Krümmung in der Mathematik und Physik

Transkript

1 de.wikipedia.org/wiki/nichteuklidische_geometrie Krümmung in der Mathematik und Physik Relativitätstheorie im Alltag Wolfram Mathworld Technische Universität Dresden Dr. rer. nat. Frank Morherr

2 Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius, kleine Krümmung: - kleiner Radius, große Krümmung: Daher liegt nahe zu definieren: Krümmung k = 1/R Quelle:

3 Wie passt die Gerade hier rein? Erdoberfläche ist gekrümmt, trotzdem hielt sich hartnäckig bis ins 15.Jh. die Ansicht einer Scheibe. Grund: Erdradius so groß, dass man Krümmung auf 1. Blick nicht sieht. Gerade ist Kreis mit großem Radius. Quelle: Quelle: Mein erstes Buch von Himmel und Erde

4 Krümmung anderer Kurven der Gestalt Differentialrechnung: y 3.75 Steigung Kurve = Steigung Tangente = Krümmung Kurve = Krümmung des Krümmungskreises x Maß hierfür: Was ist der Krümmungskreis? ghghg Annäherung von P und P auf P ergibt Krümmungskreis mit Radius

5 Krümmung mit Vorzeichen Mathematisch positive Richtung ist entgegen dem Urzeigersinn, daher Positiv = Linkskrümmung Steigung der Ableitung wächst Negativ = Rechtskrümmung Steigung der Ableitung fällt

6 Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen Für Kurven der Gestalt Beispiel Ellipse mit Parameter t gilt für die Krümmung

7 Schnittkrümmung von Flächen Schnitt von Flächen mit Ebenen ergibt Schnittkurven mit Krümmung Hauptkrümmungen = minimale und maximale Krümmung Satz von Meusnier: Abhängigkeit Krümmung von Winkel der Schnittebene: Krümmungskreise aller ebenen Schnitte durch dasselbe Linienelement, d.h. Punkt mit zugehöriger Tangentenrichtung der Fläche liegen auf einer Kugel Hauptkrümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander. Quelle: hades Quelle: hades

8 Gaußsche Krümmung K Theorema Egregium: Gaußkrümmung K hängt nur von der Inneren Geometrie der Fläche ab, nicht von dem umgebenden Raum Quelle:

9 Theorema Egregium von Gauß

10 Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt? Gauss, 1818: Messung der Winkelsumme im Dreieck Brocken-Inselsberg-Göttingen Erdkrümmung <1 Winkelsumme: Winkelsumme: Winkelsumme: Messung durch Interferometer, z.b. Lisa (ursprünglich zum Nachweis von Gravitationswellen)

11 Gravitationswellen Gravitationswellen gehören zu den wenigen von der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Phänomenen, die bislang nicht direkt nachgewiesen werden konnten entdecken amerikanischen Radioastronomen Russell Hulse und Joseph Taylor zwei sich eng umkreisende Pulsare (1913/16) von denen Sie Radiopulse mit äußerst genauer Periode empfingen. Dadurch eigneten sich die beiden Körper als sehr genau gehende kosmische Uhren. Für ein solches System sagt Allgemeine Relativitätstheorie merklichen Energieverlust durch die Abstrahlung von Gravitationswellen voraus. Als Folge davon müssten sich die beiden Sterne einander annähern und immer schneller einander umkreisen. Abnahme der Umkreisungsdauer konnten Hulse und Taylor aus der jahrzehntelangen Beobachtung der Radiopulse nachweisen.wert stimmt exakt mit der relativistischen Vorhersage überein.

12 Gravitationswellen sich umkreisender Pulsare 1974: Hulse/ Taylor, Pulsare (PSR 1913/16) Nobelpreis 1993 Quelle: de.wikipedia.org/wiki/neutronenstern /pulsare-als-detektoren-fuer-gravitationswellen

13 Mittlere Krümmung H Bei Minimalflächen = Flächen minimaler Oberfläche bei vorgegebenem Rand Beispiel: H = 0 Seifenhautgebilde Oberflächenenergie ist minimal

14 Bilder verschiedener Minimalflächen Enneperfläche Scherksche Fläche Katenoid Hennebergfläche Quelle: de.wikipedia.org/wiki/minimalflaeche

15 Geodäten Geodäte ist lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche Teile von Geraden auf Ebenen Teile von Großkreisen auf Kugeln - Fluglinien Allgemein: Lösungen der Geodätengleichung Quelle: topologie-von-flachen-lxxx

16 Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik Gegeben Polyeder (Vielflach) e : Anzahl der Ecken k : Anzahl der Kanten f : Anzahl der Flächen Dann gilt Platonsche Körper Eulercharakteristik: platonische-koerper/index.html mysterium-cosmographicum

17 Historisch: Versuch der Gleichsetzung der Platonischen Körpern mit den 4 bzw. 5 (Quintessenz!) Elementen der griechischen Antike

18 Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik Kugel Torus Brezelfläche Heiko Burkhardt Lilano.com GriffithsHarrisAlgebraicGeometry

19 Mathematik im Fernsehen: Simpsons Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)

20 Satz von Gauß-Bonnet K : Gaußkrümmung M : Fläche : stückweiser glatter Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M : Außenschnittwinkel an Ecken des Randes Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der differential-geometrischen Größe Krümmung Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:

21 Beispiel 1 zur Gauß-Bonnet-Formel

22 Beispiel 2 zur Gauß-Bonnet-Formel

23 Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand K : Gaußkrümmung M : Fläche : glatter Rand der Fläche : geodätische Krümmung der Randkurve von M : Eulercharakteristik von M Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik mit der differential-geometrischen Größe Krümmung

24 Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt: Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen Randkurven aus Geodäten bestehen, ist

25 Die hyperbolische Kreisscheibe Modell einer Geometrie mit unendlich vielen Parallelen durch einen Punkt zu einer vorgegebenen Geraden. Konstruktion Geodäten Gläser: Mathematischer :Werkzeugkasten

26 Kunst von M. C. Escher

27 Der Riemannsche Krümmungstensor Auf gekrümmten Flächen ändern Vektoren nach Paralleltransport ihre Richtung. Einführung des Symbols als Ableitung des Vektorfeldes Y in Richtung des Vektorfeldes X Riemannscher Krümmungstensor:

28 Einsteinsche Feldgleichung Ric : Riccitensor R : Skalarkrümmung, Spur von Ric, R = 2K, K G.-Krümmung T : Energie-Impuls-Tensor g : Metrik (Abstandsfunktion) Λ : Kosmologische Konstante Spezielle Lösung: Schwarzschildmetrik eines schwarzen Loches: Bublath,: Das neue Bild der Welt

29 Albert Einstein und das Universum Kurzbiographie: 1879 geboren 14. März in Ulm 1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich 1902 Patentamt in Bern 1905 spezielle Relativitätstheorie 1908 Habilitation 1915 Allgemeine Relativitätstheorie 1921 Nobelpreis 1933 Umzug nach Princeton 1955 Stirbt am 18. April albert_einstein/img/tempx_einstein_pult_g.jpg

30 Spezielle Relativitätstheorie Raum + Zeit = Raumzeit Zeitdehnung Längenkontraktion Massenzuwachs Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag

31 Galilei-Transformation und Lorentz-Transformation Galilei-Transformation: Wir betrachten zwei Beobachter deren Koordinatensystem Σ und Σ' zur Zeit 0 denselben Ursprung hat, die sich aber mit der Geschw. v in x-richtung bewegt. Ihre Koordinaten sind dann folgendermaßen verknüpft: Die Galilei-Transformation lässt die euklidische Metrik Lorentz-Transformation (für Bewegung in x-richtung): invariant. Für v<<c geht diese Transformation in die Galilei-Transformation über. Sie lässt die Minkowski-Metrik invariant.

32 Formeln der speziellen Relativitätstheorie Zeitdilitation: Addition von Geschwindigkeiten: Bewegte Uhren gehen langsamer. Längenkontraktion: Bewegte Maßstäbe erscheinen verkürzt. Massenzuwachs: Impuls: Geht für klassische über in das

33 Visualisierte Lorentz-Kontraktion

34 Visualisierte Lorentz-Kontraktion

35 Nachweise der speziellen Relativitätstheorie Einsteingalerie.de Was ist Was: moderne Physik, Tessloff-Verlag

36 Allgemeine Relativitätstheorie Massen krümmen die Raumzeit, wodurch umlaufende Körper wie auf einer schiefen Ebene eine Kraft nach innen erfahren. Albert Einstein ( ) PM Magazin Beschrieb Verhalten von Körpern unter Schwerkraft, doch Grund für deren Existenz fand er nicht. Isaac Newton ( ) PM Magazin PM Magazin

37 Allgemeine Relativitätstheorie Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag In großen Schwerefeldern vergeht die Zeit langsamer. Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag Auf Neutronensternen könnte man seinen Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern herumläuft.

38 Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie Periheldrehung des Merkur Schwarze Löcher als Gravitationslinse Scheinbare Positionsänderung von Sternen bei totaler Sonnenfinsternis Bublath,: Das neue Bild der Welt

39 Periheldrehung des Merkur Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen, so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit verschieben kann Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro Jahrhundert. Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt erklärt werden. Einsichtig wird dies so: Schneidet man die sich im Zentralkraftfeld ergebende Ellipse ein und drückt sie zusammen, so schließt sie sich nicht mehr sondern wird rosettenförmig und der Raum wird ein Kegel

40 Geometrie der allgemeinen Relativitätstheorie Darstellung der zur Schwarzschild-Metrik geodätisch äquivalenten Metrik mittels einer Rotationsfläche. Die Zeitkoordinate t läuft in azimutaler Richtung um die Rotationsfläche, die Radiuskoordinate r läuft in Richtung der Symmetrieachse Freier Fall eines Körpers in der Darstellung mit der zur Schwarzschildmetrik geodätisch äquivalenten Metrik. Die Fallkurve ist in dieser Darstellung eine geodätische Linie, also eine Linie kürzesten Abstandes auf der Rotationsfläche Darstellung eines Körpers, der mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten vom Erdboden (h=0) aus hochgeworfen wird. Mit niedriger Anfangsgeschwindigkeit (links) erreicht der Körper nur eine geringe Höhe, mit größerer Geschwindigkeit (rechts) steigt der Körper höher und bleibt länger in der Luft, bevor er zurück auf den Boden fällt.

41 Einsteinlinsen, Einsteinkreuze und Anwendung

42 Dunkle Materie Dunkle Materie, die nicht direkt sichtbar, aber mit Gravitations-Wechselwirkung behaftet ist, wird in der Kosmologie postuliert, weil im Standardmodell der Kosmologie nur so die Bewegung der sichtbaren Materie erklärt werden kann, insbesondere die Geschwindigkeit, mit der sichtbare Sterne das Zentrum ihrer Galaxie umkreisen. In den Außenbereichen ist diese Geschwindigkeit deutlich höher, als man es allein auf Grund der Gravitation der Sterne, Gas- und Staubwolken erwarten würde. Indirekt ist die Dunkle Materie durch ihre Gravitationswechselwirkung dennoch beobachtbar, z. B. durch Gravitationslinsen in der Astronomie

43 Zukunft des Universums

44 Robertson-Walker-Metrik Weltmodelle Daraus resultierender Energie- Impuls-Tensor liefert Friedmannmodell mit und effektivem Potential Es gilt mit Heutiger Kosmos Einstein-de-Sitter Kosmos

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46 Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50

47 Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben Global Position System (GPS) PM Magazin