Public Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Karsten Fischer, Sven Kauer
|
|
- Clara Pohl
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Public Key Kryptographie mit dem RSA Schema Karsten Fischer, Sven Kauer
2 Gliederung I. Historischer Hintergrund II. Public Key Kryptographie III. Beispielszenario IV. Einweg-Funktion V. RSA Verfahren VI. Algorithmus VII. Beispiel VIII.Signieren von Nachrichten IX. Schwächen des RSA X. Angriffe auf den RSA XI. Einsatzgebiete XII. Zusammenfassung XIII.Quellen 2
3 Historischer Hintergrund Bis in die 70er symmetrische Verfahren Problem der Schlüsselverteilung 1976 Theorie über asymmetrische Verschlüsselung 1977 RSA am MIT (Rivest, Shamir, Adleman) 1980 durch RSA Data Security Inc. patentiert 1991 implemetiert in PGP durch Phil Zimmermann 2000 US-Patent läuft aus RSA weltweit einsetzbar 3
4 Public Key Kryptographie Theorie von W. Diffie und M. Hellman, 1976 Asymmetrisches Verfahren: zwei verschiedene Schlüssel: 1. Kodierung einer Nachricht 2. Dekodierung einer Nachricht Kodierungsschlüssel soll keine Schlüsse auf den Dekodierungsschlüssel zulassen 4
5 Public Key Kryptographie Public Key-Prinzip: (wichtige) asymmetrischen Variante Kodierungsschlüssel öffentlich (public key) Dekodierungsschlüssel geheim (private key) 5
6 Public Key Kryptographie Public Key-Prinzip: jeder Teilnehmer T hat folgende Schlüssel: Public Key E = E T (Encryption) Private Key D = D T (Decryption) Eigenschaften der Schlüssel: 1. für jede Nachricht m gilt: D(E(m)) = m und E(D(m)) = m 2. privater Schlüssel D (praktisch) nicht aus Schlüssel E zu erschließen. 6
7 Beispielszenario Vorbereitungen: Kommunikationsgruppe Jeder Teilnehmer T bekommt Schlüsselpaar (E T, D T ) Schlüsselpaare der Teilnehmer sind verschieden Schlüssel E wird verteilt (Publikationsorgan/Zertifizierungsstelle) Schlüssel D bleibt geheim 7
8 Beispielszenario Senden und Empfang: A will B die Nachricht m Schicken A sucht Schlüssel E B von B heraus A verschlüsselt m mittels E B A verschickt E B (m) an B B entschlüsselt mit D B (m): D B (E B (m)) = m 8
9 Beispielszenario Sicherheit: Kein anderer Teilnehmer kann E B (m) entschlüsseln, weil ihm D B von B fehlt Analogie: Briefkasten: jeder kann Post in den Briefkasten einwerfen nur Briefkastenbesitzer kann sie herausholen Public Key E Namensschild Private Key D Briefkastenschlüssel 9
10 Einweg-Funktionen Kodierungsschlüssel soll keine Schlüsse auf den Dekodierungsschlüssel zulassen Suche eine bijektive Funktion f(x) = y, die folgende Anforderungen erfüllt: 1. einfache Berechnung von y bei bekanntem x 2. schwere Berechnung von x bei bekanntem y Einweg-Funktionen (Trapdoor-functions) 10
11 Einweg-Funktionen Def: Eine umkehrbar eindeutige ("bijektive") Funktion f : A B mit x y = f (x) heißt Einweg-Funktion, wenn der Funktionswert y relativ leicht aus dem Argument x berechnet werden kann, wenn es aber andererseits bei Kenntnis von y nur mit sehr großem Aufwand möglich ist, das Argument x zu ermitteln, das zum Funktionswert y gehört. 11
12 Einweg-Funktionen Analogie: Telefonbuch (einer großen Stadt) Funktion f ermittelt Telefonnummer x aus Namen y Nachschlagen (TB ist alphabetisch sortiert) Umkehrfunktion f -1 nur sehr aufwendig ( ermittele Name y zur Telefonnummer x ) nach Nummern sortiertes TB? 12
13 Einweg-Funktionen Einige Einwegfunktionen: Faktorisierung: y = x 1 x 2 Diskreter Logarithmus: y = b x mod n Diskrete Wurzel: y = x a mod n (n nicht prim) 13
14 RSA-Verfahren 1977 entdeckt von Rivest, Shamir und Adleman Verfahren zum Erzeugen von Einweg-Funktionen basiert insbesondere auf: Euklidischer Algorithmus (kleinen) Satz von Fermat kein Algorithmus zur schnellen Primfaktorzerlegung bekannt 14
15 RSA-Verfahren Euklidischer Algorithmus: While (a>0) And (b>0) If a > b Then a = a Mod b Else b = b Mod a End If Wend ggt = a + b 15
16 RSA-Verfahren Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Satz: Zu je zwei natürlichen Zahlen a und b (b 0) gibt es ganze Zahlen x und y mit der Eigenschaft GGT(a, b)= a x + b y. D.h. für teilerfremde a,b (GGT(a,b)=1): a x = 1 - b y bzw. a x 1 (mod b) x ist das Inverse zu a mod b 16
17 RSA-Verfahren Beispiel: Erweiterter Euklidischer Algorithmus Zwei teilerfremde Zahlen: a = 14, b = 51 (GGT(14, 51)=1) mögliche Werte: x = 11, y = a 11 x - b 51 y -3 = 1= 1 (14 (a 11) x) modb ist das Inverse zu 14 mod 51 17
18 RSA-Verfahren Satz von Fermat: Satz: Ist p eine Primzahl und a eine zu p teilerfremde natürliche Zahl, so ist a p-1 1 (mod p). Findet man auch als: a p a (mod p) 18
19 RSA-Verfahren Satz von Fermat: 2 2mod7 3 3mod7 5 5mod
20 RSA-Verfahren Beweis: Satz von Fermat Sind a, b inkongruent modulo einer festen Zahl n, dann sind auch x a und x b inkongruent (mod n) f.a. x > 0 mit GGT(x,n )=1 1 2 (p-1) = (1 a) (2 a) ((p-1) a) (mod p) W = W a p-1 (mod p) 1 = a p-1 (mod p) qed. 20
21 RSA-Verfahren Anwendungen des Satzes Primzahlerzeugung? Wenn p Primzahl, dann gilt a p a (mod p) Gilt auch: Wenn a p a (mod p), dann ist p Primzahl? Nein Fermatsche Pseudoprimzahlen 21
22 RSA-Verfahren Anwendungen des Satzes Primzahltest? Fermatscher Primzahltest: Berechne b = a n-1 (mod n) Prüfe b = 1, bei erfolg: b Primzahlkandidat Langsam und Aufwendig 22
23 Algorithmus Kodierung Wähle Zufällig zwei Primzahlen p und q, welche nahe beieinander liegen. Bestimmt deren Produkt N. Ermittle φ( N) = ( p 1)( q 1). Bestimme ein e, s. d. e > 1 und teilerfremd zu φ(n). Berechne aus e d 1mod( φ( N)) den geheimen Schlüssel d. Somit ist der öffentliche Schlüssel: N, e und der geheime Schlüssel: d Die Kodierung erfolgt mit: C K e mod(n) 23
24 Beispiel Schlüsselerstellung Primzahlen: p = 463 und q = 467 N ermitteln: N = pq = φ(n) ermitteln: φ( N) = ( p 1)( q 1) = e bestimmen: 1 < e < N, teilerfremd zu φ(n), e = 277 d ermitteln: e d 1mod( φ( N)) e d = φ( N) k = φ( N) k e d = k 277d + 1 mögliche Lösung: k = 22, d = öffentliche Schlüssel: N = und e = 277 geheimer Schlüssel: d =
25 Beispiel Verschlüsselung öffentliche Schlüssel: N = und e = 277 Klartext K = 174 e C ermitteln: C K mod(n) C mod(216221) gerechnet mit modularer Exponentiation Quad := b, Halb := e, Erg := 1 while Halb > 0 if Halb mod 2 > 0 then Erg := (Erg * Quad) mod m Quad = (Quad * Quad) mod m Halb = Halb div 2 end while return Erg Geheimtext C =
26 Beispiel Dekodierung d Dekodierung mit K C mod(n). öffentliche Schlüssel: N = geheimer Schlüssel: d = Geheimtext C = d K ermitteln: K C mod(n) K mod(216221) gerechnet mit modularer Exponentiation Klartext K =
27 Signieren von Nachrichten Idee: Dokumente mit einer digitalen Unterschrift versehen. 1. Vorteil: Integrität, d. h. es wird die Unversehrtheit der übermittelten Nachricht sichergestellt 2. Vorteil: Authentizität, d. h. die Nachricht wurde vom richtigen Absender versandt 27
28 Signieren von Nachrichten Absender besitzt eigenen Schlüsselsatz. Absender kodiert seine Nachricht mit d, d sprich: C K mod(n) Absender versendet signierte und unsignierte Nachricht an Empfänger. Empfänger dekodiert die Nachricht mit e, e sprich: K C mod(n) Empfänger vergleicht unsignierte und dekodierte Nachricht miteinander und prüft auf Gleichheit. 28
29 Schwächen des RSA asymmetrisches Verfahren, welches für das Verund Entschlüsseln große K viel Zeit benötigt Wahl der Primzahlen kann nicht einfach zufällig erfolgen Sicherheit beruht auf der Annahme das die Zerlegung von N in seine Primfaktoren in polynomieller Zeit nicht gelingen kann. Beweis steht aus Shor-Algorithmus löst das Problem auf Quantencomputern in P 29
30 Angriffe auf den RSA Verfahren substituiert Klartext zu Geheimtext, weshalb Angriffe mit der Known-Plaintext-Angriffe und Wahrscheinlichkeitsanalyse möglich sind. Bei schlecht gewählten Primzahlen, kann aus N auf wenige mögliche Paare geschlossen werden. Zerlegung in Primfaktoren ist bedingt schon gelungen: RSA-567 mit 174 Ziffern Mersenne-Zahl mit 228 Ziffern Timing Attacks 30
31 Timing Attacks auf den RSA Idee: Geheimtexte mit dem öffentlichen Schlüssel so erstellen, das die Dechiffrierung lange benötigt, um fehl zu schlagen. Vorgehen Festlegen eines großen Startwertes Schleife Messen der Laufzeit der einzelnen Anfragen wird gemessen. Aus auffälligen Messwerten wird auf Werte geschlossen, welche ausprobiert werden. Ausgabe des geheimen Schlüssels 31
32 Einsatzgebiet Internet- u. Telefonie-Infrastruktur: X.509-Zertifikate Übertragungs-Protokolle: IPSec SSL TLS SSH WASTE -Verschlüsselung: PGP S/MIME Authentifizierung französischer Telefonkarten 32
33 Zusammenfassung RSA asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren benutzt öffentliche und geheime Schlüssel Nachrichten können nur von einem Empfänger gelesen, aber vielen Absendern versandt werden Algorithmus beruht auf der scheinbaren Unmöglichkeit der Zerlegung von großen Produkten in Primfaktoren Verschlüsselung und Entschlüsselung erfolgt nach einfachen Formeln 33
34 Quellen Handbook of Applied Cryptography A. Menezes, P. C. van Oorschot, S. A. Vanstone Remote Timing Attacks are Practical D. Brumley, D. Boneh Pulic Key Cryptographie J. Ziegenbalg
VI.3 RSA. - RSA benannt nach seinen Erfindern R. Rivest, A. Shamir und L. Adleman. - vorgestellt erstes Public-Key Verschlüsselungsverfahren
VI.3 RSA - RSA benannt nach seinen Erfindern R. Rivest, A. Shamir und L. Adleman - vorgestellt 1977 - erstes Public-Key Verschlüsselungsverfahren - auch heute noch das wichtigste Public-Key Verfahren 1
MehrVerschlüsselung durch Exponentiation (Pohlig, Hellman, 1976)
Verschlüsselung durch Exponentiation (Pohlig, Hellman, 1976) p : eine (grosse) Primzahl e : Zahl 0 < e < p mit ggt(e, p 1) = 1 d Inverses von e in Z p 1, dh d e 1 mod p 1 (= φ(p)) M : numerisch codierter
MehrPublic-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner
Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema Torsten Büchner 7.12.2004 1.Einleitung 1. symmetrische-, asymmetrische Verschlüsselung 2. RSA als asymmetrisches Verfahren 2.Definition von Begriffen 1. Einwegfunktionen
MehrRSA-Verfahren Schnelle Ver- / Entschlüsselung Zusammenhang mit dem Faktorisierungsproblem. RSA-Verfahren. Herwig Stütz
2007-11-23 Überblick 1 2 Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz 3 Allgemeines Public-Key Methode Rivest, Shamir und Adleman 1977 Sicherheit des Verfahrens beruht auf Schwierigkeit der Primfaktorenzerlegung
MehrProseminar Bakkalaureat TM 2008/2009 Datensicherheit und Versicherungsmathematik Public-Key-Kryptosystem
Proseminar Bakkalaureat TM 2008/2009 Datensicherheit und Versicherungsmathematik Technische Universität Graz 29. Dezember 2008 Überblick Unterschied zwischen symmetrischen und asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren
MehrDas RSA-Verfahren. Proseminar Kryptographische Protokolle SS Armin Litzel
in der Praxis Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 5.5.2009 in der Praxis Gliederung 1 Grundlegendes über RSA 2 in der Praxis Allgemeine Vorgehensweise zur Verschlüsselung Signieren mit RSA 3
MehrDigitale Unterschriften mit ElGamal
Digitale Unterschriften mit ElGamal Seminar Kryptographie und Datensicherheit Institut für Informatik Andreas Havenstein Inhalt Einführung RSA Angriffe auf Signaturen und Verschlüsselung ElGamal Ausblick
MehrAlgorithmentheorie Randomisierung
Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Prof. Dr. S. Albers Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten
MehrKurzskript MfI:AGS WS 2018/19 Teil II: Gruppen / Teil III: Ringe 34
Kurzskript MfI:AGS WS 2018/19 Teil II: Gruppen / Teil III: Ringe 34 Satz 4.2.11 (Chinesischer Restsatz, Ring-Version) Sind N teilerfremd (d.h. ggt( ) =1), so ist die Abbildung ein Ring-Isomorphismus. :
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (RSA-Verfahren)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (RSA-Verfahren) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
MehrKryptographie - eine mathematische Einführung
Kryptographie - eine mathematische Einführung Rosa Freund 28. Dezember 2004 Überblick Grundlegende Fragestellungen Symmetrische Verschlüsselung: Blockchiffren, Hashfunktionen
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrAsymmetrische Algorithmen
Asymmetrische Algorithmen Abbildung 9. Leonhard Euler Leonhard Euler, geboren am 15. April 1707 in Basel, gestorben am 18. September 1783 in Sankt Petersburg, war einer der produktivsten Mathematiker aller
MehrÜbung GSS Blatt 6. SVS Sicherheit in Verteilten Systemen
Übung GSS Blatt 6 SVS Sicherheit in Verteilten Systemen 1 Einladung zum SVS-Sommerfest SVS-Sommerfest am 12.07.16 ab 17 Uhr Ihr seid eingeladen! :-) Es gibt Thüringer Bratwürste im Brötchen oder Grillkäse
Mehr3 Public-Key-Kryptosysteme
Stand: 05.11.2013 Vorlesung Grundlagen und Methoden der Kryptographie Dietzfelbinger 3 Public-Key-Kryptosysteme 3.1 Verschlüsselung von Nachrichten Wir betrachten ganz einfache Kommunikationsszenarien.
Mehr11. Das RSA Verfahren
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017) 53 11. Das RSA Verfahren Bei einer asymmetrischen Verschlüsselung lässt sich der Schlüssel zum Entschlüsseln nicht aus dem Schlüssel zum Verschlüsseln bestimmen und
MehrVI.4 Elgamal. - vorgestellt 1985 von Taher Elgamal. - nach RSA das wichtigste Public-Key Verfahren
VI.4 Elgamal - vorgestellt 1985 von Taher Elgamal - nach RSA das wichtigste Public-Key Verfahren - besitzt viele unterschiedliche Varianten, abhängig von zugrunde liegender zyklischer Gruppe - Elgamal
MehrÜbungen zur Vorlesung Systemsicherheit
Übungen zur Vorlesung Systemsicherheit Asymmetrische Kryptographie Tilo Müller, Reinhard Tartler, Michael Gernoth Lehrstuhl Informatik 1 + 4 24. November 2010 c (Lehrstuhl Informatik 1 + 4) Übungen zur
MehrKryptograhie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik
Kryptograhie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Übersicht Zwecke der Krytographie Techniken Symmetrische Verschlüsselung( One-time Pad,
MehrAufgabe der Kryptografie
Aufgabe der Kryptografie Eve möchte die Unterhaltung mithören und/oder ausgetauschte Informationen ändern. Alice & Bob kommunzieren über einen unsicheren Kanal. Alice & Bob nutzen Verschlüsselung und digitale
MehrRegine Schreier
Regine Schreier 20.04.2016 Kryptographie Verschlüsselungsverfahren Private-Key-Verfahren und Public-Key-Verfahren RSA-Verfahren Schlüsselerzeugung Verschlüsselung Entschlüsselung Digitale Signatur mit
MehrPublic Key Kryptographie
3. Juni 2006 1 Algorithmen für Langzahlen 1 RSA 1 Das Rabin-Kryptosystem 1 Diskrete Logarithmen Grundlagen der PK Kryptographie Bisher: Ein Schlüssel für Sender und Empfänger ( Secret-Key oder symmetrische
MehrAlgorithmentheorie Randomisierung. Robert Elsässer
Algorithmentheorie 03 - Randomisierung Robert Elsässer Randomisierung Klassen von randomisierten Algorithmen Randomisierter Quicksort Randomisierter Primzahltest Kryptographie 2 1. Klassen von randomisierten
MehrZahlentheorieseminar: Einführung in die Public-Key-Kryptographie
Dozent: Dr. Ralf Gerkmann Referenten: Jonathan Paulsteiner (10939570) und Roman Lämmel ( ) Zahlentheorieseminar: Einführung in die Public-Key-Kryptographie 0. Inhalt 1. Einführung in die Kryptographie
Mehr3: Zahlentheorie / Primzahlen
Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 96 3: Zahlentheorie / Primzahlen 3: Zahlentheorie / Primzahlen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 97 Definition 37 (Teiler, Vielfache, Primzahlen,
MehrPublic Key Kryptographie
4. Dezember 2007 Outline 1 Einführung 2 3 4 Einführung 1976 Whitefield Diffie und Martin Hellman 2 Schlüsselprinzip Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren public Key private Key Anwendung E-Mail PGP openpgp
Mehrn ϕ n
1 3. Teiler und teilerfremde Zahlen Euler (1707-1783, Gymnasium und Universität in Basel, Professor für Physik und Mathematik in Petersburg und Berlin) war nicht nur einer der produktivsten Mathematiker
MehrBetriebssysteme und Sicherheit
Betriebssysteme und Sicherheit Asymmetrische Kryptographie WS 2012/2012 Dr.-Ing. Elke Franz Elke.Franz@tu-dresden.de 1 Überblick 1 Prinzip asymmetrischer (Konzelations-)Systeme 2 Mathematische Grundlagen
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 11 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität
Mehr3: Primzahlen. 111 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 3: Primzahlen
3: Primzahlen 111 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 18/19) 3: Primzahlen Definition 40 (Teiler, Vielfache, Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen) Seien a, b N. a ist ein Teiler von b ( a b ), falls es ein k N gibt
Mehr6.2 Asymmetrische Verschlüsselung
6.2 Asymmetrische Verschlüsselung (asymmetric encryption, public-key encryption) Prinzip (Diffie, Hellman, Merkle 1976-78): Statt eines Schlüssels K gibt es ein Schlüsselpaar K E, K D zum Verschlüsseln
MehrProseminar Schlüsselaustausch (Diffie - Hellman)
Proseminar Schlüsselaustausch (Diffie - Hellman) Schlüsselaustausch Mathematische Grundlagen Das DH Protokoll Sicherheit Anwendung 23.06.2009 Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 : Diffie Hellman
Mehr6: Public-Key Kryptographie (Grundidee)
6: Public-Key Kryptographie (Grundidee) Ein Teil des Schlüssels ist nur dem Empfänger bekannt. Der auch dem Sender bekannte Teil kann sogar veröffentlicht werden. Man spricht dann von einem Schlüsselpaar.
MehrZufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp
Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp Fakultät für Mathematik und Informatik Universität of Bremen Übersicht des Vortrags 1 Einfache Kryptosysteme 2 Einmalschlüssel
MehrDas RSA Kryptosystem
Kryptografie Grundlagen RSA Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrEinführung in die asymmetrische Kryptographie
!"#$$% Einführung in die asymmetrische Kryptographie Dipl.-Inform. Mel Wahl Prof. Dr. Christoph Ruland Universität Siegen Institut für digitale Kommunikationssysteme Grundlagen Verschlüsselung Digitale
MehrPublic-Key-Kryptographie
Kapitel 2 Public-Key-Kryptographie In diesem Kapitel soll eine kurze Einführung in die Kryptographie des 20. Jahrhunderts und die damit verbundene Entstehung von Public-Key Verfahren gegeben werden. Es
MehrRSA (Rivest, Shamir, Adleman)
Juli 2012 LB 3 Kryptographie F. Kaden 1/11 1977 von Rivest, Shamir, Adleman am MIT (Massachusetts Institut of Technology) entwickelt asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren Ziel: email-verschlüsselung,
MehrKryptographische Protokolle
Kryptographische Protokolle Lerneinheit 4: Schlüsselvereinbarung Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2017 8.5.2017 Einleitung Einleitung In dieser Lerneinheit
MehrKRYPTOSYSTEME & RSA IM SPEZIELLEN
KRYPTOSYSTEME & RSA IM SPEZIELLEN Kryptosysteme allgemein Ein Kryptosystem ist eine Vorrichtung oder ein Verfahren, bei dem ein Klartext mithilfe eines Schlüssels in einen Geheimtext umgewandelt wird (Verschlüsselung)
MehrKryptographie. Nachricht
Kryptographie Kryptographie Sender Nachricht Angreifer Empfänger Ziele: Vertraulichkeit Angreifer kann die Nachricht nicht lesen (Flüstern). Integrität Angreifer kann die Nachricht nicht ändern ohne dass
MehrAlgorithmische Kryptographie
Algorithmische Kryptographie Walter Unger Lehrstuhl für Informatik I 16. Februar 2007 Public-Key-Systeme: Rabin 1 Das System nach Rabin 2 Grundlagen Körper Endliche Körper F(q) Definitionen Quadratwurzel
MehrKryptographische Grundlagen
Kryptographische Grundlagen Bernhard Lamel Universität Wien, Fakultät für Mathematik 10. Mai 2007 Outline 1 Symmetrische Verschlüsselung 2 Asymmetrische Verschlüsselung 3 Praxis Verschlüsseln und Entschlüsseln
MehrVorlesung Sicherheit
Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz ITI, KIT 12.05.2014 1 / 26 Überblick 1 Hashfunktionen Erinnerung Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel:
MehrVP WAP Kryptographie
VP WAP Kryptographie Martin Hargassner, Claudia Horner, Florian Krisch Universität Salzburg 11. Juli 2002 header 1 Übersicht Definiton Ziele Entwicklung Private- / Public-Key Verfahren Sicherheit Anwendungsbeispiel:
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4 Public Key Kryptographie mit RSA 1. Ver- und Entschlüsselung 2. Schlüsselerzeugung und Primzahltests 3. Angriffe auf das RSA Verfahren 4. Sicherheit von RSA Probleme
MehrKryptographie. ein erprobter Lehrgang. AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ. LSR für NÖ, 28. April 2011 Alfred Nussbaumer
Kryptographie ein erprobter Lehrgang AG-Tagung Informatik, April 2011 Alfred Nussbaumer, LSR für NÖ 1 Variante: Kryptographie in 5 Tagen Ein kleiner Ausflug in die Mathematik (Primzahlen, Restklassen,
Mehr4 Der diskrete Logarithmus mit Anwendungen
4 Der diskrete Logarithmus mit Anwendungen 62 4.1 Der diskrete Logarithmus Für eine ganze Zahl a Z mit ggt(a, n) = 1 hat die Exponentialfunktion mod n zur Basis a exp a : Z M n, x a x mod n, die Periode
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4 Public Key Kryptographie mit RSA 1. Ver- und Entschlüsselung 2. Schlüsselerzeugung und Primzahltests 3. Angriffe auf das RSA Verfahren 4. Sicherheit von RSA Probleme
MehrEINIGE GRUNDLAGEN DER KRYPTOGRAPHIE
EINIGE GRUNDLAGEN DER KRYPTOGRAPHIE Steffen Reith reith@thi.uni-hannover.de 22. April 2005 Download: http://www.thi.uni-hannover.de/lehre/ss05/kry/folien/einleitung.pdf WAS IST KRYPTOGRAPHIE? Kryptographie
MehrEl Gamal Verschlüsselung und seine Anwendungen
El Gamal Verschlüsselung und seine Anwendungen Andrés Guevara July 11, 2005 1 Kurze Einführung in die Kryptographie Situation: Absender will Empfänger eine Nachricht schicken. Einige Ziele der Kryptographie
MehrTrim Size: 176mm x 240mm Lang ftoc.tex V1-5.Juli :54 P.M. Page 9
Trim Size: 176mm x 240mm Lang ftoc.tex V1-5.Juli 2018 7:54 P.M. Page 9 Auf einen Blick Über den Autor... 7 Einleitung... 19 Teil I: Verschlüsseln... 25 Kapitel 1: Sicherheit in Zeiten des Internet... 27
MehrKapitel 2. Elementare Zahlentheorie Primfaktorzerlegung
Kapitel 2. Elementare Zahlentheorie 2.1. Primfaktorzerlegung Menge der ganzen Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Addition Inverse Multiplikation Z Z Z, Z Z, Z Z Z, (a, b) a + b a a (a, b) a b Ausgezeichnete
Mehr$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $
$Id: ring.tex,v 1.13 2012/05/03 15:13:26 hk Exp $ 3 Ringe 3.1 Der Ring Z m In der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten Ringe eingeführt, dies waren Mengen A versehen mit einer Addition + und einer
Mehr3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung
1 3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung Das Wort Kryptographie leitet sich aus der griechischen Sprache ab, nämlich aus den beiden Worten κρυπτ oς(kryptos)=versteckt, geheim und γραϕɛιν(grafein)=schreiben.
Mehr3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren Hendrik
MehrVorlesung Sicherheit
Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz ITI, KIT 15.05.2017 1 / 25 Überblick 1 Hashfunktionen Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel: RSA
MehrKryptografie Die Mathematik hinter den Geheimcodes
Kryptografie Die Mathematik hinter den Geheimcodes Rick Schumann www.math.tu-freiberg.de/~schumann Institut für Diskrete Mathematik und Algebra, TU Bergakademie Freiberg Akademische Woche Sankt Afra /
MehrAnwendungen der Linearen Algebra: Kryptologie
Anwendungen der Linearen Algebra: Kryptologie Philip Herrmann Universität Hamburg 5.12.2012 Philip Herrmann (Universität Hamburg) AnwLA: Kryptologie 1 / 28 No one has yet discovered any warlike purpose
Mehr7: Grundlagen der Public-Key-Kryptographie
7: Grundlagen der Public-Key-Kryptographie 214 7: Public-Key-Kryptographie 7: Grundlagen der Public-Key-Kryptographie Wiederholung: Symmetrische Kryptographie 1 Schlüssel für Sender und Empfänger Benötigt
MehrVolker Kaatz. Faktorisierung. Faktorisierung. Problem und Algorithmen. Relevanz in der Kryptographie
Faktorisierung Problem und Algorithmen Relevanz in der Kryptographie Inhalt Begriff Faktorisierung Algorithmen (Übersicht) Strategie und Komplexität Pollard p-1 Algorithmus Pseudocode, mathematische Basis,
MehrPrimzahlen. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Es gilt: N=P Z {1} Definition: (Primzahlen) Definition: (zusammengesetzte Zahlen)
Primzahlen Definition: (Primzahlen) Definition: (zusammengesetzte Zahlen) Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Es gilt: N=P Z {1} 22 Primzahlen Definition: (Mersenne-Primzahlen) Eine Mersenne-Primzahl
MehrDigitale Signaturen. Einführung und das Schnorr Signatur Schema. 1 Digitale Signaturen Einführung & das Schnorr Signatur Schema.
Digitale Signaturen Einführung und das Schnorr Signatur Schema 1 Übersicht 1. Prinzip der digitalen Signatur 2. Grundlagen Hash Funktionen Diskreter Logarithmus 3. ElGamal Signatur Schema 4. Schnorr Signatur
MehrLiteratur. [8-9] ISM WS 2018/19 Teil 8/Asymmetrische Verschlüsselung
Literatur [8-1] Beutelspacher, A.; Schwenk, J.; Wolfenstetter, K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie. 4. Auflage, Vieweg 2001 [8-2] Schmeh, Klaus: Kryptografie. dpunkt, 6. Auflage, 2017 [8-3] Schneier,
MehrProseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren
Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Herwig Stütz 2007-11-23 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Das RSA-Verfahren 2 2.1 Schlüsselerzeugung.................................
MehrEinführung in die Kryptographie. 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch
Einführung in die Kryptographie 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch Kryptographie Name kryptós: verborgen, geheim gráphein: schreiben Verschlüsselung Text so umwandeln, dass man ihn nur noch entziffern/lesen
MehrLiteratur. ISM SS 2017 Teil 8/Asymmetrische Verschlüsselung
Literatur [8-1] Beutelspacher, A.; Schwenk, J.; Wolfenstetter, K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie. 4. Auflage, Vieweg 2001 [8-2] Schmeh, Klaus: Kryptografie. dpunkt, 4. Auflage, 2009 [8-3] Schneier,
MehrWiederholung. Symmetrische Verfahren: klassische Verfahren / grundlegende Prinzipien: Substitution, Transposition, One-Time-Pad DES AES
Wiederholung Symmetrische Verfahren: klassische Verfahren / grundlegende Prinzipien: Substitution, Transposition, One-Time-Pad DES AES Mathematische Grundlagen: algebraische Strukturen: Halbgruppe, Monoid,
MehrIT-Sicherheitsmanagement. Teil 8: Asymmetrische Verschlüsselung
IT-Sicherheitsmanagement Teil 8: Asymmetrische Verschlüsselung 02.01.18 1 Literatur [8-1] Beutelspacher, A.; Schwenk, J.; Wolfenstetter, K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie. 4. Auflage, Vieweg 2001
MehrKryptologie. Bernd Borchert. Univ. Tübingen SS Vorlesung. Teil 10. Signaturen, Diffie-Hellman
Kryptologie Bernd Borchert Univ. Tübingen SS 2017 Vorlesung Teil 10 Signaturen, Diffie-Hellman Signatur Signatur s(m) einer Nachricht m Alice m, s(m) Bob K priv K pub K pub Signatur Signatur (Thema Integrity
MehrKryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik
Kryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Übersicht Zwecke der Kryptographie Techniken Symmetrische Verschlüsselung( One-time Pad,
Mehr11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren
Chr.Nelius: Kryptographie (SS 2011) 31 11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren Eine konkrete Realisierung eines Public Key Kryptosystems ist das sog. RSA Verfahren, das im Jahre 1978 von den drei Wissenschaftlern
MehrPublic-Key-Kryptographie
Public-Key- mit dem RSA-Schema Andreas Meisel und Robert Mileski Institut für Informatik der Universität Potsdam Seminar und Datensicherheit WS 2006/2007 Inhaltsverzeichnis Geschichte der (1/3) 1900 v.
MehrPublic-Key-Verschlüsselung und Diskrete Logarithmen
Public-Key-Verschlüsselung und Diskrete Logarithmen Carsten Baum Institut für Informatik Universität Potsdam 10. Juni 2009 1 / 30 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen Gruppen, Ordnung, Primitivwurzeln
MehrIdeen und Konzepte der Informatik Kryptographie
Ideen und Konzepte der Informatik Kryptographie und elektronisches Banking Antonios Antoniadis (basiert auf Folien von Kurt Mehlhorn) 4. Dec. 2017 4. Dec. 2017 1/30 Übersicht Zwecke der Kryptographie Techniken
MehrVI. Public-Key Kryptographie
VI. Public-Key Kryptographie Definition 2.1 Ein Verschlüsselungsverfahren ist ein 5-Tupel (P,C,K,E,D), wobei 1. P die Menge der Klartexte ist. 2. C die Menge der Chiffretexte ist. 3. K die Menge der Schlüssel
MehrZahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Katharina Falk Medizintechnik Master
Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Katharina Falk Medizintechnik Master 13.06.2016 Gliederung Modulare Arithmetik Rechenregeln Schnelle Potenzierung Gemeinsamer Teiler Erweiterter Euklid Primzahlen
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)
Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 2014 Dr. Tobias Lasser Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München Programm heute 7 Fortgeschrittene Datenstrukturen 8 Such-Algorithmen
MehrDenn es geh t um ihr Geld: Kryptographie
Denn es geht um ihr Geld: Kryptographie Ilja Donhauser Inhalt Allgemeines Symmetrisch Asymmetrisch Hybridverfahren Brute Force Primzahlen Hashing Zertifikate Seite 2 Allgemeines Allgemeines Wissenschaft
MehrKryptographie. Vorlesung 7 und 8: Public-Key Verschlüsselung. Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca
Kryptographie Vorlesung 7 und 8: Public-Key Verschlüsselung Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 1/71 SYMMETRISCHE KRYPTOSYSTEME Der gleiche Schlüssel
Mehr2.4 Hash-Prüfsummen Hash-Funktion message digest Fingerprint kollisionsfrei Einweg-Funktion
2.4 Hash-Prüfsummen Mit einer Hash-Funktion wird von einer Nachricht eine Prüfsumme (Hash-Wert oder message digest) erstellt. Diese Prüfsumme besitzt immer die gleiche Länge unabhängig von der Länge der
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 4.4 Semantische Sicherheit 1. Sicherheit partieller Informationen 2. Das Verfahren von Rabin 3. Sicherheit durch Randomisierung Semantische Sicherheit Mehr als nur
MehrKryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik
Kryptographie Wie funktioniert Electronic Banking? Kurt Mehlhorn Adrian Neumann Max-Planck-Institut für Informatik Übersicht Zwecke der Kryptographie Techniken Symmetrische Verschlüsselung (One-time Pad,
MehrKryptographie für CTFs
Kryptographie für CTFs Eine Einführung KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kitctf.de Einführung Cryptography is the practice and study of techniques for secure communication
MehrIT-Sicherheit: Kryptographie. Asymmetrische Kryptographie
IT-Sicherheit: Kryptographie Asymmetrische Kryptographie Fragen zur Übung 5 C oder Java? Ja (gerne auch Python); Tips waren allerdings nur für C Wie ist das mit der nonce? Genau! (Die Erkennung und geeignete
MehrAsymmetrische Kryptographie u
Asymmetrische Kryptographie u23 2015 Simon, Florob e.v. https://koeln.ccc.de Cologne 2015-10-05 1 Zahlentheorie Modulare Arithmetik Algebraische Strukturen Referenzprobleme 2 Diffie-Hellman Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch
MehrPublic Key Kryptographie
Public Key Kryptographie Georg Stütz 4. Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 1.1 Anwendungsbeispiel................................ 2 1.2 Unterschiede zwischen symmetrischen und asymmetrischen
MehrPRIMZAHLEN PATRICK WEGENER
PRIMZAHLEN PATRICK WEGENER 1. Einführung: Was sind Primzahlen? Eine ganze Zahl p, welche größer als 1 ist, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Mit teilbar meinen wir hier
Mehr4 Kryptologie. Übersicht
4 Kryptologie Übersicht 4.1 Der erweiterte euklidische Algorithmus................................ 38 4.2 Rechnen mit Restklassen modulo p................................... 39 4.3 Der kleine Satz von
MehrAES und Public-Key-Kryptographie
Jens Kubieziel jens@kubieziel.de Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathem atik und Informatik 22. Juni 2009 Beschreibung des Algorithmus Angriffe gegen AES Wichtige Algorithmen im 20. Jahrhundert
MehrDas Verschlüsseln verstehen
Das Verschlüsseln verstehen Kurz-Vorlesung Security Day 2014 Prof. (FH) Univ.-Doz. DI. Dr. Ernst Piller Kurzvorlesung "Das Verschlüsseln verstehen", Security Day 2014, Ernst Piller 1 Warum eigentlich Verschlüsselung
Mehr4 Der diskrete Logarithmus mit Anwendungen
4 Der diskrete Logarithmus mit Anwendungen 53 4.1 Der diskrete Logarithmus Sei G eine Gruppe (multiplikativ geschrieben) und a G ein Element der Ordnung s (die auch sein kann). Dann ist die Exponentialfunktion
MehrAttacken auf RSA und Das Rabin Kryptosystem
Attacken auf RSA und Das Rabin Kryptosystem Institut für Informatik Universität Potsdam 4. Januar 2005 Überblick Wiederholung: RSA Das RSA Kryptosystem Attacken auf RSA RSA-FACTOR Wieners Algorithmus Das
MehrAbschnitt 5: Kryptographie. j (p j 1). 1 (p 1 1)p α 2
Abschnitt 5: Kryptographie. Zunächst wollen wir die Struktur von (Z/mZ) untersuchen. 5.1 Definition: Die Eulersche ϕ-funktion: ϕ : N N; ϕ(m) := (Z/mZ) 5.2 Bemerkung: (Z/mZ) {a {1,..., m 1} ggt(a, m) =
MehrBruce Schneier, Applied Cryptography
Gnu Privacy Guard In der Praxis gibt es zwei Formen von Kryptographie: Mit der einen Form der Kryptographie können Sie Ihre Dateien vielleicht vor Ihrer kleinen Schwester schützen, mit der anderen Form
MehrKryptographie und Komplexität
Kryptographie und Komplexität Einheit 5.2 ElGamal Systeme 1. Verschlüsselungsverfahren 2. Korrektheit und Komplexität 3. Sicherheitsaspekte Das ElGamal Verschlüsselungsverfahren Public-Key Verfahren von
MehrMathematische Methoden für Informatiker
Prof. Dr. 29.11.2018 32. Vorlesung Homomorphiesatz für Ringe Chinesischer Restsatz, speziell für Ringe Z n Lösen von t simultanen linearen Kongruenzen Sonderfall t = 2 Anwendungen, z.b. schnelle Addition
MehrDigitale Signaturen. Proseminar Kryptographie und Datensicherheit SoSe Sandra Niemeyer
Digitale Signaturen Proseminar Kryptographie und Datensicherheit SoSe 2009 Sandra Niemeyer 24.06.2009 Inhalt 1. Signaturgesetz 2. Ziele 3. Sicherheitsanforderungen 4. Erzeugung digitaler Signaturen 5.
Mehr