BERÜHMTE KURVEN Logarithmische Spirale. Die Logarithmische Spirale wird durch eine Gleichung in Polarkoordinaten angegeben: r(φ)=a*e k φ

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1 BERÜHMTE KURVEN Gruppenleiter: Jürgen Appell, Kristina Appell, Anna Martellotti Hilfskräfte: Alison Cross, Ruth Smith Teilnehmer(innen): Ann-Christin Gerstner, Matthias Geuder, Michael Kierstein, Lukas Lürzel, Julian Schary, Tina Wagner, Stefanie Wellert, Florian Wisheckel 1. Spiralen. Auf der Suche nach berühmten Kurven sind wir als erstes auf Spiralen gestoßen. Wir fanden folgende interessante Varianten von jenen, die wir während der Projekttage genauer untersucht und auch mit groooooooooooooooooooooooooooooßem Aufwand selbst konstruiert haben. Diese haben wir ausgesucht, weil sie anschauliche und einfache Beispiele für berühmte Kurven sind Logarithmische Spirale. Die Logarithmische Spirale wird durch eine Gleichung in Polarkoordinaten angegeben: r(φ)=a*e k φ Wie man an der unteren Grafik sieht, wächst der Radius exponentiell mit dem Polarwinkel. Umgekehrt hängt der Polarwinkel logarithmisch vom Radius ab und man spricht daher von einer logarithmischen Spirale. Der Windungsabstand nimmt dabei mit wachsender Entfernung zum Zentrum zu. Besonders an der logarithmischen Spirale ist, dass alle durch den Pol gehenden Geraden die Kurve also ihre Tangenten unter dem gleichen Tangentenwinkel schneiden. Außerdem ist der Ursprung ein asymptotischer Punkt, d.h. die Spirale umkreist den Ursprung unendlich oft, ohne ihn zu erreichen. Beispiel in der Natur: Das Schneckenhaus

2 1.2. Archimedische Spirale. Auch die archimedische Spirale wird durch Polarkoordinaten bestimmt: r(φ)=a* φ mit a >0 Im Gegensatz zur logarithmischen Spirale wächst hier der Radius direkt proportional zum Drehwinkel φ. Beispiele in der Technik: Plattenspieler Beispiele in der Natur: Die Lakritzschnecke 2. Fraktale. Den Schwerpunkt unseres Projektes haben wir auf das Thema Fraktale gesetzt, da wir diese besonders interessant fanden. Zum einen wegen der ästhetischen Form, zum anderen auch weil sie oft in der Natur vorkommen Historischer Hintergrund. Der französische Mathematiker polnischer Herkunft Benoît Mandelbrot beschäftigte sich als einer der ersten sehr ausführlich mit dem Thema fraktale Geometrie. Er stieß darauf, als er aus unterschiedlichen Quellen abweichende Angaben zur Küstenlänge Großbritanniens entnahm.

3 Das kommt daher, dass die Küstenlänge je nach Maßstab unterschiedlich genau gemessen werden kann. Je detaillierter die Karte ist, desto länger ist die Küste. Nach Mandelbrot wurde auch die Mandelbrot-Menge, die wir später näher erklären, benannt Definition. Fraktal = aus dem Lat.: fractus, in Teile gebrochen (B. Mandelbrot, 1975) Fraktale besitzen beliebig kleine Teilbereiche (engl.: fractions ), die bei Vergrößerung immer wieder gleichermaßen komplizierte Strukturen aufweisen und oft selbstähnlich sind. Ein weiteres Merkmal von Fraktalen ist, dass sie keine ganzzahlige Dimension haben. 2.. Erstes Beispiel: Die Kochsche Schneeflocke Gestartet wird mit einem gleichseitigen Dreieck. Nun wird jede Seite gedrittelt und die mittlere durch zwei Strecken gleicher Länge ersetzt. (Ergebnis des ersten Schrittes: Davidstern) So fährt man nun immer weiter fort und erhält ein Fraktal, dessen Länge unendlich ist. Die eingegrenzte Fläche ist jedoch endlich Zweites Beispiel: Der Cantor-Staub. Der Cantor-Staub entsteht folgendermaßen: Aus dem Intervall [0,1] wird das mittlere Drittel entfernt. Im nächsten Schritt wird aus den beiden verbliebenen Strecken das mittlere Drittel entfernt usw.

4 n= n 1 2 = 1 n n = 1 n + 1 Der Cantor-Staub kann also wie folgt definiert werden: C = I n Ν C n Eine Besonderheit des Cantor-Staubs ist, dass die Länge der entfernten Teile 1 beträgt und dass dennoch unendlich viele Punkte übrig bleiben. An diesem Beispiel haben wir uns die Berechnung der Dimension eines Fraktals erarbeitet Berechnung der Dimension eines Fraktals log( AnzahlMselbstähnlicherMTeile) Dim = log( Verkleinerungsfaktor) Beim Cantor-Staub ergibt sich also: log 2 Dim ( C) = 0,58 log Der Cantor-Staub ist also eher eine eindimensionale Strecke als ein nulldimensionaler Punkt, da 0,58 näher an 1 als an 0 liegt. Auch für die Koch sche Schneeflocke können wir die Dimension errechnen: log 4 Dim ( K) = 1,26 log

5 Die Koch sche Schneeflocke ist also eher eine eindimensionale Strecke als eine zweidimensionale Fläche Drittes Beispiel: Das Sierpinski-Dreieck Man startet mit einer ausgefüllten schwarzen Fläche in Dreiecksform. Nun bestimmt man den Mittelpunkt jeder Seite und verbindet diese Punkte. Das so entstandene mittlere Teildreieck wird ausgeschnitten. Mit den übrigen Dreiecken verfährt man immer wieder genauso. log Dim ( S) = 1,585 log 2 Beim Sierpinski-Dreieck hat man also eher eine zweidimensionale Fläche als eine eindimensionale Strecke. Am Sierpinski-Dreieck konnten wir auch die Selbstähnlichkeit gut beobachten. Zoomt man immer weiter in das Dreieck hinein, so erscheinen immer wieder die selben Strukturen Viertes Beispiel: Die Mandelbrot-Menge Nachdem wir uns mit den obigen relativ anschaulichen Beispielen beschäftigt haben, fanden wir mit der Mandelbrot-Menge ein sehr ästhetisches, aber auch mathematisch äußerst kompliziertes Fraktal. Wir fanden im Internet ein gut veranschaulichendes Beispiel ( Das Flohbeispiel ) für die Entstehung einer solchen Menge. Da die Erklärung der Mandelbrot-Menge den Rahmen sprengen würde, wollen wir stattdessen berichten, wie wir uns mit der Mandelbrot-Menge beschäftigt haben. Wir fanden im Internet das Programm Ultra Fractal 5, mit dem wir eigene Fraktale und besonders Mandelbrot-Mengen erstellt und animiert haben. Dabei kamen immer neue faszinierende Formen zum Vorschein.