9. Primzahltests. Problemstellung: Definition: Satz: Gegeben sei n N, n 0, gilt n P?

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1 9. Primzahltests Problemstellug: Gegebe sei N, 0, gilt P? Vergleich mit Tabelle ( 1 0 1, uzweckmäßig Teste alle p P mit p 1 / auf p uzweckmäßig Fermat-Test : Wähle zufällig eiige a i Z ud teste: 1 ( a i, falls ja, teste: a 1 leicht zu teste 1 ( mod Frage: Ist dies effektiv, d. h. sid die Aussichte groß, bei die a 1 1 ( mod gilt? Atwort: ei. P Test a s zu fide, für Defiitio: Eie Carmichael-Z ahl ( oder Pseudoprimzahl ist ei N mit i. ist ugerade ii. Für alle a Z mit ( a, 1 gilt: a 1 1 ( mod iii. P. 9.. Satz: N ist Carmichael-Zahl p i, alle p i verschiedee ugerade Primzahle, s > 1, ( p i 1 ( 1. Erierug: G edliche abelsche Gruppe, multiplikativ geschriebe, e( x mi { N x 1 }, x G e( G mi { N x 1 x G } kgv { e( x x G } i. G zyklisch der Ordug e( G ii. H G Utergruppe e( H e( G, e( G/H e( G 1

2 iii. p P, p #( G p e( G iv. Die Primteiler vo e( G ud #( G stimme überei v. e( G 1 G kgv( e( G 1, e( G Beweis. sei Carmichael-Zahl, ( Z/. e p i i e( ( Z/ p i e i e ( ( Z/ ( 1 Aahme: e i > 1. Da p i ϕ( p i e i ( 1, d. h. 1 ( mod p i p i 1 ϕ( p i ( 1. Es gelte Primfaktorzerlegug. p i ( Z/ p i e i Faktorgruppe vo Widerspruch zu p i. Also e i 1, s > 1, ud p i, s > 1, alle p i P, ugerade, verschiede, ( p i 1 ( 1. Da ist e ( ( Z/ kgv e( ( Z/ p i kgv ( p i 1 ( 1 Also a 1 1 ( mod a mit ( a, Beispiele für Carmichael-Z ahle: ist Carmichael-Zahl, da, 1 0, 1 6 Teiler vo 560 ( kleiste Carmichael-Zahl mit drei Primfaktore ( kleiste Carmichael-Zahl mit vier Primfaktore Propositio: Ist Carmichael-Z ahl, so hat midestes 3 Primfaktore. Beweis. Ageomme p q, p, q P, p q. Wege ( p 1 p q q gilt sogar ( p 1 ( q 1, ebeso ( q 1 ( p 1, also p q Widerspruch Bemerkug: Ei Satz vo Alford-Graville-Pomerace ( besagt, dass für x 0 gilt:

3 #{ x ist Carmichael Zahl} x / Defiitio: N ugerade, ( a, 1. Dieses a Z heißt Euler-Zeuge ( für die Zerlegbarkeit vo, falls gilt: ( a ( a 1 ( mod Beide Seite vo ( sid leicht zu bereche. Weiter sei: E { ( ā ( Z/ a } a 1 ( mod Lemma: E ist Utergruppe vo ( Z/ Satz: Sei N ugerade. Da gilt: prim E ( Z/ Beweis. klar Sei E ( Z/. Für alle a Z mit ( a, 1 ist a 1 ( a ± 1. Also ist prim oder eie Carmichael-Z ahl. Aahme: p 1 p s Carmichael-Zahl, p i P alle verschiede, ( p i 1 ( 1, s 3. ( b Wähle ei b Z mit 1, b 1 ( mod p p i i. Da gilt: 1 ( ( ( ( b 1 b b b b 1 p 1 p p s Aber: ( 1 b 1 b ( p 1 c b c p p p 1 Widerspruch Dabei wurde verwedet: ( p 1 ( 1 ( p 1 Also ist keie Carmichael-Z ahl ud damit prim. c 1, c Z. 3

4 9. 9. Korollar: Ist ugerade ud keie Primzahl, so ist 1 #( E ϕ( Primzahltest vo Solovay ud Strasse ( Sei N ugerade ( Wähle a 1,, a r Z zufällig, a i ( z. B. die erste r Primzahle. Teste ( a i, 1. Falls ( a i, > 1 für ei i P. Fertig! 3. Ist ( a i 1 a i ( mod sch ell z u et sch eid e P, aderfalls ist vermutlich prim mit Fehlerwahrscheilichkeit r. für ei i, so ist Kei determiistischer Test, soder probabilistischer Test. Beispiel: a 1, a 3, a 3 6 schlechte Wahl, da das Ergebis des Tests auf a 3 durch die tests auf a 1 ud a eideutig bestimmt ist. Die a i sollte i ( Z/ multiplikativ uabhägig sei Beispiele: i ( a, 1, da 77 5 ( mod 8 ( a a ( mod 77 ( ( a 1 ist zerlegbar 7 7 a ist Eulerzeuge für 77 ii. F a : ( Es ist 1, ud modulo gilt: ( ( ( ( ( m al ( ( 1 6 ( ( 1 1. d. h. Wahrscheilichkeit eie Euler-Z euge zu wähle ist 1.. uabhägig bedeutet: α i v 0 α i v 0 1 i, wohigege lieare Uabhägigkeit bedeutet: 1 i α i v 0 α i 0 1 i. 1 i 3. das wisse wir jetzt eigetlich och icht. 4

5 ist kei Euler-Zeuge a 3: ( 3 1 ( m od 8( ( ( 1 3 ( ( ( ( ( mod 1 ( mod 3 1 Q u ad ratu re ( m od 3 ist ei Euler-Zeuge F 5 ist zerlegbar, P, Defiitio: Sei N ugerade, 1 t u, u ugerade, t 1. Ei a Z heißt Miller-Rabi-Zeuge ( für die Zerlegbarkeit vo, falls: ( 0 ( a, 1 ( i a u 1 ( mod ( i i a s u 1 ( mod, für s 0, 1,,, t Satz: Sei 1 ugerade. besitzt eie Miller-Rabi-Z euge P Geauer gilt: Ist P, so ist jeder Euler-Zeuge a vo auch ei Miller-Rabi-Zeuge. Beweis. Sei a ei Miller-Rabi-Z euge. Aahme: p P. Da ist 1 a p 1 a t u. Sei s { 0, 1,,, t 1 } maximal mit ( b a s u 1 ( mod p ( s existiert, da s 0 die Bedigug ( erfüllt, weil a u 1. Da ist b a s + 1 u s m axim al ( i 1 ( mod p ud damit b 1 ( mod p ( da Z / pz Körper Widerspruch zur Miller-Rabi-Eigeschaft ( ( ii vo a. Also P. Sei e p i i Wir zeige 4 : die Primfaktorzerlegug vo, 1 t u, u ugerade. } ( a, 1 ā E 5 a kei Miller-Rabi-Z euge ā ( Z/ 4. Kotrapositio zu P Euler-Z euge a: a ist auch Miller-Rabi-Z euge { ( } 5. E ā ( Z / a a 1 ( mod ˆ Komplemet der Euler-Z euge 5

6 Sei also a kei Miller-Rabi-Zeuge, also a u 1 ( mod oder a s 1 ( mod. für ei s { 0, 1,, t} 1. Fall: a u 1 ( mod. Da ist a 1 a t 1 u ( a u t 1 1. ( ( 1 a u Weiter ist 1 ( a u a u u gerad e(, d. h. ā E.. Fall: a s u 1 ( mod, für s { 0, 1,, t 1 }. Für i 1,, r sei d i e ( Z / pi ( a mod p i. Da ist d i s u, aber d i s + 1 u,, d. h. ( d i s + 1 v i mit v i u, v i ugerade da a s u 1 da a s + 1 u ( 1 a s + 1 u 1 a s u pi 1 Wege d i p i 1 köe wir schreibe: p i 1 s + 1 k i mit k i N, bzw. p i 1 + s + 1 k i e p i i ( 1 + s + 1 e i [ k i 1 + m od s + bzw. t 1 s a 1 e i s + 1 k i 1 + s + 1 s + u u gerad e 1 + ( e i 1 s s + 1 k i + ( e i s + k i + e i k i ud t 1 u 1 e i k i. Deshalb gilt modulo : a t 1 u ( s u t 1 s ( 1 t 1 s ( 1 Bleibt ( a zu bestimme: Es ist ( a p i 1 a a ( d ( i pi 1 d i ( 1 ( pi 1 d i ( 1 k i. a d i ( 1 k i ( mod p i p i 1 s + 1 k i aber a d i ( 1 e i k i. ( p i 1 s + 1 v i 0 ( m od s + 1 s s + v i u gerad e ( 1 ] e i k i ( pi 1 s + 1 ( dies gilt ach Defiitio vo d i, da d i Expoet vo a ( mod p, also kleister Expoet mit a d i 1, also a d i 1, ( 1 a d i 1 Z usamme also: ( a ( a p i e i ( 1 k i e i ( 1 e i k i. Folge: ā E wie gewüscht Korollar: Ist ugerade ud zusammegesetzt, so gibt es midestes 1 ϕ( Miller-Rabi-Zeuge für ( ämlich die Euler-Zeuge. Satz vo Rabi ( : Ist ugerade, icht prim, > 9, so besitzt midestes 3 ( 1 3 ϕ( Miller-Rabi-Zeuge 4 4 a mit a <, wobei bei dieser Aussage a s mit ( a, > 1 zugelasse sid. 6

7 Primzahltest vo Rabi ud Miller: Gegebe sei 0, ugerade. 1. Wähle 1 < a 1,, a r zufällig. ( a i, > 1 für ei i P, fertig 3. i mit a i ist Miller-Rabi-Zeuge. Da PP, fertig. Aderfalls ist vermutlich P mit Fehlerwahrscheilichkeit 4 r. Satz vo Akey, Motgomery, Bach ( : Uter der Voraussetzug 6 GRH hat jede zerlegbare ugerade Zahl eie Miller-Rabi-Zeuge p P mit p < ( log log , , , 4... π( log Der Miller-Rabi-Test wird also ( modulo GRH determiistisch, falls ma die Primzahle p < ( log auf ihre Zeugeeigeschaft testet. I Wirklichkeit gilt sogar: ist Miller-Rabi-Zeuge für N \ P, < ( für 047 ist kei Miller-Rabi-Zeuge ; oder 3 ist Miller-Rabi-Zeuge für N \ P, < , 3 oder 5 ist Miller-Rabi-Zeuge für N \ P, <, D. h. i Wirklichkeit ist die Sicherheit/ Effektivität des Miller-Rabi-Tests och viel besser, als durch usere Tabelle ahegelegt wird. Z usammefassug: Test Art Vorteile Nachteile aiv determiistisch sicher ubrauchbar Fermat probabilistisch eifach usicher ( C armichael-z ahle Solovay-Strasse probabilistisch eifach relativ hohe Fehlerwahrscheilichkeit Miller-Rabi probabilistisch gerigere Fehlerwahrscheilichkeit höherer Recheaufwad Miller-Rabi ( GRH determiistisch sicher ( modulo GRH höherer Recheaufwad, hägt vo GRH ab, darf icht zu groß sei 6. G RH geeral Riema hypothesis 7

8 Schlussbemerkug: August 00 habe Agarwal, Kayal, Saxea ( idische Mathematiker eie determiistische ( Primzahltest agegebe mit polyomialer Komplexität, d. h. die Laufzeit Test( O ( log k, k N. Dieser Test ist für die Praxis jedoch ubrauchbar. 8

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