Was bisher geschah Alphabet, Wort, Sprache

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1 Was bisher geschah Alphabet, Wort, Sprache Wörter w A Operationen: Spiegelung R, Verkettung Palindrome Relationen: Präfix, Infix, Postfix, lexikographische, quasi-lexikographische Ordnung Sprachen L A (L 2 (A ) ) Relationen: Mengenrelationen, = Operationen: Mengenoperationen,,, \ Verkettung, iterierte Verkettung, Spiegelung R Reguläre Ausdrücke endliche Darstellung evtl. unendlicher Sprachen Syntax: RegExp(A) = Term(Σ F, ) (Baumstruktur) für Σ F = {(, 0), (ε, 0), (, 1), (, 2), (+, 2)} {(a, 0) a A} Semantik des regulären Ausdrucks E RegExp(A): Sprache L(E) A 36

2 Interessante Fragen für Sprachen Ist ein gegebenes Wort w in der Sprache L enthalten? (heißt oft Wortproblem) Enthält die Sprache L nur endlich viele Wörter? Gilt L 1 L 2 für zwei gegebene Sprachen L 1 und L 2? Gilt L 1 = L 2 für zwei gegebene Sprachen L 1 und L 2? Fragen zur Regularität: Lässt sich die Sprache L durch einen regulären Ausdruck definieren? (Gilt E RegExp(A) : L = L(E)?) Woran erkennt man, ob sich eine Sprache durch einen regulären Ausdruck definieren lässt? Gilt L(E) = für einen gegebenen regulären Ausdruck E? Gilt L(E) = A für einen gegebenen regulären Ausdruck E? Ist ein gegebenes Wort w in der durch den regulären Ausdruck E definierten Sprache L(E) enthalten? Alle Antworten sind für endliche Sprachen einfach, aber für unendliche Sprachen meist schwierig. 37

3 Wortersetzungssysteme Alphabet A Wortersetzungsregel (l, r) A A (geschrieben l r) Wortersetzungssystem endliche Menge von Wortersetzungsregeln Beispiele: Regel ba ab, Wortersetzungssystem S = {a ab, ba c, abc ε} 38

4 Anwendung von Wortersetzungsregeln Eine Regel l r ist auf ein Wort w A anwendbar, falls l ein Infix von w ist. Beispiel: Regel ma ε ist auf tomate anwendbar, u = to, v = te, auf am, motte und meta nicht anwendbar. Eine Anwendung der Regel l r auf ein Wort w = u l v ergibt das Wort u r v. (Ersetzung des Teilwortes l durch r) Beispiel: ab a angewendet auf baababa = u l v mit u = ba und v = aba ergibt baaaba mit u = baab und v = a ergibt baabaa 39

5 Ableitungsschritt Ableitungsschritt (u, (l r), p, v) im Wortersetzungssystem S mit Ausgangswort u, auf u anwendbare Regel l r aus S, Position p {1,..., u } im Wort u, an der das Teilwort l beginnt v ist das nach Anwendung der Regel l r an Position p auf u entstandene Wort. Beispiel: S = {ab ba, a b}, u = aba mögliche Ableitungsschritte in S (aba, (ab ba), 1, baa) (aba, (a b), 3, abb) (aba, (a b), 1, bba) 40

6 Ein-Schritt-Ableitungsrelation Jedes Wortersetzungssystem S A A definiert eine Relation S A A, wobei genau dann u S v gilt, wenn ein Ableitungsschritt (u, (l r), p, v) mit (l r) S existiert. Beispiel: Für S = {ab ba, a b} gilt aba S baa wegen (aba, (ab ba), 1, bba) aba S bba wegen (aba, (a b), 1, bba) aba S abb wegen (aba, (a b), 3, abb) aba S bbb 41

7 Wiederholung: Hüllen binärer Relationen R I M heißt reflexive Hülle von R M 2 (mit Identität I M = {(x, x) x M}) R R 1 heißt symmetrische Hülle von R M 2 (mit inverser Relation R 1 = {(y, x) (x, y) R}) Wiederholung: Verkettung der Relationen R M 2 und S M 2 R S = {(x, z) M 2 y M : (x, y) R (y, z) S} Iterierte Verkettung von R M 2 mit sich selbst: R 0 = I M R n+1 = R n R R + = R n M 2 n N\{0} R = R n M 2 n N transitive Hülle reflexiv-transitive Hülle 42

8 Ableitungen Eine Folge von Ableitungsschritten (u, (l 1 r 1 ), p 1, u 2 ), (u 2, (l 2 r 2 ), p 2, u 3 ),, (u n 1, (l n 1 r n 1, p n 1, v) im Wortersetzungssystem S heißt Ableitung von u nach v in S. Beispiel: S = {ab ba, a b}, u = aba Folge von Ableitungsschritten (aba, (ab ba), 1, baa), (baa, (a b), 3, bab), (bab, (a b), 2, bbb) aba ab ba baa a b bab a b bbb Länge der Ableitung = Anzahl der Ableitungsschritte In jedem System S existiert für jedes u A die leere Ableitung (der Länge 0) von u nach u. 43

9 Beispiele S 1 = { } mit u = und v = Was wird hier berechnet? Anderes Wortersetzungssystem mit derselben Wirkung? S 2 = {11 1, 00 1, 01 0, 10 0} und u = Wirkung verschiedener Ableitungreihenfolgen? S 3 = {c aca, c bcb, c a, c b, c ε} und u = c Menge aller in S 3 ableitbaren Wörter, die kein c enthalten? 44

10 Ersetzungsrelation Jedes Wortersetzungssystem S (A A ) definiert die Ersetzungsrelation S (A A ), wobei genau dann u S v gilt, wenn eine Ableitung von u nach v existiert. Beispiel: S = {a aa}, für jedes n 1 gilt ba S b a a }{{} n wegen ba S baa S baaa S S b a a }{{} n b S b, aber für kein Wort w b gilt b S w ( S ist die reflexive transitive Hülle von S) 45

11 Modellierungsbeispiel: lineares Solitaire Startkonfiguration : n Spielsteine auf n benachbarten Spielfeldern. Spielzug : Springe mit einem Stein über einen benachbarten Stein auf das nächste freie Feld und entferne den übersprungenen Stein. Spielende, wenn kein Zug mehr möglich ist. Modellierung als Wortersetzungssystem: Konfiguration: w {, } ( - Stein, - leer, - Rand) Startkonfiguration: n zulässige Spielzüge:,,,... Fragen: Welche Konfigurationen / Endkonfigurationen sind von der Startkonfiguration erreichbar? Wieviele Züge sind mindestens / höchstens notwendig, um eine Endkonfiguration zu erreichen? Jedes Paar (Wortersetzungssystem, Anfangskonfiguration) definiert die Menge (Sprache) aller erreichbaren Konfigurationen. 46

12 Sprachen aus Wortersetzungssystemen Jedes Paar (Wortersetzungssystem S, Anfangswort w) über einem Alphabet A definiert die Sprache L(S, w) = {v A w S v} (alle Wörter v, die von w durch eine Ableitung in S erreicht werden) B: S = {c aca, c bcb, c ε}, w = c L(S, w) = {w c w R } (Menge aller Palindrome über {a, b, c}, die höchstens an der mittleren Position ein c enthalten) Jedes Paar (Wortersetzungssystem S, Menge M von Wörtern) über einem Alphabet A definiert die Sprache L(S, M) = w L L(S, w) (alle Wörter v, die von irgendeinem w M durch eine Ableitung in S erreicht werden) 47

13 Ausdrucksstärke von Wortersetzungssystemen Wortersetzungssysteme ermöglichen eine endliche Darstellung unendlicher Sprachen. (als Erzeugungsvorschrift für alle Wörter der Sprache) Beispiele: L ({ε aaa}, ε) = {a 3n n N} = (aaa) L ({2 020, 2 121}, 2) = {w2w R w {0, 1} } können zur Modellierung von Zuständen und Übergängen dazwischen verwendet werden z.b. Spiele, Ausführung von Programmen, Programmverifikation Beispiel: Lineares Solitaire können Berechnungen simulieren (Bestimmung von erreichbaren Wörtern ohne Nachfolger) Beispiel: ε L ({ }, ) 48

14 Wortproblem für durch Wortersetzungssysteme definierte Sprachen Ist ein gegebenes Wort w in der Sprache L(S, u) enthalten? alternative Formulierung: Gilt u S w? Ableitungsrelation S als (unendlicher) gerichteter Graph G S = (V, E) mit Knoten: V = A Kanten: E = {(u, v) u S v} u S w gilt genau dann, wenn in G S ein Pfad von u nach w existiert. Beispiel: (Tafel) S = {ab ba}, abab S baba, aber abab S abaa, abab S aabb 49

15 Sprachen aus Wortersetzungssystemen Lösung des Wortproblems und anderer Fragen zu Sprachen ist für endliche Sprachen einfach, für unendliche Sprachen oft nicht. Darstellung der Sprache durch ein Wortersetzungssystem kann helfen. Lösung des Wortproblem w L(S, u) durch Standardverfahren: Suche eines Pfades von u nach w im Ableitungsgraphen des Wortersetzungssystems S Problem: Pfadsuche ist Standardverfahren für endliche Graphen. Ableitungsgraphen von Wortersetzungssystemen sind meist unendlich. Standardverfahren anwendbar, wenn Suche in einem endlichen Teilgraphen genügt 50

16 Nichtverlängernde Wortersetzungssysteme Ein Wortersetzungssystem S heißt genau dann nichtverlängernd, wenn für jede Regel (l r) S gilt: l r. Wortproblem (L, w): Eingabe : Sprache L A, Wort w A Frage: Gilt w L? Ausgabe ja oder nein Beispiel: S = {ab ba, ac a}, u = abcac, v = aacb Satz Es gibt einen Algorithmus, welcher für für jedes nichtverlängernde Wortersetzungssystem S A A und beliebige Wörter u, w A das Wortproblem (L(S, u), w) in endlicher Zeit korrekt löst. Idee: Suche im endlichen Teilgraphen aller Wörter v A mit v u 51

17 Nichtverkürzende Wortersetzungssysteme Ein Wortersetzungssystem S heißt genau dann nichtverkürzend, wenn für jede Regel (l r) S gilt: l r. Beispiel: S = {a ba, b a}, u = ba, w = aaba, w = abab Satz Es gibt einen Algorithmus, welcher für für jedes nichtverkürzende Wortersetzungssystem S A A und beliebige Wörter u, w A das Wortproblem (L(S, u), w) in endlicher Zeit korrekt löst. Idee: Suche im endlichen Teilgraphen aller Wörter v A mit u v w 52

18 Wortersetzungssysteme mit verlängernden und verkürzenden Regeln Beispiel: S = c baaca, c aacba, c bbcabb, aca d, bcb d, ada d, bdb d Für Wortersetzungssysteme S mit verlängernden und verkürzenden Regeln existiert im Allgemeinen kein Algorithmus, der für beliebige Wörter u, w A feststellt, ob u s w gilt. 53