K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte"

Gerburg Salzmann
vor 6 Jahren
Abrufe

1 K2 MATHEMATIK KLAUSUR Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max Punkte Notenpunkte PT P. (max Punkte WT Ana A.a b A2.a b Summe P. (max Punkte WT Geo G.a b S Summe P. (max Punkte GTR und Formelsammlung dürfen erst nach Abgabe des Pflichtteils abgeholt werden.

2 Pflichtteil ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x = 3 x 2. (2 Gegeben ist die Funktion f(x = 2 x + 2 x 2. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. (3 Lösen Sie die Gleichung für 0 x π. (4 Gegeben ist die Funktion e 2 sin(2x = f(x = x2 x 2 4 Bestimmen Sie die Asymptoten des Schaubilds von f, sowie die Schnittpunkte des Schaubilds mit den Koordinatenachsen.

3 (5 Von den folgenden Schaubildern zeigt eines die Funktion f(x = a sin(x + b. a Begründen Sie, dass die Abbildung 2 das Schaubild von f zeigt, und bestimmen Sie a und b. b Zwei andere Abbildungen zeigen die Ableitung und eine Stammfunktion von f. Welche sind das? c Geben Sie einen Funktionsterm für das Schaubild 4 an.

4 (6 Gegeben ist die Ebene E : x x 2 2x 3 = und der Punkt P ( 4 7. Bestimmen Sie den Abstand von P zu E. Spiegeln Sie P an E. (7 Gegeben sind die drei Ebenen E : x + 2x 2 + 3x 3 = 4 E 2 : 3x x 2 + 2x 3 = 7 E 3 : x 5x 2 4x 3 = 2 Zeigen Sie, dass sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden an. (8 Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90 % aller Elfmeter. a Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern nur den letzten? mindestens einen? b Für ein Ereignis C gilt ( 30 p(c = 0,9 b c Geben Sie mögliche Werte für b und c an, und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis C in Worten. (9 Im dreidimensionalen Raum sind eine Gerade g gegeben, sowie ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Die Gerade h geht durch P und schneidet g orthogonal. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung der Geraden h.

5 Analysis A.. Ein quaderförmiges Wasserbecken mit 3m Länge, 2m Breite und 2m Höhe hat einen Wasserzulauf und einen Wasserablauf. Die Funktion f mit f(t = 0,2 t 3 2, t t (0 t 8; t in Stunden nach Beobachtungsbeginn und f in m 3 /h beschreibt modellhaft die Änderungsrate der Wassermenge in diesem Becken. Zu Beginn sind 0,5 m 3 Wasser im Becken. a Wie groß ist die Änderungsrate nach 2 Stunden? Skizzieren Sie das Schaubild von f. Begründen Sie mit Hilfe des Schaubilds von f, warum das Becken während der ersten 8 Stunden nie leer ist. Wann ist am wenigsten Wasser im Becken? b Wie viel Wasser ist nach 2 Stunden im Becken? Geben Sie einen Funktionsterm für die Wassermenge im Becken an zum Zeitpunkt t an. Wann ist das Becken zum zweiten Mal halb voll? A.2. Ein Regenwurmmäster bekommt pro Tag 200 neue Regenwürmer geliefert; gleichzeitig verkauft er täglich 0 % seines Bestandes an die umliegenden Hobbyfischer. Zu Beginn verfügt er über 500 Regenwürmer. a Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, die die Änderungsrate B (t des Bestands B(t an Regenwürmern beschreibt. b Bestimmen Sie einen Term für B(t; wieviele Regenwürmer wird der Mäster langfristig besitzen? (Wer a nicht lösen konnte, kann für b die Differentialgleichung B (t = 435 0,4B(t verwenden.

6 Geometrie Gegeben sind die Ebene E mit der Gleichung ( ( 23 0 x = + r( + s 3. 2 sowie die Gerade g durch die Punkte P (4 7 3 und Q( 2 3. a Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. Berechnen Sie den Abstand von P und E. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und E. Untersuchen Sie, ob P und Q auf verschiedenen Seiten von E liegen. Gegeben ist eine Ebenenschar durch E k : 3x + kx 2 kx 3 = 6 mit k R. b Untersuchen Sie die Ebenen E k auf Parallelität und Orthogonalität zur Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden, die in allen Ebenen E k liegt. Welche Ebene der Schar hat den größten Abstand von P? Stochastik. Ein Unternehmer stellt Bauteile her. Er behauptet, dass davon höchstens 3 % defekt sind. Diese Behauptung soll mit einer Stichprobe von 200 Bauteilen überprüft werden. Die Nullhypothese lautet H 0 : p 3 %, die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5 % betragen. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich. Geben Sie die zugehörige Irrtumswahrscheinlichkeit an.

7 Lösungen Pflichtteil ( Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x = 3 x 2. 3 Natürlich ist ebensowenig = 3 3 wie 2 = = x 2 x = 3. Nur den Zähler könnte man auseinanderreißen: x2 x ; aber das nützt hier nichts. Abgeleitet wird mit der Quotientenregel: f (x = u v uv v 2 (2 Gegeben ist die Funktion = 3 2x (x 2 = 26x 2 (x 2. 2 f(x = 2 x + 2 x 2. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 3 = (3 Lösen Sie die Gleichung für 0 x π. F (x = 2 ln(x 2 x. e 2 sin(2x = Offenbar muss 2 sin(2x = 0 sein; wer s nicht sieht, nimmt den Logarithmus: 2 sin(2x ln e = ln. Wegen ln(e = und ln( = 0 ergibt sich wie oben 2 sin(2x = 0, also auch sin(2x = 0. Substitution 2x = z liefert sin z = 0, also z = 0, π, 2π,... ; Rücksubstitution ergibt 2x = 0, 2x = π und 2x = 2π, also x = 0, x 2 = π 2 und x 3 = π. (4 Gegeben ist die Funktion f(x = x2 x 2 4 Bestimmen Sie die Asymptoten des Schaubilds von f, sowie die Schnittpunkte des Schaubilds mit den Koordinatenachsen.

8 (5 Von den folgenden Schaubildern zeigt eines die Funktion f(x = a sin(x + b. a Begründen Sie, dass die Abbildung 2 das Schaubild von f zeigt, und bestimmen Sie a und b. Es geht nicht darum zu begründen, dass Abb. 2 das Schaubild von f sein muss; vielmehr muss man zeigen, dass diese Abbildung das Schaubild von f sein muss. Es hilft also nicht zu sagen, dass die Funktion in Abb Eigenschaften mit einer Sinusfunktion gemeinsam hat: man muss zeigen, dass, 3 und 4 nicht in Frage kommen. Also: f(x = a sin x + b ist gegenüber h(x = sin x in Richtung y-achse gestreckt und in Richtung y-achse verschoben, hat also die Hoch- und Tiefpunkte an denselben Stellen wie h(x, also in x = π, x 2 2 = 3π usw.; dies trifft aber nur auf Abb. 2 zu. 2 Einsetzen von (0 liefert b =, Einsetzen von ( π 3 ergibt 2 a = 2, d.h. es ist f(x = 2 sin x +. b Zwei andere Abbildungen zeigen die Ableitung und eine Stammfunktion von f. Welche sind das? Das Schaubild von f (x muss in x = π eine Nullstelle haben; 2 also ist es Abb.. Das Schaubild von F (x muss an den Nullstellen von f Extrema haben; also ist es Abb. 3. c Geben Sie einen Funktionsterm für das Schaubild 4 an. Um Faktor 2 gestaucht in Richtung x-achse und um nach oben verschoben; also f(x = sin(2x +. (6 Gegeben ist die Ebene E : x x 2 2x 3 = und der Punkt P ( 4 7. Bestimmen Sie den Abstand von P zu E. Spiegeln Sie P an E. (7 Gegeben sind die drei Ebenen E : x + 2x 2 + 3x 3 = 4 E 2 : 3x x 2 + 2x 3 = 7 E 3 : x 5x 2 4x 3 = 2 Zeigen Sie, dass sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden an.

9 Wir schreiben das LGS in der Form ( ( 3 2 ( 32 x + x 2 + x 3 5 Wegen ( 3 ( 2 5 = ( 4 7 ( = 7 ( 47 =. 2 ( 2 multiplizieren wir die Gleichung skalar mit und finden 0 = 0. Also schneiden sich die drei Ebenen in einer Geraden. Um die Schnittgerade zu bestimmen, suchen wir zuerst einen Punkt mit (0 x 2 x 3 ; Einsetzen liefert 2x 2 +3x 3 = 4 und x 2 + 2x 3 = 7; Elimination von x 2 ergibt x 3 = 4 und dann x 2 =, also den Punkt (0 4. Entsprechend liefert der Ansatz (x x 2 0 den Punkt ( Die Gerade durch diese beiden Punkte ist die gesuchte Schnittgerade: ( 0 44 x = + t(. 4 4 (8 Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90 % aller Elfmeter. a Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern nur den letzten? mindestens einen? Die erste Wahrscheinlichkeit ist p = 9 = 9, also 0,9 % Die zweite Wahrscheinlichkeit ist (Gegenereignis! p = = 999, also 99 % b Für ein Ereignis C gilt ( 30 p(c = 0,9 b c Geben Sie mögliche Werte für b und c an, und beschreiben Sie das zugehörige Ereignis C in Worten. Es ist b = 23 und q = p = 0,. Es geht um die Wahrscheinlichkeit, dass der Elfmeterschütze von oben von 30 Elfemetern 23 verwandelt. 0

10 (9 Im dreidimensionalen Raum sind eine Gerade g gegeben, sowie ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Die Gerade h geht durch P und schneidet g orthogonal. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung der Geraden h.

Ähnliche Dokumente

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 2 27.11.2014 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl (max) 28 15 15 2 60 Notenpunkte PT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max) 2 2 3 4 5 5 3 2 1 WT Ana A.1a) b) c) Summe P. (max) 6 4 5 15