Binomiale Heaps Christian John / Tobias Berger Nr.1
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- Walther Amsel
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1 Christian John / Tobias Berger Nr.1
2 Gliederung: 1. Binomialer Baum 2. Binomialer Heap 3. Operationen auf Binomialen Heaps make-heap minimum(h) link(y,z) merge(h 1,h 2 ) Christian John / Tobias Berger Nr.2
3 1. Binomialer Baum = Basisstruktur für Definition: Für ein k>=0 definieren wir die Struktur des Binomialen Baumes: B 0 B k?1 ist ein Baum mit nur einem Knoten B k entsteht aus zwei Bäumen, indem man die Wurzel des einen Baumes zum Sohn des anderen macht Christian John / Tobias Berger Nr.3
4 B 0 B k B k B k? Christian John / Tobias Berger Nr.4
5 Verschmelzung Binomialer Bäume: Die Verschmelzung Binomialer Bäume erfolgt gleich der Addition von Binärzahlen, wobei die Anzahl der Knoten der Bäume in Binärzahlen dargestellt wird: + = B B B I0 + 0I0 = I Christian John / Tobias Berger Nr.5
6 Eigenschaften für Binomiale Bäume: B k B k besteht exakt aus 2 k Knoten hat die Höhe k es ergeben sich genau Knoten in der Tiefe i mit i=0,1,2,...,k die Wurzel besitzt Ausgangsgrad k und die Teilbäume von links B k?1? k? i nach rechts sind,...,?? B 0 Alle Knoten haben einen kleineren Grad als die Wurzel Christian John / Tobias Berger Nr.6
7 Beweise der Eigenschaften für Binomiale Bäume: B k besteht aus zwei Bäumen, also = 2 = 2 k da bei der Konstruktion von ein Baum Unterbaum der Wurzel des anderen B k?1 B k?1 gegenüber der von um genau 1 B k?1 B k Bk B k? 1 B k?1 wird, erhöht sich die Höhe von B k Christian John / Tobias Berger Nr.7
8 Beweise der Eigenschaften für Binomiale Bäume: Aufgrund der Konstruktion von ergibt sich die Anzahl der Knoten auf Höhe i als Summe der Anzahl der Knoten auf Höhe i in B k?1 B k plus Anzahl der Knoten auf Höhe i -1 in B k?1? k? 1?? i?? k? 1?? i? 1? Also:?? +?? =? k?? i? Christian John / Tobias Berger Nr.8
9 Beweise der Eigenschaften für Binomiale Bäume: die Konstruktion von Wurzel des rechten Teilbaumes verändert nur den Ausgangsgrad der. Dieser Grad war vor der Konstruktion k - 1 und ist nun k, da links ein Teilbaum hinzugekommen ist. Dieser Teilbaum ist anderen Unterbäume der Wurzel sind nach Voraussetzung B k? 2,..., B 0 B k B k?1 B k?1, und die Christian John / Tobias Berger Nr.9
10 Korollar: Der maximale Grad eines Knotens in einem Binomialen Baum, der n Knoten hat, ist ld n n = 2 k ld n = k ld n = log 2 n (Logarithmus zur Basis 2) Christian John / Tobias Berger Nr.10
11 2. Binomialer Heap = Eine Baumstruktur die sich aus Binomialen Bäumen zusammensetzt; jeder Knoten enthält einen Schlüssel Definition: Jeder dieser Bäume ist Heap-geordnet, das heißt, der Schlüssel eines Knotens ist kleiner/gleich der Schlüssel seiner Söhne. Es darf kein Baum mit gleichem Grad mehrfach vorhanden sein Christian John / Tobias Berger Nr.11
12 Zusammenhang zwischen Binomialem Heap und Binärzahlen: Ein Binomialer Heap, zusammengesetzt aus Binomialen Bäumen, lässt sich als Binärzahl verwalten! B 3 Ein Heap mit folgenden Bäumen,,,, lässt sich als 0 2 Binärzahl wie folgt schreiben: IIII Ein Baum mit vier Knoten kann als Binärzahl 0I00 dargestellt werden; wenn Bäume verschmelzen, gleicht dieses einer Addition von Binärzahlen. B B 1 B Christian John / Tobias Berger Nr.12
13 Ein Binomialer Heap mit n Knoten besteht aus höchstens?ld n?+1 Binomialen Bäumen: B B B 2 54 B 3 000I + 00I0 + 0I00 + I000 = IIII Christian John / Tobias Berger Nr.13
14 Repräsentation des Heap child 27 0 P key degree sibling Christian John / Tobias Berger Nr.14
15 3. Operationen auf 3.1 make-heap() Erzeugt einen leeren Heap. Ein leerer Heap wird einfach durch einen nil-zeiger repräsentiert Laufzeit:? (1) Christian John / Tobias Berger Nr.15
16 3.2 minimum(h) Liefert einen Zeiger auf den Knoten mit dem kleinsten Schlüssel im Heap h. Die Wurzeln der Binomialen Bäume werden also durchsucht. Laufzeit:? (ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.16
17 minimum(h) min-ptr := nil; x := head[h]; min := maxint; while x <> nil do if key[x] < min then min := key[x]; min-ptr := x; endif; x := sibling[x]; endwhile; return min-ptr; Christian John / Tobias Berger Nr.17
18 3.3 link(y,z) Diese Funktion linkt drei Zeiger von zwei Knoten um; der Knoten y wird Sohn von z: y bekommt den bisherigen Sohn von z als Bruder, bevor y selber der Sohn von z wird. Laufzeit:? (1) Christian John / Tobias Berger Nr.18
19 link(y,z) p[y] := z; sibling[y] := child[z]; child[z] := y; degree[z] := degree[z] + 1; Christian John / Tobias Berger Nr.19
20 3.4 merge(h 1,h 2 ) Merge durchläuft beide Teilmengen sequentiell und erzeugt die Gesamtfolge sequentiell. Die Gesamtfolge ist kein Binomialer Heap. Laufzeit:? (ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.20
21 merge(h 1, h 2 ) h-ptr := make-heap(); last-ptr := head[h]; x-ptr := head[h 1 ]; y-ptr := head[h 2 ]; while(x-ptr!= nil && y-ptr!= nil) if(degree[x-ptr]<=degree[y-ptr]) sibling[last-ptr] := x-ptr; x-ptr := sibling[x-ptr]; else sibling[last-ptr] := y-ptr; y-ptr := sibling[y-ptr]; last-ptr := sibling[y-ptr]; Christian John / Tobias Berger Nr.21
22 merge(h 1, h 2 ) 2.Teil while(x-ptr!= nil) sibling[last-ptr] := x-ptr; x-ptr := sibling[x-ptr]; while(y-ptr!= nil) sibling[last-ptr] := y-ptr; y-ptr := sibling[y-ptr]; Christian John / Tobias Berger Nr.22
23 Beispiel der union-funktion: Heap[5]: Heap[7]: Christian John / Tobias Berger Nr.23
24 1. Inhalt 1. Operationen Wiederholungen 1.1 Binomialer Heap 1.2 minimum(h) 1.3 Datenstruktur eines Heapelements 1.3 link (y,z) 1.4 merge(h 1,h 2 ) 2. weitere Operationen 2.1 union(h 1,h 2 ) 2.2 insert (h,x) 2.3 extract_min(h) 2.4 decrease key(h,x,k) 2.5 delete key(h,x) 3. Anwendungsbeispiel Christian John / Tobias Berger Nr.24
25 Operationen Wiederholungen Christian John / Tobias Berger Nr.25
26 1. Operationen Wiederholungen 1.1 Binomialer Heap B 0 B 1 B 2 B = Christian John / Tobias Berger Nr.26
27 1. Operationen Wiederholungen 1.2 Datenstruktur eines Heapelements parent key degree child sibling Christian John / Tobias Berger Nr.27
28 1. Operationen Wiederholungen 1.2 Datenstruktur eines Heapelements Christian John / Tobias Berger Nr.28
29 1. Operationen Wiederholungen 1.2 minimum(h) Liefert einen Zeiger auf den Knoten mit dem kleinsten Schlüssel im Heap h. Die Wurzeln der Binomialen Bäume werden also durchsucht. Laufzeit: O (ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.29
30 1. Operationen Wiederholungen 1.3 link (y,z) Diese Funktion linkt drei Zeiger von zwei Knoten um; der Knoten y wird Sohn von z; y bekommt den bisherigen Sohn von z als Bruder, bevor y selber der Sohn von z wird. Laufzeit: O (1) link(y,z) p[y] := z; sibling[y] := child[z]; child[z] := y; degree[z] := degree[z] + 1; Christian John / Tobias Berger Nr.30
31 1. Operationen Wiederholungen 1.4 merge(h 1,h 2 ) merge(h 1,h 2 ) durchläuft beide Teilmengen sequentiell und erzeugt die Gesamtfolge sequentiell. Die Gesamtfolge ist kein Binomialer Heap. Laufzeit: O (ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.31
32 weitere Operationen Christian John / Tobias Berger Nr.32
33 2. weitere Operationen 2.1 union(h 1,h 2 ) verbindet die die zwei Heaps h1 und h2 und gibt den neuen Head h zurück benutzt die bekannten Funktionen: - make() - link() - merge() Laufzeit: O (ld n) (siehe später) Beispiel: Christian John / Tobias Berger Nr.33
34 2. weitere Operationen 2.1 union(h 1,h 2 ) - BEISPIEL Heap[5]: Heap[7]: Heap[13]: merge() step1 step2 step3 Heap[13]: Heap[13]: Heap[13]: Beispiel einer union-funktion Christian John / Tobias Berger Nr.34
35 2. weitere Operationen 2.1 union(h 1,h 2 ) - PSEUDO CODE h := make-heap() head[h] := merge(h 1,h 2 ) if head[h] = nil then return h prev-x := nil x := head[h] next-x := sibling[x] while next-x <> nil do if (degree[x] <> degree[next-x]) or (sibling[next-x] <> nil and degree[sibling[next-x]] = degree[x]) then prev-x := x x := next-x else if key[x] <= key[next-x] then sibling[x] := sibling[next-x] link(next-x,x) else if prev-x = NIL then head[h] := next-x else sibling[prev-x] := next-x link(x,next-x) x := next-x next-x := sibling[x] return h Christian John / Tobias Berger Nr.35
36 2. weitere Operationen 2.1 union(h 1,h 2 ) - AUFWAND Aufwand : make_heap() heap_merge() while() O(1) O(ld n) O(1) * (?ldn 1?+?ldn 2?+ 2 ) union(h 1,h 2 ) O(ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.36
37 2. weitere Operationen 2.2 insert(h,x) Stützt sich auf union ab. Es wird ein Heap h mit x als einzigem Knoten erzeugt und mit h vereinigt. Laufzeit: O (ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.37
38 2. weitere Operationen 2.2 insert(h,x) - PSEUDO CODE insert(h,x) h := make-heap(); p[x] := nil; child[x] := nil; sibling := nil; degree[x] := 0; head[h ] := x; h := union(h, h ); return h; Christian John / Tobias Berger Nr.38
39 2. weitere Operationen 2.3 extract_min(h) Liefert einen Verweis auf den Knoten mit dem kleinsten Schlüssel und entfernt diesen aus dem Heap. Laufzeit: O (ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.39
40 2. weitere Operationen 2.3 extract_min(h) - PSEUDO CODE extract_min(h) 1 finde die Wurzel x mit minimalem Schlüssel in der Wurzelliste von h und entferne x aus der Wurzelliste; 2 h := make-heap(); 3 kehre die Reihenfolge der verketteten Söhne von x um und setzte head[h ] auf den Kopf der umgedrehten Liste; 4 h := union(h, h ); 5 return h Laufzeit: O(ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.40
41 2. weitere Operationen 2.3 extract_min(h) - BEISPIEL Heap[7]: Heap[3]: Heap[3]: x x.child Heap[3]: union() Christian John / Tobias Berger Nr.41
42 2. weitere Operationen 2.3 extract_min(h) - BEISPIEL x0 1 3 x.child Christian John / Tobias Berger Nr.42
43 2. weitere Operationen 2.3 extract_min(h) - BEISPIEL x.child Heap[] nil temp Heap[] Heap[] x.child x.child Heap[] x.child Heap[].sibling x.child.sibling temp x.child Heap[] x.child nil Heap[] Christian John / Tobias Berger Nr.43
44 2. weitere Operationen 2.3 extract_min(h) - BEISPIEL x.child Heap[] temp x.child Heap[] nil temp temp Heap[] nil Heap[] x.child x.child Heap[] temp x.child x.child.sibling Heap[].sibling temp x.child Heap[] nil temp nil Christian John / Tobias Berger Nr.44
45 2. weitere Operationen 2.4 decrease_key(h,x,k) Gegeben: Element z, dessen Schlüssel man verkleinern will Wenn der neue Wert k kleiner ist als der bisherige x, wird z so oft mit seinem Vater getauscht, bis der Wert des Vater kleiner ist als k oder z die Wurzel ist. Dieses wird gemacht um die Heapstruktur wieder herzustellen. Laufzeit: O(ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.45
46 2. weitere Operationen 2.4 decrease_key(h,x,k) if k > key[x] then error new key is greater than current key key[x] k y x z p[y] = while z nil and key[y] < key[z] do exchange key[y] key[z] //if y and z have satellite fields,exchange them,too y z z p[y] Christian John / Tobias Berger Nr.46
47 2. weitere Operationen 2.4 decrease_key(h,x,k) - BEISPIEL Christian John / Tobias Berger Nr.47
48 2. weitere Operationen 2.5 delete_key(h,x) Gegeben: Element x, welches wir löschen wollen Setze Wert von z auf - decrease_key() delete_minimum Laufzeit: O(ld n) Christian John / Tobias Berger Nr.48
49 Anwendungsbeispiel Christian John / Tobias Berger Nr.49
50 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume D 2 3 Gesucht: minimal spannender Baum möglich mit binomialen Heaps? E 4 C A 6 B Christian John / Tobias Berger Nr.50
51 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume 2 D 3 E 4 C A 6 B A 6 1 B 8 5 C 3 D 2 E 1 A - B A - E B - C B - E C - D D - E E - A A - C B - A C - A C - E D - C E - D E - B 8 4 C - B E - C Christian John / Tobias Berger Nr.51
52 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume - PSEUDOCODE mst() T <- nil Aufwand O( E * ld( E ) ) foreach Knoten v i? V E i <- make_heap() union(e i,{(v i,v):v? E} anz = V while anz > 1 e = extract_min(e 1 ) if(e.anf, e.end liegen in versch Zuskomp) anz = anz-1 T <- T+{e} union (E 1, E i ) return T Christian John / Tobias Berger Nr.52
53 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume 2 D 3 E 4 C A 6 B A 6 1 B 8 5 C 3 D 2 E 1 A - B A - E B - C B - E C - D D - E E - A A - C B - A C - A C - E D - C E - D E - B 8 4 anz = 5 C - B E - C Christian John / Tobias Berger Nr.53
54 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume A 6 A - B 1 E - A B 8 B - C 5 B - E C 3 C - D D 2 D - E E nil A - C E - D E - B nicht in B - A C - A C - E D - C 4 die Liste 8 anz = 4 E - C C - B A 5 E - B 2 E - D B 8 B - C 5 B - E C 3 C - D D 2 D - E E nil A - B E - C B - A C - A C - E D - C anz = 4 7 A - C 8 C - B Christian John / Tobias Berger Nr.54
55 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume A 2 D - E 4 E - C B 8 B - C 5 B - E C 3 C - D D nil E nil D - C A - B E - B nicht in B - A C - A C - E 7 die Liste 8 anz = 3 A - C C - B A 3 D - C 4 E - C B 8 B - C 5 B - E C 3 C - D D nil E nil A - B E - B B - A C - A C - E anz = 3 7 A - C 8 C - B Christian John / Tobias Berger Nr.55
56 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume A anz = 2 3 C - D B 8 B - C 5 B - E C nil D nil E nil E - C C - A C - E nicht in B - A die Liste A - B 7 A - C E - B C - B A 4 C - E 7 C - A E - C 5 B 8 B - C 5 B - E 6 C D nil nil anz = 2 C - B A - B 7 A - C E - B nicht in die Liste B - A E nil Christian John / Tobias Berger Nr.56
57 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume A 4 C - E 6 A - B B 8 B - C 5 B - E C nil D nil E nil E - B C - A A - C nicht in B - A anz = 2 8 C - B die Liste A 5 E - B 6 A - B B 8 B - C 5 B - E C nil D nil E nil 7 C - A 7 A - C 6 B - A anz =2 8 C - B Christian John / Tobias Berger Nr.57
58 3. Anwendungsbeispiel 3.1 minimal spannende Bäume A 8 B - C 5 B - E 6 A - B B nil C nil D nil E nil 6 B - A 7 C - A 7 A - C anz =1 8 C - B 2 D 3 E C 1 5 minimal spannender Baum A B Christian John / Tobias Berger Nr.58
59 Quellen: s.pdf ausarbeitungen/marquardt.ps.gz Misc/merzenich98.ps Christian John / Tobias Berger Nr.59
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