Komplexe Zahlen. z = a + i b

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1 Komplexe Zahlen Definition 7. Da keine reelle Zahl existiert, deren Quadrat -1 ist, definieren wir die imaginäre Einheit i durch die Gleichung i 2 = 1. Als die Menge aller komplexen Zahlen C definieren wir alle Zahlen z, die sich in der Form z = a + i b darstellen lassen. Hierbei sind a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit. Die Zahl a bezeichnet man als Realteil und die Zahl b als Imaginärteil der komplexen Zahl z und schreibt hierfür Re(z) = a und Im(z) = b. Die komplexen Zahlen kann man mit Vektoren in der Ebene identifizieren. Identifiziert man komplexe Zahlen mit Vektoren in der in der Graphik dargestellten Ebene, so sieht man (mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der allen aus der Schule bekannt sein dürfte), dass die Definition D. Horstmann: November

2 des Betrags einer komplexen Zahl, die durch z := (Re(z)) 2 + (Im(z)) 2 gegeben ist, sinnvoll ist. Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht also der Länge des Vektors in der komplexen Ebene. Definition 8. als Die zu der komplexen Zahl z = a+ib konjugierte komplexe Zahl z ist definiert z = a ib. D. Horstmann: November

3 Rechnen mit komplexen Zahlen Für das Rechnen mit komplexen Zahlen sind die nachfolgenden Rechenvorschriften zu beachten: 1. Addition: Zwei komplexe Zahlen werden miteinander addiert, indem man jeweils die Realteile und Imaginärteile addiert, d.h. für z 1 = a + ib und z 2 = c + id gilt z 1 + z 2 = (Re(z 1 ) + Re(z 2 )) + i (Im(z 1 ) + Im(z 2 )) = (a + c) + i(b + d). 2. Multiplikation: Zwei komplexe Zahlen werden miteinander multipliziert, indem man die übliche Multiplikation von Klammern anwendet, d.h. für z 1 = a + ib und z 2 = c + id gilt z 1 z 2 = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + (i) 2 db = ac bd + i(ad + bc). D. Horstmann: November

4 3. Division: Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den vorliegenden Bruch mit der zum Nenner konjugierten komplexen Zahl erweitert und den resultierenden Bruch in Realteil und Imaginärteil umsortiert. D.h. für z 1 = a + ib und z 2 = c + id 0 gilt: z 1 = a + ib z 2 c + id = a + ib c + id c id c id = = (a + ib)(c id) c 2 + d 2 = ac + bd ad + ibc c 2 + d2 c 2 + d. 2 ac + bd + i(bc ad) c 2 + d 2 D. Horstmann: Dezember

5 Rechnen mit komplexen Zahlen Abbildung 1: Die Addition und die Subtraktion von komplexen Zahlen dargestellt in der komplexen Ebene (Gaußschen Zahlenebene). D. Horstmann: November

6 Funktionen D. Horstmann: November

7 Funktionen Definition 9. Eine Funktion f ist eine Rechenvorschrift, die jedem Element einer Menge D genau ein Element einer Zielmenge Z zuweist. Die Menge D heißt Definitionsbereich der Funktion und die Menge W, die alle Funktionswerte f(x) enthält, heißt Wertebereich. Anmerkung 8. Z. Offensichtlich ist der Wertebereich eine Teilmenge der Zielmenge, d.h. W Anmerkung 9. Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Ein anderes für den Begriff der Funktion verwendetes Wort ist zum Beispiel der Begriff der Abbildung. D. Horstmann: November

8 Funktionen Beispiel 18. Das Wachstum einer Pflanze soll in Abhängigkeit ihres Alters (in Tagen) mit Hilfe einer Funktion beschrieben werden. Hierfür werden in regelmäßigen Abständen die Pflanzenhöhe h gemessen. 10 Tage nach dem Auspflanzen der Pflanze beginnen die Messungen und werden in einem Abstand von jeweils 10 Tagen wiederholt. Hierbei ergeben sich die nachfolgenden Daten: Planzenalter in Tagen Pflanzenhöhe in cm Wir können die Höhe h also durch die Vorschrift h = f(t) mit Hilfe des Alters berechnen, wobei f(10) = 10.4, f(20) = 30.7 usw. gelte. D. Horstmann: November

9 Konvergenz von Folgen Definition 10. Eine Folge reeller Zahlen ist eine Zuordnung aus einer Menge der natürlichen Zahlen in die der reellen Zahlen derart, dass jedem n IN eine reelle Zahl a n IR zugeordnet wird. Definition 11. Es sei (a n ) n IN eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen eine Zahl a IR, falls zu jedem ε > 0 ein n 0 IN existiert, so dass der Betrag der Differenz a n a für alle n n 0, dass heißt für alle Zahlen in der Zahlenfolge ab dem Index n 0, kleiner als der Wert ε ist. Die Zahl a IR nennt man dann den Grenzwert der Zahlenfolge und schreibt hierfür lim a n = a oder auch a n a für n. n Ist eine Folge nicht konvergent, so nennt man sie divergent. D. Horstmann: November

10 Konvergenz von Folgen Für zwei konvergente Folgen (a n ) n IN und (b n ) n IN mit lim n a n = a und lim b n = b n gelten die nachfolgenden Rechenregeln: ( ) ( ) 1.) lim n (a n b n ) = lim n a n lim n b n = a b 2.) lim n (a n + b n ) = lim n a n + lim n b n = a + b. D. Horstmann: November

11 Stetigkeit von Funktionen Definition 12. Eine Funktion f ist stetig an einer Stelle t D, wenn für jede Folge (t n ) n IN aus dem Definitionsbereich D, die gegen den Wert t konvergiert, auch die Folge der Funktionswerte (f(t n )) n IN gegen den Funktionswert f( t) der Funktion an der Stelle t konvergiert. D.h. eine Funktion ist genau dann stetig in t, wenn für jede gegen t konvergente Folge f(t n ) f( t) für t n t gilt. D. Horstmann: November

12 Besondere Klassen von Funktionen Beispiel 19. Neugeboren wiegen Katzen im Durchschnitt 105 g. In der Regel verdoppeln sie ihr Gewicht in der ersten Woche und auch in der zweiten bis vierten Woche nehmen sie (relativ linear) ca. 100 g zu. Wobei Kater etwas schwerer sind als Katzen. Wenn man nun davon ausgeht, dass die Gewichtszunahme der Kater zwischen der ersten und vierten Woche linear verläuft, so lässt sich mit Hilfe dieser Werte eine eindeutig bestimmte Gerade angeben. Diese Gerade hat als lineare Funktion die Gestalt y = f(t) = a t + b. Mit Hilfe der Angaben lassen sich nun a und b eindeutig bestimmen, wie wir auf Grund unseres Wissens über das Lösen von Gleichungssystemen leicht einsehen. Offensichtlich muss gelten: 210 = a 1 + b, 510 = a 4 + b. Löst man dieses Gleichungssystem für a und b, so ergibt sich a = = 100 und b = 110 und somit die Geradengleichung f(t) = 100 t D. Horstmann: November

13 Lineare Regression Auch wenn zwischen zwei Größen x und y eine lineare Beziehung besteht, so liegen die als Punkte P i im (x, y)-koordinatensystem dargestellten Paare (x i, y i ) von Messwerten in der Regel nicht auf einer Geraden. Ziel ist es also, eine Gerade möglichst gut an n vorgegebene Punkte P i = (x i, y i ) (i = 1,..., n) anzupassen. Hierfür berechnet man zunächst die Kovarianz s xy = 1 n 1 n (x i x M )(y i y M ) i=1 der Stichproben beziehungsweise der Messreihe (hierbei bezeichnet x M wie im 1. Kapitel das arithmetische Mittel der x i und y M das arithmetische Mittel der y i ). Durch die Gleichung ŷ = s xy (x x M ) + y M s 2 x wird eine Gerade beschrieben, die man Regressionsgerade (klausurrelevant) nennt. Der Wert ŷ stellt einen Näherungswert für den tatsächlichen Messwert dar. D. Horstmann: November

14 Lineare Regression Beispiel 20. Die europäische Union verzeichnete von 1993 bis 2005 die nachfolgenden Jahresfänge (in Tonnen) an Scholle bzw. Goldbutt: x i y i x i y i Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen den Jahreszahlen und dem Umfang der Jahresfänge vermutet. Dieser soll mit Hilfe einer Regressionsgeraden angegeben werden. Hierfür berechnet man die arithmetischen Mittel und die Varianzen der Jahreszahlen sowie der Jahresfänge und schließlich auch noch die Kovarianz der Datenreihe. Hierbei ergeben sich: x M = = 1999, y M = = , s 2 x = = 91 6, s2 y = , s xy = D. Horstmann: November

15 Setzt man nun die entsprechenden Werte in die Formel für die Regressionsgerade ein, so erhalten wir: Abbildung 2: Links: Die Datenpunkte (Punktwolke). Rechts: Die Punktwolke und die dazugehörige Regressionsgerade. D. Horstmann: November

16 ŷ = = x (x 1999) Hiermit berechnen wir nun die durch die Regressionsgerade beschriebenen Näherungswerte für unsere Jahresfänge. Wir erhalten so: x i ŷ i x i ŷ i Tabelle 1: Mit der Regressionsgeraden berechnete Näherungen der Jahresfänge an Scholle bzw. Goldbutt (Pleuronectes platessa) in Tonnen. D. Horstmann: November

17 Lineare Regression Die Güte der Anpassung der Regressionsgeraden an die Punkte P i lässt sich mit Hilfe des Ausdrucks n (ŷ i y M ) 2 i=1 B = (n 1)s 2 y beurteilen. Für das Bestimmtheitsmaß ergibt sich, dass B ist. Die Approximation durch die Regressionsgerade ist also recht zufriedenstellend. D. Horstmann: November