7.9. Kurvendiskussion

Transkript

1 7.9. Kurvendiskussion Bei der systematischen Untersuchung einer gegebenen Funktion und der durch sie dargestellten Kurve interessiert man sich vor allem für die folgenden Charakteristika, die einen guten Überblick über den graphischen Verlauf vermitteln: Nullstellen und die dazwischen liegenden Positiv- und Negativbereiche Extrema und die dazwischen liegenden Monotoniebereiche Wendepunkte und die dazwischen liegenden Konvexitätsbereiche Randverhalten und gegebenenfalls Asymptoten All diese Merkmale lassen sich prinzipiell mit Hilfe der im Folgenden zusammengestellten Kriterien bestimmen. Sie beruhen fast sämtlich auf dem Mittelwertsatz, der von dem französischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange im 18. Jahrhundert entdeckt wurde und in den nachfolgenden beiden Jahrhunderten immer mehr an Bedeutung für die Analysis gewann. Einige wichtige Anwendungen dieses Satzes, der es ermöglicht, Sekanten durch steigungsgleiche Tangenten zu ersetzen, kennen wir bereits: - die Konstanz aller Funktionen mit Ableitung 0 - die totale Differenzierbarkeit stetig partiell differenzierbarer Funktionen - die Schwarzsche Vertauschungsregel für höhere partielle Ableitungen - die Taylor-Approximation mit Restglied - die Regel von l'hospital. Nullstellen einer gegebenen Funktion lassen sich oft nur durch Näherungsverfahren approximieren. Eine besonders praktische Methode ist hier das ebenfalls auf dem Mittelwertsatz beruhende Newton-Verfahren, das wir in einem gesonderten Abschnitt besprechen. Man kann sagen, daß der gesamte Kurvenverlauf sich bei einer genügend gut differenzierbaren Funktion qualitativ an den Ableitungen in den Nullstellen ablesen läßt. Der erste Schritt nach der Nullstellenbestimmung ist die Festlegung der Positiv- und Negativbereiche Da ein Vorzeichenwechsel nur bei Nullstellen stattfinden kann (aber nicht muß), wird man versuchen, das Verhalten der Funktion in deren Umgebung zu erkennen. Dazu dient das selten erwähnte, aber außerordentliche nützliche

2 Vorzeichenkriterium Es sei f eine p-mal differenzierbare Funktion mit D k f( a ) 0 für k 0... p 1, aber D p f( a ) 0. Ist p gerade, so hat f( x ) in einer ganzen Umgebung von a das gleiche Vorzeichen wie D p f( a ). Ist p hingegen ungerade, so hat f( x ) in einer Umgebung rechts von a das gleiche, links von a aber das entgegengesetzte Vorzeichen wie D p f( a ). Zur Begründung nehmen wir 0 < D p f( a ) an und betrachten die Taylorformel, die sich wegen D k f( a ) 0 für k 0... p 1 auf die folgende Form reduziert: f( x) D ( p 1 ) f( u ) ( x a ) ( p 1 ) ( p 1)! mit (von x abhängigem) u zwischen x und a; für p 1 ist u x. Wegen D ( p 1 ) f( a ) 0 < D p f( a ) lim x a D ( p 1 ) f( x ) x a, 0 gilt und das geht nur, wenn D ( p 1 ) f( x ) für x in einer Umgebung rechts von a positiv, links von a hingegen negativ ist. Für ungerades p ist dann auch D ( p 1 ) f( u ) ( x a ) ( p 1 ) und damit f( x ) rechts von a positiv und links von a negativ, während für gerades p die Funktionswerte f( x ) in einer Umgebung (sowohl links als auch rechts) von a positiv sein müssen. Für den Fall D p f( a ) < 0 betrachtet man einfach -f statt f. Beispiel 1: Positiv- und Negativbereiche eines Polynoms Die Nullstellen des Polynoms sind offenbar f( x) x ( x 2 1) 2 ( x 2 4) 0 (einfach), 1 und -1 (doppelt), 2 und -2 (einfach). Ableitung mit der Produktregel liefert und Ausklammern des Faktors Speziell f ( x ) 4 ( x 2 1 ) ( x 3 4 x ) x + ( x 2 1 ) 2 ( 3 x 2 4 ) x 2 1 führt auf f ( x ) ( x 2 1 ) ( 7 x 4 23 x ) f (-2 ) 72, f ( -1) 0, f ( 0) -4, f ( 1 ) 0, f ( 2 ) 72 und weiter mit der 2. Ableitung: f ( x ) 2 x ( 7 x 4 23 x ) + ( x 2 1 ) ( 28 x 3 46 x ) Damit sind Positiv- und Negativbereiche klar: f (-1 ) 24, f ( 1) -24

3 negativ links von -2, positiv zwischen -2 und 0, negativ zwischen 0 und 2, positiv rechts von 2. Um die Kurve zu skizzieren, braucht man noch die Stellen, wo die Ableitung verschwindet (siehe weiter unten). Die Nullstellen der Ableitung f ( x ) ( x 2 1 ) ( 7 x 4 23 x ) findet man leicht durch Lösen quadratischer Gleichungen. Sie lauten exakt und näherungsweise: Die zugehörigen Funktionswerte sind angenähert , 1,,, 1, , -1., , 0.429, 1., , 0., 1.09, -1.09, -0., Damit kann der grobe Kurvenverlauf gezeichnet werden: Monotoniebereiche f( x ) x ( x 2 1 ) 2 ( x 2 4 ) Auch bei der Untersuchung von Monotonie-Eigenschaften ist der Mittelwertsatz von großem Nutzen, denn aus ihm folgt das Monotoniekriterium Eine auf einem offenen Intervall differenzierbare Funktion ist dort genau dann monoton wachsend (bzw. fallend), wenn ihre Ableitung nie negativ (bzw. positiv) wird. Ist die Ableitung sogar durchweg positiv (bzw. negativ), so ist die Ausgangsfunktion streng monoton wachsend (bzw. fallend).

4 Zu beliebigen x y aus dem Intervall gibt es nämlich ein u mit f( x ) f( y ) f ( u ) ( x y ); im Falle 0 f ( u ) folgt aus x < y stets f( x ) f( y ), und unter der Voraussetzung 0 < f ( u ) sogar f( x ) < f( y ). Ist umgekehrt f als monoton wachsend vorausgesetzt, so ist der Differentialquotient f ( x) lim y x f( y ) f( x ) y x stets nichtnegativ. Die Aussagen über monoton fallende Funktionen erhält man, indem man f durch -f ersetzt. Beispiel 2: Monotoniebereiche des Sinus Die Ableitung sin ( x ) cos( x ) ist in den offenen Intervallen 1 ] 2 k, 2 π 2 k π [ positiv, der Sinus wächst dort also streng monoton. Dagegen ist die Ableitung in den Intervallen 1 ] 2 k +, 2 π 2 k π [ negativ, und der Sinus fällt dort streng monoton. Für eine streng monoton wachsende Funktion braucht die Ableitung nicht überall echt positiv zu sein, wie das einfache Beispiel der Funktion x 3 zeigt. Maxima und Minima Eine Funktion f von einer Teilmenge A des R n nach R hat im Punkt a ein globales Maximum, falls globales Minimum, falls f( x ) f( a ) für alle x aus A gilt f( a ) f( x ) für alle x aus A gilt. Ist die jeweilige Ungleichung zumindest für x in einer Umgebung von a richtig, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. Minimum. Maxima und Minima nennt man auch Extrema. Falls jeweils die strengen Ungleichungen mit "echt kleiner" statt "kleiner oder gleich" gelten, spricht man von einem strengen (globalen oder lokalen) Maximum bzw. Minimum. Für die Kurvendiskussion ist hier nur der eindimensionale Fall differenzierbarer Funktionen relevant.

5 Extremaltest Liegt bei einem inneren Punkt a des Definitionsbereichs ein lokales Extremum, so muß dort die Ableitung 0 sein. Denn im Falle eines Minimums f( a ) ist 0 lim x a+ erzwingen die Gleichung f ( a) 0. f( x ) f( a ) stets nichtnegativ, und die Ungleichungen f( x ) f( a ) f( x ) f( a) f ( a ) lim 0 x a x a x a- Analog schließt man im Falle eines Maximums. Für Randpunkte gilt diese Argumentation aber nicht, denn dort kann man nur eine einseitige Annäherung vollziehen. Aus dem Monotoniekriterium erhalten wir unmittelbar das Extremalkriterium erster Ordnung Eine auf einem offenen Intervall differenzierbare Funktion f nimmt dort im Punkt a ihr Maximum an, falls 0 f ( x ) für x a und f ( x) 0 für a x gilt. Entsprechend nimmt die Funktion f im Punkt a ihr Minimum an, falls f ( x) 0 für x a und 0 f ( x ) für a x gilt. Beide Bedingungen beinhalten die Gleichung f ( a) 0 (für x a). Verschärftes Extremalkriterium Ist die Ableitung f stetig und a ihre einzige Nullstelle, so liegt bei a genau dann ein (und zwar das einzige) Maximum von f, wenn f links von a positiv und rechts von a negativ ist. Entsprechend liegt bei a genau dann ein Minimum von f, wenn f ( x ) < 0 für x < a und 0 < f ( x ) für a < x gilt. Ist nämlich die letztere Bedingung verletzt, etwa durch 0 f ( x 0 ) für ein x 0 < a, so muß auch 0 f ( x ) für alle x mit x 0 < x < a gelten (da sonst der Zwischenwertsatz für die stetige Funktion f eine weitere Nullstelle zwischen x 0 und a erzwingen würde). Aber dann wächst f auf dem Intervall von x 0 bis a monoton und kann bei a sicher kein Minimum haben.

6 Dieses Kriterium greift nur in Ausnahmefällen nicht, nämlich dann, wenn die Ableitung unendlich viele sich häufende Nullstellen hat. Um solche Situationen auszuschließen, sprechen wir von einem isolierten lokalen Maximum bzw. Minimum, wenn in einer (genügend kleinen) Umgebung keine weiteren lokalen Maxima bzw. Minima liegen. Isolierte lokale Maxima bzw. Minima sind natürlich streng (aber nicht umgekehrt!) Charakterisierung isolierter Extrema Eine stetige Funktion f hat genau dann bei a ein isoliertes lokales Maximum, wenn f in einer Umgebung von a streng monoton ist, und zwar links von a wachsend, rechts von a fallend. Dies ist sicher erfüllt, wenn f differenzierbar und f in einer Umgebung links von a positiv und rechts von a negativ ist. Für isolierte Minima muß man wachsend mit fallend und positiv mit negativ vertauschen. Diese Aussagen leuchten anschaulich ein, doch ist der exakte Beweis etwas knifflig. Glücklicherweise sind bei "ruhigen" Funktionen, deren Ableitungen keine sich häufenden Nullstellenfolgen besitzen oder konstant Null sind, alle Extrema automatisch isoliert. Das ist insbesondere für alle analytischen, d.h. in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen der Fall, wie man anhand der Taylordarstellung mit Restglied leicht erkennt. Stationäre Punkte sind solche, bei denen die Ableitung verschwindet (die "Momentangeschwindigkeit" ist dort 0). Lokale Extremalstellen sind laut Extremaltest stets stationär. Umgekehrt muß die Funktion aber in stationären Punkten keineswegs ein lokales Extremum annehmen, es kann auch ein flacher Wendepunkt vorliegen. Das ist z.b. dann der Fall, wenn die erste und zweite, aber nicht die dritte Ableitung in diesem Punkt verschwindet (siehe das weiter unten formulierte Wendekriterium). Beispiel 3: Extrema und ein flacher Wendepunkt Wir untersuchen die Funktion f( x ) x 5 x 3. Die Ableitung lautet: f ( x ) 5 x 4 3 x 2. Nullstellen der Ableitung: x 0 0 (doppelt) und nach Division durch x 2 : 5 x 2 3 0, 3 x 1 5, x Die zweite Ableitung f ( x ) 20 x 3 6 x ist bei x 1 größer, bei x 2 kleiner als 0, und die dritte Ableitung

7 f ( x ) 60 x 2 6 ist an der Stelle 0 negativ. Im Intervall zwischen -1.1 und 1.1 hat die Funktion f( x ) x 5 x 3 also ein globales Minimum bei ein lokales Maximum bei 125 einen flachen Wendepunkt bei 0 ein lokales Minimum bei 125 ein globales Maximum bei Wie das Beispiel zeigt, erfaßt man mit dem Extremalkriterium nur lokale Extrema im Inneren des betrachteten Bereichs! Zur allgemeinen Beschreibung von Wendepunkten brauchen wir Konvexe Mengen und Funktionen Man nennt sinnvollerweise eine Funktion f von einer Teilmenge K des R n nach R konvex, falls die Menge F aller über der durch sie beschriebenen Kurve bzw. (Hyper-)Fläche liegenden Punkte eine konvexe Teilmenge des ( n + 1)-dimensionalen Raumes ist, also mit je zwei Punkten a und b auch deren Verbindungsstrecke enthält. Die Menge F besteht definitionsgemäß aus allen Punkten ( x, y) mit x aus K und f( x ) y. Zur Erinnerung: Die Punkte ( 1 t ) ( a, f( a) ) + t ( b, f( b )) durchlaufen die Strecke zwischen a und b, wenn t das Intervall von 0 bis 1 durchläuft. Deshalb ist eine Funktion f von K nach R genau dann konvex, wenn K eine konvexe Menge ist und f ( ( 1 t ) a + t b ) ( 1 t ) f( a) + t f( b ) für alle t zwischen 0 und 1 gilt. Ist die umgekehrte Ungleichung ( 1 t ) f( a ) + t f( b ) f ( ( 1 t ) a + t b)

8 für alle t zwischen 0 und 1 erfüllt, so nennt man f eine konkave Funktion. Von einer streng konvexen bzw. streng konkaven Funktion spricht man, wenn in den entsprechenden Ungleichungen stets "echt kleiner" gilt, sofern 0 < t < 1 ist. f ist genau dann (streng) konkav, wenn -f (streng) konvex ist. Eine Fallunterscheidung zeigt, daß die konvexen Teilmengen von R genau die Intervalle sind. Im Folgenden befassen wir uns nur mit konvexen Funktionen in einer Variablen. Deren Definitionsbereiche sind also stets Intervalle. Geometrisch beschreiben streng konvexe Funktionen Linkskurven, streng konkave Funktionen Rechtskurven. Die einzigen sowohl konvexen als auch konkaven Funktionen sind die affinen Funktionen f( x ) m x + c. Beispiel 4: Parabeln Es sei p eine natürliche Zahl. Die Funktion f( x) x p ist für p 0 und p 1 affin (sogar linear). Für gerades p > 0 ist sie überall streng konvex und nirgends konkav. Für ungerades p > 1 ist f( x ) links von 0 streng konkav, rechts von 0 hingegen streng konvex.

9 Die Betragsfunktion f( x) x ist konvex, aber in 0 nicht differenzierbar. Auf offenen Intervallen sind konvexe Funktionen allerdings immer stetig! Der exakte Beweis dieser Tatsache und der folgenden anschaulichen Charakterisierungen konvexer Funktionen erfordert etwas mehr Aufwand. Charakterisierung konvexer Funktionen Für eine differenzierbare Funktion f von einem reellen Intervall I nach R sind folgende Eigenschaften gleichbedeutend: (a) f ist konvex, d.h. die Sekanten liegen stets oberhalb der Kurve. (b) Die Ableitung von f wächst monoton. (c) Die Tangenten liegen stets unterhalb der Kurve. Falls f sogar zweimal differenzierbar ist, sind diese Bedingungen auch äquivalent zu (d) Die zweite Ableitung von f ist auf I nicht negativ: 0 f ( x ). Entsprechende Äquivalenzen gelten für "streng konvex" und "streng monoton". Die Bedingung 0 < f ( x ) ist allerdings nur hinreichend, aber nicht notwendig für strenge Konvexität von f. Letzteres sieht man zum Beispiel an der streng konvexen Funktion x 4, deren zweite Ableitung im Nullpunkt verschwindet. Wendepunkte sind solche, wo der Übergang von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt stattfindet. Im ersten Fall sprechen wir von einem Rechts-Wendepunkt, im zweiten von einem Links-Wendepunkt. Definitionsgemäß hat eine Funktion einen Rechts-Wendepunkt bei a, wenn sie in einer Umgebung links von a streng konvex, rechts von a aber streng konkav ist, und bei Links-Wendepunkten ist es umgekehrt. Hat die Funktion an einer Stelle einen Wendepunkt und zugleich eine waagerechte Tangente, so sprechen wir von einem flachen Wendepunkt.

10 Beispiel 5: Waagerechte und senkrechte Wendetangenten Während die in 0 nur einmal differenzierbare Funktion x 3 im Nullpunkt einen flachen Wendepunkt hat, x ebenso wie die Funktion in Beispiel ist die durch f( 0) f( x) x x 0 stetig ergänzte Funktion zwar überall außerhalb von 0, aber nicht in 0 differenzierbar: f ( x) 1 2 x f( x ) ( x 0), lim x x 0 lim x 0 1 x. Bei 0 liegt ein Rechts-Wendepunkt mit senkrechter Tangente. Denn f ( x ) ist für x < 0 monoton wachsend, für x > 0 dagegen monoton fallend. Indem man die Charakterisierung isolierter Extrema auf die Ableitung f anstelle von f anwendet, bekommt man sofort die

11 Charakterisierung von Wendepunkten Eine differenzierbare Funktion f hat bei a genau dann einen Rechts- (bzw. Links-)Wendepunkt, wenn die Ableitung f dort ein isoliertes lokales Maximum (bzw. Minimum) hat. Wendepunkte mehrfach differenzierbarer Funktionen bestimmt man mit dem Wendekriterium Die Funktion f sei auf einem offenen Intervall p-mal stetig differenzierbar, wobei p ungerade und größer als 1 ist. Gilt für einen Punkt a dieses Intervalls D k f( a ) 0 für k 2,..., p 1, aber D p f( a ) 0, so liegt bei a ein Wendepunkt, und zwar ein Rechts-Wendepunkt, falls D p f( a ) < Links-Wendepunkt, falls 0 < D p f( a ). 0, und ein Dieses Kriterium ergibt sich unmittelbar durch Anwendung des Vorzeichenkriteriums auf die zweite Ableitung f anstelle von f! Anschaulich plausibel (und in den meisten für die Praxis relevanten Fällen richtig) ist, daß eine Funktion in einer Umgebung eines lokalen Minimums bzw. Maximums konvex bzw. konkav sein muß; wir sprechen dann von einem konvexen Minimum bzw. einem konkaven Maximum. Es handelt sich in solchen Fällen sicher um ein isoliertes lokales Minimum bzw. Maximum. Ob bei Punkten a mit f ( a ) 0 ein Extremum oder ein flacher Wendepunkt vorliegt, entscheidet man bei genügend hoher Differenzierbarkeit mit dem besonders schlagkräftigen Extremalkriterium höherer Ordnung Ist die Funktion f auf einem offenen Intervall p-mal stetig differenzierbar und gilt für einen Punkt a dieses Intervalls D k f( a ) 0 für k 1,..., p 1, aber D p f( a ) 0, so hat f in a ein konkaves lokales Maximum genau dann, wenn p gerade und D p f( a ) < 0 ist, konvexes lokales Minimum genau dann, wenn p gerade und D p f( a ) > 0 ist. Für ungerades p liegt hingegen bei a ein flacher Wendepunkt. Letzteres ist eine unmittelbare Anwendung des Wendekriteriums, während der Fall " p gerade" sich aus dem Charakterisierungssatz für isolierte Extrema mit Hilfe des Vorzeichenkriteriums ergibt, angewandt auf f und p 1 bzw. f und p 2 anstelle von f und p. Beispiel 6: Parabeln höherer Ordnung Für jede natürliche Zahl p und die Funktion f( x) x p mit p > 1 gilt D ( p 1 ) f( x ) p! x, also D ( p 1 ) f( 0) 0 und D p f( 0 ) p! > 0.

12 Sie hat daher für gerades p im Nullpunkt ein konvexes, insbesondere isoliertes Minimum für ungerades p im Nullpunkt einen flachen Links-Wendepunkt. Beispiel 7: Das Monotonie- und Wendekriterium in der Politik ist sehr praktisch für optimistische Prognosen bei Arbeitslosenzahlen und Aktienkursen, aber auch für parteipolitische Sprecher am Abend nach der Wahl. Sie können mit Fug und Recht behaupten, das beste Wahlergebnis erzielt zu haben oder zumindest in Kürze zu erreichen. Das klingt glaubhaft, falls man mit Stimmenmehrheit argumentieren kann ( f( a ) > 0). Sind die Stimmen weniger geworden, so zieht meist das Argument, daß der Verlust geringer als bei der Konkurrenz war ( f ( a ) > 0). Oder man hat die Trendwende erreicht, weil in der vorherigen Wahlperiode der Stimmenverlust noch größer war. Die Funktion ist zwar gefallen, aber ihre Ableitung ist gewachsen ( f ( a ) > 0). Von einem echtem Wendepunkt darf man sprechen, wenn die Veränderung des Stimmenverlusts vom Negativen zum Positiven umschlug: Hier wechselte die zweite Ableitung von Minus nach Plus ( f ( a ) > 0). Pech hätte der Schönredner nur, wenn alle drei Ableitungen negativ wären - aber das kann ihm zumindest auf Dauer nicht passieren, weil eine ruhige monoton fallende nichtnegative Funktion konvex sein oder einen Links-Wendepunkt haben muß. Also: immer optimistisch in die Zukunft schauen! f( x) x e ( x) f ( x ) e ( x) x e ( x ), f ( 2) e (-2 ) f ( x ) 2 e ( x) + x e ( x ), f ( 2) 0 f ( x ) 3 e ( x) x e ( x ), f ( 2) e (-2 ) Politische Wende bei 2