Informatik II SS Überlick. Polyadische Zahlensysteme (1/2) Polyadische Zahlensysteme (2/2)

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1 Überlick Informatik II SS 2 Information und Informationsdarstellung Zahlensysteme Rechnerarithmetik Logische Schaltungen oolesche Algebra Kombinierte logische Schaltungen Dipl.-Inform. Michael Ebner Lehrstuhl für Telematik Institut für Informatik 2. Polyadische Zahlensysteme (2) Potenzen zu einer asis als Stellenwert N- n a i * i (, a i N, > ) i a N- * N- a N-2 * N-2 a * a (((a N- * ) a N-2 ) * )* a ) * a (Horner Schema) Konvention: <ZAHL> <ASIS> besagt das <ZAHL> einen Wert im Zahlensystem mit der asis <asis> beschreibt. z im Dezimalsystem, 2 im Dualsystem Polyadische Zahlensysteme (22) z.. Codierung von 985 CD (kein polyadisches Zahlensystem): Dezimalsystem (asis ): 985 * 9 * 2 8 * 5 * (( * ) 9) * 8) * 5 Dualsystem (asis 2): 2 *2 *2 9 *2 8 *2 *2 6 *2 5 *2 *2 *2 2 *2 *2 (((((((((*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*2 )*

2 Zahlensysteme mit Zweierpotenz als asis Umrechnung zwischen Zahlensystemen inärsystem (asis 2) Vierersystem (asis ) Octalsystem (asis 8) Hexadezimalsystem (asis 6) (Zeichenvorrat: 9, AF) Einfache Umrechnung: Umgruppieren der inärstellen eispiel: Im allgemeinen reicht es nicht aus einfach nur die inärstellen umzugruppieren. Empfehlung für die manuelle Umrechnung: () (2) I. Darstellung mit asis II. Darstellung mit asis III. Darstellung mit asis 2 * Multiplikative Zielsystem (hier asis ) Dividierende Quellsystem (hier asis ) eispiel für manuelle Umrechnung () eispiel für manuelle Umrechnung (2) D 6??? () Multiplikative Umrechnung mit asis (Einfaches Ausmultiplizieren ) D 6 5 oder entsprechend dem Horner Schema D 6 D 6 * 6 2 D 6 * 256 * * 6 6 * 6 * 6 6 ((D 6 * 6 ) 6 ) * 6 6 (( * 6 ) ) * 6 (28 ) * 6 6 * 6 6 (2) Dividierende Quellsystem (Quellsystem: asis, Zielsystem: asis ) 5 5 (a a a 2 a a ) 5 a a a 2 a a a 5 a 6 a n

3 eispiel für manuelle Umrechnung () Empfehlung für manuelle Umrechnung zwischen Zahlensystemen (Zusammenfassung) eispiel: D 6??? Also: I. Darstellung mit asis D 6 Schritt () (Multiplikation) 5 Schritt (2) (Division) () II. Darstellung mit asis * Multiplikative Zielsystem (hier asis ) D 6 ((D 6 * 6) 6 ) * 6 6 (( * 6) )*6 (28 ) * 6 29 * (2) Dividierende Quellsystem (hier asis ) 5 : 5 a 5 : a : a 2 : a : a III. Darstellung mit asis 2 D Direkte Umrechnung einer Zahlendarstellung mit asis in eine Zahlendarstellung mit der asis 2 (2) Direkte Umrechnung einer Zahlendarstellung mit asis in eine Zahlendarstellung mit der asis 2 (22) Multiplikative Zielsystem eispiel: D 6??? Dividierende Quellsystem eispiel: D 6??? Einfaches Ausmultiplizieren ( , ) D 6 6 F5 6 a D 6 D 6 * 5 6 * * 22 * 22 6 F A 6 a a 2 oder entsprechend dem Horner Schema D 6 ((D 6 * 22 ) 6 ) * 22 6 ((6 * 22 ) ) * 22 (5 ) * 22 A 6 6 a a a 2 a a a a

4 Darstellung von rüchen rüche werden als negative Potenzen der asis dargestellt. -N z a i * i (, a i N, >, a i <) i- Horner Schema: z (a - (a -2 Darstellung: z, a - a -2 a - a - a -N (a - (a -N a -N ) ) Handhabung von unechten rüchen Vor dem Komma anfallende Ziffern entsprechen dem bei der Division im Quellsystem (vgl. Folie 2-5). Für Umrechnung Aufspalten in ganze Zahl und echter ruch. Wiederholte Multiplikation mit der asis bringt die Ziffern a i vor das Komma: -N -N z * a - a i * i (wobei immer gilt : a i * i < ) i-2 z a - (a -2 z..:.5 * 5, (a - (a -N i-2 a -N ) ) Quellsystem eispiel: Quellsystem (2) eispiel: 2,2??,?? 2,2,??? 2 Ganzahliger Anteil: 2 2 (emerkung: 2 5 ) Echter ruch:,2,??? 2 Dividierende Quellsystem (vgl. Folie 2-5) bedeutet sukzessive Division durch (Division mit ruch Multiplikation mit Kehrwert des ruches) Sukzessive Division durch entspricht einer Sukzessiven Multiplikation mit der asis. Der ganzzahlige Anteil bei den Multiplikationsschritten bildet die a i im Zielsystem

5 ,2 * 2, a - eispiel: Quellsystem (22), * 2,22 a -2 Ergebnis:,22 * 2,2 a - Periode 2,2, 2,2 * 2,2 a -,2 * 2, a -5 5,2 ~ 5,222, * 2,2 a -6,2 * 2, a -6 Darstellung von rüchen in unterschiedlichen Zahlensystemen kann zu Ungenauigkeiten führen.,,22 d.h.,2, Umrechnen im Zielsystem (2) Umrechnen im Zielsystem (22) z...65??? (Erinnerung: multiplikative Umrechnung, vgl. Folie 2-) 5 :, wg. Darstellung als negativer Exponent der asis heißt das Division Division nach Horner mit Anschreiben der Ziffern in umgekehrter Reihenfolge 6,,9592 :, 9592 :, 5656,65 * ( * ( * (6 5))),5656 :, ((( 6) * ) * ) *, 6 5,

6 Zahlendarstellung und Rechnen im Dualsystem () Zahlendarstellung und Rechnen im Dualsystem (2) Durch N its lassen sich 2 N Zahlenwerte codieren Nur positive Zahlen, Wertebereich: (2 N ) Positive und negative Zahlen: (N-) - it Zahl mit Vorzeichen darstellbarer Wertebereich: [-2 N- 2 N- -] Most significant it als Vorzeichencodierung N its erlauben 2 N Möglichkeiten zur Zahlendarstellung, d.h. nur eine Darstellung mit endlicher Genauigkeit. ei positiven Zahlen: Zahlen n und n N sind nicht unterscheidbar (höchstwertige it geht verloren) ei positiven und negativen Zahlen: Additionsüberlauf kann zu negativen Ergebnissen führen eispiel: 8 most significant bit positive Zahl > 28 negative Zahl N 8 Wertebereich: 255 oder N 6 Wertebereich: 6555 oder negatives Vorzeichen Zahlendarstellung und Rechnen im Dualsystem () Was macht man? man führt Operationen auf einem Zahlenring durch Darstellung (Codierung) der Zahlen als inärworte 2.5