Anwendungen der Differentialrechnung

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1 KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle von f, wenn es eine r-umgebung U r x = { x R n : x x < r} von x gibt, so dass für alle x U r x D gilt f x f x bzw. f x f x. Gelten diese Ungleichungen jeweils für x D, so heißt x eine globale oder auch absolute Maximal- bzw. Minimalstelle von f auf D. Die Zahl f x heißt entsprechend lokales/globales Maximum/Minimum. Satz 14: Lokale Extrema im Innern von D. Ist f auf U r x, x R n, einmal stetig differenzierbar, so gilt: Ist x eine lokale Extremalstelle von f, dann ist grad f x =. Beweis: Sei ht = f x + t e i, so besitzt h an der Stelle t = eine lokale Extremalstelle, d.h. ḣ = ei f x = f xi x =, für alle 1 i n, 54

2 d.h. grad f x =. # Definition 17: Man nennt x R n einen stationären Punkt von f, wenn grad f x = ist. Einen stationären Punkt, der keine Extremalstelle ist, heißt Sattelpunkt. Definition 18: Eine reelle Matrix A R n n heißt positiv negativ definit, wenn x T Ax > bzw. x T Ax < für alle x R, x. Nimmt dagegen x T Ax sowohl positive als auch negative Werte an, so heißt die Matrix indefinit. Eine reelle symmetrische Matrix ist positiv negativ definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv negativ sind. Gibt es sowohl negative als auch positive Eigenwerte, so ist die Matrix indefinit. Satz 15: Extremstellen-Test für nvariable Ist U R n offen und x ein stationärer Punkt einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f und H f x die Hesse- Matrix von f in x, dann gilt a H f x positiv definit x ist eine lokale Minimalstelle, b H f x negativ definit x ist eine lokale Maximalstelle, c H f x indefinit x ist ein Sattelpunkt. Beweis: Mit grad f x = und der Taylorschen Formel gilt für alle x in einer r- Umgebung von x : f x f x = 1 x x T H f x x x mit einem x zwischen x und x. H f x ist stetig da f zweimal stetig differenzierbar und daher mit H f x auch in einer ganzen Umgebung von x positiv definit negativ definit bzw. indefinit. In dieser Umgebung ist f x f x stets positiv negativ bzw. sowohl positiv als auch negativ. # Spezialfall n = : Die notwendige Bedingung für Extremalstellen bzw. Sattelpunkte ist, dass die Hesse- Matrix der zweimal stetig differenzierbaren Funktion f positiv bzw. negativ defi- 55

3 nit ist, d.h. nur positive bzw. nur negative Eigenwerte besitzt. Das wollen wir jetzt näher untersuchen. Wir bestimmen die Eigenwerte der symmetrischen Hesse-Matrix f xy = f yx, da f zweimal stetig differenzierbar ist, das charakteristische Polynom lautet: fxx λ f xy det = f xx λf yy λ fxy = λ f xx + f yy λ + f xx f yy fxy f yy λ f xy = λ λ 1 λ λ = λ λ 1 + λ λ + λ 1 λ =. fxx+f Da die Eigenwerte reell sein sollen, muss yy fxx f yy + fxy sein, damit die Wurzeln der quadratischen Gleichung reell sind. Da die Matrix symmetrisch ist, ist das aber offensichtlich erfüllt, es gilt fxx + f yy f xxf yy + f xy = fxx f yy Damit beide Eigenwerte positiv negativ sind, muss gelten: λ 1 λ = det H f = f xx f yy f xy >. + f xy. Daraus folgt, dass dann f xx f yy > fxy ist, d.h. entweder ist f xx > und f yy > oder f xx < und f yy <. Als Lösungen der quadratischen Gleichung sind die Eigenwerte fxx fxx + f yy + f yy λ 1, = ± f xxf yy + f xy. Dann liegt aber für f xx > ein lokales Minimum und für f xx < ein lokales Maximum in x vor. Ist dagegen f xx f yy f xy <, so ist ein Eigenwert positiv und ein Eigenwert negativ, die Hesse-Matrix in x folglich indefinit. Satz 16: Extremalstellen-Test für zwei Variable: Ist U R offen und x ein stationärer Punkt einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f und H f x die Hesse-Matrix von f in x, dann gilt a det H f x > und f xx > x ist lokale Minimalstelle, b det H f x > und f xx < x ist lokale Maximalstelle, c det H f x < x ist Sattelpunkt. Bemerkung 7: Der Fall det H f x = kann nicht entschieden werden. Hier muss man direkt das Vorzeichenverhalten untersuchen. 56

4 Beispiel 1: Es sei fx, y = xy + yx, dann sind die stationären Punkte, die wo grad fx, y = y + xy x + xy ist. Es ist y + xy = yy + x = für y =, dies in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt x + = x = und damit x =. Die zweite mögliche Lösung der ersten Gleichung ist y + x = bzw. y = x. Dies in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt x + 4x = 5x = also x = y =. Damit ist der einzige stationäre Punkt: x, y =,. Wir bestimmen die. partiellen Ableitungen: = f xx = y, f xy = y + x = f yx, f yy = x, dann ist H f, = und det H f, =. Wie man sich leicht überzeugt, ist, ein Sattelpunkt, da die Funktionswerte von f in einer Umgebung von, sowohl negativ als auch positiv sind. Beispiel : Es seien die lokalen Extrema und Extremalstellen der Funktion fx, y = y x 1 + x x + 1 zu bestimmen. Die stationären Punkte ergeben sich aus grad fx, y = y + 3x + x yx 1 Die zweite Gleichung ist erfüllt für y = und die erste Gleichung lautet dann 3x +x = x3x + =. D.h. wir erhalten stationäre Punkte, und 3, =. Die andere Lösung für die zweite Gleichung ist x = 1, diese in die erste Gleichung eingesetzt führt auf y +5 = und besitzt keine reelle Lösung. Wir haben also genau stationäre Punkte. = 57

5 Für die Hesse-Matrix benötigen wir die. partiellen Ableitungen: f xx = 6x +, f xy = y = f yx, f yy = x 1 und damit H f, = und H f 3, =. 1 3 Folglich besitzt fx, y = y x 1+x x+1 in, einen Sattelpunkt und in 3, ein lokales Maximum. Beispiel 3: Anwendung: Regressionsgerade Gegeben sei eine Punktwolke x i, y i, wobei y i im Allg. der gemessene Wert an der Stelle x i. Da die Messungen immer fehlerbehaftet sind, macht es wenig Sinn diese Punkte selbst auszuwerten. Liegt den Messungen ein linearer Zusammenhang zwischen x und y zugrunde, d.h. es gilt y = ax + b, so macht es Sinn mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine sogenannte Regressionsgerade zu bestimmen. In diesem Fall spricht man auch von der linearen Regression. Dieses Verfahren wird insbesondere auch in der deskriptiven Statistik verwandt. Mathematische Formulierung: Gesucht ist die Gerade y = ax + b, wobei die Geradenparameter a und b zu bestimmen sind. Da die Messstellen x i bekannt sind, wird die Gerade so bestimmt, dass die vertikalen Abstände minimiert werden: fa, b = y i ax i + b min! Man sagt dazu auch, dass die Summe der Quadrate der Residuen y i a x +b minimiert werden. 58

6 y i y=ax i +b Wir bestimmen nun die Regressionsgerade: 1. Notwendige Bedingung: f a = y i ax i b x i = und f b = Division durch und umordnen ergibt: y i ax i b 1 =. b x i + a x i = y i x i, und n b + a x i = y i Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten, in Matrixschreibweise sieht es wie folgt aus: x i x i n x i x i y i x i y i Mit Hilfe der Cramerschen Regel bzw. mittels Gauß-Algorithmus kann man die Lösung bestimmen. Dazu seien x i x i D = det, D y 1 x i x i 1 = det, D x i y i x i = det n n Dann ist die eindeutig bestimmte Lösung y 1 b = D 1 D, a = D D. x i y i. 59

7 . Hinreichende Bedingung: f a = x i, f b a = x i = f a b, f b = 1 = n. Damit erhalten wir die Hesse-Matrix und die dazugehörige Determinante: H f = n x i n x i n x i n, det H f = 4 falls nicht alle x i gleich sind. Dabei ist x = 1 n n x i x i = 4n x i x >, x i. Wie man leicht sieht ist die Determinante der Hesse-Matrix größer Null und damit liegt ein Extremum vor, wegen f aa > liegt ein Minimum vor. In vielen Fällen schreibt man die Parameter der Regressiongerade y = ax + b wie folgt a = x i xy i y, b = y ax, mit x = 1 x i x n x i, y = 1 n y i. Das liegt daran, dass die in der Darstellung von a auftretenden Größen statistische Größen sind, der Zähler ist die empirische Kovarianz und der Nenner ist die empirische Varianz. 6

8 3.1.1 Zusammenfassung R Extrema für Funktionen mit mehr als Veränderlichen Die Funktion f x = fx 1, x,..., x n sei zweimal stetig partiell differenzierbar. Notwendige Bedingung: grad f x = Dann ist x ein stationärer Punkt. Ein stationärer Punkt kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum oder ein Sattelpunkt sein. Die Bedingung grad f x = ergibt ein im Allg. nichtlineares Gleichungssystem, dessen Lösungen zu bestimmen sind. Hinreichende Bedingung: Gilt für die Hesse-Matrix H f an der Stelle x, dass die Matrix H f x positiv definit ist, dann ist x ein lokales Minimum, ist H f x negativ definit ist, dann ist x ein lokales Maximum, und ist H f x indefinit ist, dann ist x ein Sattelpunkt. Unter den gemachten Voraussetzungen ist die Hesse-Matrix reell und symmetrisch, deshalb gilt, Sind alle Eigenwerte von H f x größer als Null Sind alle Eigenwerte von H f x kleiner als Null Gibt es sowohl positive als auch negative Eigenwerte x ist ein lokales Minimum. x ist ein lokales Maximum. x ist ein Sattelpunkt. 61

9 R Extrema für Funktionen zweier Veränderlichen Die Funktion f x = fx, y sei zweimal stetig partiell differenzierbar. Notwendige Bedingung: fx x, y grad f x = f y x, y Dann ist x = x, y ein stationärer Punkt. = = Ein stationärer Punkt kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum oder ein Sattelpunkt sein. Die Bedingung grad f x = ist äquivalent zum im Allg. nichtlinearen Gleichungssystem f x x, y = f y x, y = dessen Lösungen x, y zu bestimmen sind. Hinreichende Bedingung: 1. Ist die Determinante der Hesse Matrix von det H f x = f xx x, y f yy x, y f xyx, y < kleiner als Null x ist ein Sattelpunkt.. Ist die Determinante der Hesse Matrix von det H f x = f xx x, y f yy x, y f xyx, y > größer als Null x ist eine Extremalstelle. Die Art der Extremalstelle ergibt sich dann wie folgt: Gilt f xx x, y > gilt f xx x, y < x, y ist eine lokale Minimalstelle, x, y ist eine lokale Maximalstelle. 3. Ist die Determinante der Hesse-Matrix gleich Null, so kann man keine Entscheidung treffen. 6