (z. B. ReedSolomonCodes). Beim Rechnen mit solchen Polynomen ist zu beachten, dass = 0 gilt in Z 2. Beispiel Für p(x) = x 3 + x und q(x) = x 2 + x ist p(x) + q(x) = x 3 + (1 + 1) x 2 + x + 1 = x 3 + x + 1 und p(x) q(x) = x 5 + (1 + 1) x 4 + x 3 + x 2 + x = x 5 + x 3 + x 2 + x algebra.pdf, Seite 17

18 Der Restklassenring Z 2 [x] m(x) Polynomringe sind keine Körper, da nichtkonstante Polynome keine inversen Elemente bezüglich der Multiplikation besitzen. Daher wird in Anwendungen oft eine modizierte Form der Multiplikation betrachtet. Diese besteht in der zusätzlichen Anwendung eines Moduloperators mit einem fest gewählten Modulpolynom m(x). Hat m(x) den Grag n, so enthält der Restklassenring Z 2 [x] m(x) alle Polynome mit Grad n 1. Hat das Ergebnis einer Multiplikation einen gröÿeren Grad, so werden (analog zur modularen Arithmetik in Z) Vielfache von m(x) addiert, um wieder ein Element aus Z 2 [x] m(x) zu erhalten. Man kann sich überlegen, dass mit dieser Verknüpfung alle Ringaxiome ihre Gültigkeit behalten. algebra.pdf, Seite 18

19 Beispiel Z 2 [x] x 2 +1 enthält alle Polynome p Z 2 [x] mit Grad 1 (da m(x) = x den Grad 2 hat), also Z 2 [x] x 2 +1 = {0, 1, x, x + 1}. Bezüglich der Addition ist dies eine abelsche Gruppe mit der Verknüpfungstafel x x x x x + 1 x x x x x + 1 x + 1 x 1 0 algebra.pdf, Seite 19

20 Multiplikation in Z 2 [x] x 2 +1 Z. B. ist 1 x = x. Zur Berechnung von x (x + 1) erhält man das Zwischenergebnis x 2 + x, das aber keine Element von Z 2 [x] x Daher wird im 2. Schritt das Modulpolynom m(x) addiert und man erhält (x 2 + x) + (x 2 + 1) = x + 1. Auf diese Weise kann eine vollständige Multiplikationstabelle bestimmt werden: 0 1 x x x x + 1 x 0 x 1 x + 1 x x + 1 x Es handelt sich nicht um eine Gruppe, da x + 1 kein Inverses hat. Somit ist Z 2 [x] x 2 +1 kein Körper. algebra.pdf, Seite 20

21 Der Galoiskörper Z 2 [x] x 2 +x+1 Mit dem Modulpolynom erhält man die gleiche Additionstabelle, aber eine abweichende Multiplikationstabelle: 0 1 x x x x + 1 x 0 x x x x x Jetzt hat jedes Element ungleich Null ein multiplikatives Inverses. Somit ist Z 2 [x] x 2 +x+1 ein Körper. Derartige Körper werden als Galoiskörper bezeichnet. algebra.pdf, Seite 21