Vorlesung 2: Erwartungsnutzen

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1 Vorlesung 2: Erwartungsnutzen Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 1 / 28

2 1. Modellrahmen 1.1 Die Alternativen Wir betrachten im folgenden eine endliche Menge von Ergebnissen X = {x 1,x 2,,x n } mit n 2 als gegeben. Lotterien, deren Ergebnisse in X liegen, bezeichnen wir vereinfachend mit L = (p 1,, p n ) und sprechen von einer Lotterie über X. Die Menge aller Lotterien über X ist = {L = (p 1,, p n ) R n + n p i = 1}. i=1 wird für den Rest dieses Abschnittes unser Gegenstück zu dem Güterraum in der Konsumententheorie sein: Es beschreibt die Menge der denkbaren Alternativen. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 2 / 28

3 1. Modellrahmen 1.3 Notationskonventionen Auch der Fall, in dem man eines der Ergebnisse mit Sicherheit erhält, ist eine Lotterie. Die Lotterie, in der man Ergebnis x i mit Wahrscheinlichkeit 1 erhält bezeichnen wir mit e i und sprechen von einer degenerierten Lotterie. Andere Lotterien heissen echte Lotterien. Betrachten wir monetäre Lotterien, so gehen wir durchweg davon aus, dass x 1 < x 2 < < x n gilt, d.h. Ergebnisse mit niedrigerem Index korrespondieren zu niedrigeren Geldbeträgen, die man erhält. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 3 / 28

4 1. Modellrahmen 1.3 Grafische Darstellung von Lotterien Eine Lotterie L in ist durch die Angabe von (n 1) der n Wahrscheinlichkeiten eindeutig beschrieben die fehlende Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Gleichung n i=1 p i = 1. Im Fall n = 2 bedeutet dies, dass die Menge der Lotterien grafisch durch das Intervall [0,1] dargestellt werden kann, wobei p 2 [0,1] die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses x 2 beschreibt. Im Fall n = 3 bedeutet dies, dass die Menge der Lotterien durch das sogenannte Machina-Dreieck dargestellt werden kann, welches durch {(p 1, p 3 ) R 2 p 1 0, p 3 0, p 1 + p 3 1} gegeben ist. Die fehlende Wahrscheinlichkeit p 2 ist durch 1 p 1 p 3 gegeben. Zur Illustration werden wir regelmässig den Fall n = 3, also das Machina-Dreieck betrachten. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 4 / 28

5 1. Modellrahmen 1.3 Grafische Darstellung von Lotterien Abbildung: Das Machina-Dreieck. Jeder Punkt in dem Dreieck stellt eine Lotterie dar. Die Punkte e i bezeichnen die Lotterien, in denen das Ergebnis x i mit Wahrscheinlichkeit 1, also mit Sicherheit, eintritt. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 5 / 28

6 1. Modellrahmen 1.4 Mischungen von Lotterien Für beliebige Lotterien p und q und α [0,1] bezeichnet α p + (1 α)q die Lotterie, bei der man das Ergebnis x i mit Wahrscheinlichkeit α p i + (1 α)q i erhält: α p + (1 α)q = (α p 1 + (1 α)q 1,α p 2 + (1 α)q 2,,α p n + (1 α)q n ) Eine solche Mischung von zwei Lotterie wird oftmals als zusammengesetzte Lotterie interpretiert, in der man die Lotterien p und q als Ergebnisse auffasst und sich nun eine Lotterie über diese Ergebnisse vorstellt, in der man mit Wahrscheinlichkeit α das Ergebnis p und mit Wahrscheinlichkeit 1 α das Ergebnis q erhält. Diese Interpretation lässt sich auch formalisieren. Wir verzichten hier darauf, da es für die folgende Darstellung nicht zwingend erforderlich ist. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 6 / 28

7 1. Modellrahmen 1.4 Mischungen von Lotterien Beispiel zur Mischung von Lotterien: Abbildung: Die Mischung der zwei Lotterien p = (0.6, 0, 0.4) und q = (0.7, 0.3, 0) über X = {0,20,60} mit α = 0.3 als zusammengesetzte Lotterie dargestellt. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 7 / 28

8 1. Modellrahmen 1.4 Mischungen von Lotterien Beispiel zur Mischung von Lotterien: Abbildung: Die Mischung r der zwei Lotterien p = (0.6,0,0.4) und q = (0.7,0.3,0) über X = {0,20,60} mit α = 0.3 als Lotterie über X. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 8 / 28

9 1. Modellrahmen 1.4 Mischungen von Lotterien Beispiel zur Mischung von Lotterien: Abbildung: In dem Machina-Dreieck liegen Mischungen auf der Verbindungslinie zwischen den beiden Lotterien, die gemischt werden: Die Mischung r von p = (0.6,0,0.4) und q = (0.7,0.3,0) mit α = 0.3. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 9 / 28

10 2. Präferenzen über Lotterien 2.1 Rationalität Wir modellieren (an dieser Stelle) nicht explizit, wie die gewählte Aktion eines Entscheidungsträgers zu einer bestimmten Lotterie über X führt. Stattdessen stellen wir uns vor, dass direkt Lotterien aus gewählt werden und unterstellen wie im Fall der Sicherheit, dass diese Auswahlentscheidungen durch eine rationale Präferenzrelation auf der Menge der Alternativen, hier, dargestellt werden kann. Annahme (Rationalität) Die Präferenzrelation auf ist rational, d.h. vollständig und transitiv. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 10 / 28

11 2. Präferenzen über Lotterien 2.1 Rationalität Fraglich ist, welche weitere Annahmen an die Präferenzrelation in diesem Kontext sinnvoll erscheinen, wie solche Annahmen allenfalls zu interpretieren sind und welche Implikationen sie für eine Nutzendarstellung haben. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 11 / 28

12 2. Präferenzen über Lotterien 2.2 Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Die Präferenzrelation auf heisst stetig, wenn für alle p,q,r die Mengen {α [0,1] α p + (1 α)r q} und {α [0,1] q α p + (1 α)r} abgeschlossen sind. Diese Definition entspricht (weitgehend) der Stetigkeitsdefinition für den Fall der Entscheidung unter Sicherheit. Eine alternative Formulierung der Stetigkeit für den Fall der Lotteriewahl verlangt, dass für alle p q r reele Zahlen α (0,1) und β (0,1) existieren, so dass α p + (1 α)r q β p + (1 β)r gilt. Was bedeutet dies inhaltlich? Erscheint es plausibel? Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 12 / 28

13 Satz (Existenz einer Nutzendarstellung) Ist eine rationale Präferenzrelation auf stetig, dann existiert eine stetige Nutzenfunktion U : R, welche die Präferenzrelation darstellt, d.h. p q U(p) U(q). Satz (Ordinalität der Nutzendarstellung) Stellt U : R eine gegebene Präferenzrelation dar, dann gilt dieses auch für jede streng steigende Transformation von U. Diese Ergebnisse dienen der Klarstellung: Bis an diesen Punkt ist alles analog zum Fall der Entscheidung unter Sicherheit: Wir haben lediglich X als die Menge der Alternativen durch ersetzt. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 13 / 28

14 2. Präferenzen über Lotterien 2.4 Monotonie Monotonieannahmen an Präferenzrelationen erfassen den Gedanken mehr ist besser. In dem hier betrachteten Kontext wird dieses so formalisiert, dass eine Verschiebung von Wahrscheinlichkeit von einem schlechten zu einem guten Ergebnis zu einer vorgezogenen Lotterie führt. Dieses ist am einfachsten für den Fall monetärer Lotterien zu verstehen, den wir daher hier betrachten wollen. Beispiel: Im Fall n = 2 bedeutet ein Anstieg der Wahrscheinlichkeit p 2, dass Wahrscheinlichkeit von dem Ergebnis x 1 auf das Ergebnis x 2 verschoben wird. Da x 2 > x 1 angenommen wurde, sollte dieses zu einer besseren Lotterie führen. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 14 / 28

15 2. Präferenzen über Lotterien 2.4 Monotonie Definition (Stochastische Dominanz erster Ordnung) Seien p und q zwei monetäre Lotterien über X = {x 1,,x n }. Dann heisst p grösser als q im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung, wenn n i=k p i n q i i=k für k = 2,,n gilt. Man schreibt in diesem Falle p 1 q. Gilt mindestens eine der obigen Ungleichungen als strenge Ungleichung, so heisst p streng grösser als q im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung und man schreibt p > 1 q. Was soll das bedeuten? Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 15 / 28

16 2. Präferenzen über Lotterien 2.4 Monotonie n i=k p i ist die Wahrscheinlichkeit, dass man in der Lotterie p ein Ergebnis erhält, welches grösser als (oder gleich) x k ist. Gilt n i=k p i n i=k q i, so bedeutet dieses also, dass man in der Lotterie p mit höherer Wahrscheinlichkeit als in der Lotterie q Ergebnisse erhält, die grösser als x k sind. Gilt dieses für alle x k, so kann man p aus q erzeugen, indem man Wahrscheinlichkeit von niedrigen Ergebnissen zu hohen Ergebnissen verschiebt. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 16 / 28

17 2. Präferenzen über Lotterien 2.4 Monotonie Stochastische Dominanz erster Ordnung im Fall n = 3: Nach Definition gilt p 1 q genau dann, wenn gilt. p 3 q 3 p 2 + p 3 q 2 + q 3 Da sich die Wahrscheinlichkeiten jeweils auf 1 summieren, kann die zweite dieser Bedingungen zu p 1 q 1 umgeschrieben werden. Stochastische Dominanz erster Ordnung bedeutet hier also, dass mehr Wahrscheinlichkeit auf das grösste Ergebnis und weniger Wahrscheinlichkeit auf das kleinste Ergebnis gelegt wird. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 17 / 28

18 2. Präferenzen über Lotterien 2.4 Monotonie Abbildung: Stochastische Dominanz erster Ordnung im Fall n = 3: In dem Machina-Dreieck liegen die Lotterien, die grösser als eine gegebene Lotterie q (im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung) sind, links oberhalb von q. Der entsprechende Bereich ist hier gelb gefärbt. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 18 / 28

19 2. Präferenzen über Lotterien 2.4 Monotonie Definition (Monotonie) Eine Präferenzrelation auf einer Menge von monetären Lotterien heisst monoton, wenn für beliebige p und q in gilt: p > 1 q p q. Beachte, dass Monotonie der Präferenzrelation insbesondere impliziert, dass ein sicherer Geldbetrag x k einem anderen sicheren Geldbetrag x l streng vorgezogen wird, wenn x k > x l gilt. Da die sicheren Geldbeträge x k und x l durch die Lotterien e k und e l dargestellt werden und e k > 1 e l gilt. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 19 / 28

20 2. Präferenzen über Lotterien 2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen Zwei Beispiele für Nutzenfunktionen, die auf einer Menge von monetären Lotterien definiert sind, haben wir bereits gesehen: 1 Die Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p ix i stellt das Erwartungswertkriterium dar: p q n p i x i i=1 n q i x i. i=1 2 Die Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p i ln(x i ) stellt Bernoullis Vorschlag zur Bewertung von Lotterien dar: p q n p i ln(x i ) i=1 n q i ln(x i ). i=1 Beide diese Beispiele stellen monotone Präferenzrelationen dar. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 20 / 28

21 2. Präferenzen über Lotterien 2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p ix i im Machina-Dreieck für (x 1,x 2,x 3 ) = (2,6,8). Die Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung 2p 1 + 8p 3 + 6(1 p 1 p 3 ) = k für unterschiedliche Werte von k dar. Bessere Lotterien liegen links oben. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 21 / 28

22 2. Präferenzen über Lotterien 2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p iln(x i ) im Machina-Dreieck für (x 1,x 2,x 3 ) = (2,6,8). Die Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung ln(2)p 1 + ln(8)p 3 + ln(6)(1 p 1 p 3 ) = k für unterschiedliche Werte von k dar. Bessere Lotterien liegen links oben. Die Indifferenzkurven verlaufen steiler als im vorhergehenden Bild. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 22 / 28

23 2. Präferenzen über Lotterien 2.5 Beispiele für Nutzenfunktionen Ein weiteres Beispiel: U(p) = n i=1 p2 i x i stellt eine Präferenzrelation dar, die nicht monoton ist obgleich die Nutzenfunktion steigend in p ist! Abbildung: Einige Indifferenzkurven zu der Nutzenfunktion U(p) = n i=1 p2 i x i im Machina-Dreieck für (x 1,x 2,x 3 ) = (2,6,8). Die Indifferenzkurven stellen die Lösung der Gleichung 2p p (1 p 1 p 3 ) 2 = k für unterschiedliche Werte von k dar. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 23 / 28

24 3. Erwartungsnutzendarstellung 3.1 Definition Definition (Erwartungsnutzendarstellung) Eine Präferenzrelation auf besitzt eine Erwartungsnutzendarstellung, wenn es eine Funktion u : X R gibt, so dass n U(p) = p i u(x i ) i=1 die Präferenzrelation darstellt. Die Funktion u in der Erwartungsnutzendarstellung bezeichnet man als Bernoulli-Nutzenfunktion. Man sagt man zur Vereinfachung auch, dass die Bernoulli-Nutzenfunktion u die Präferenzrelation darstellt. Als Erwartungsnutzenhypothese bezeichnet man die Unterstellung, dass Präferenzen eine Erwartungsnutzendarstellung besitzen. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 24 / 28

25 3. Erwartungsnutzendarstellung 3.2 Anmerkungen In ökonomischen Modellen wird fast durchweg angenommen, dass Präferenzrelationen über Lotterien eine Erwartungsnutzendarstellung besitzen. Spieltheorie, Finanzmarkttheorie, Versicherungsökonomie... Die wesentliche Eigenschaft einer Erwartungsnutzendarstellung ist, dass die Nutzenfunktion U(p) linear in den Wahrscheinlichkeiten ist. In Machina-Dreieck bedeutet dies, dass die Indifferenzkurven parallele Geraden sind. In den ersten beiden Beispiele des vorhergehenden Abschnittes handelte es sich um Erwartungsnutzendarstellungen. Mit Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = x, bzw. u(x) = ln(x). Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 25 / 28

26 3. Erwartungsnutzendarstellung 3.3 Fragen Welche Eigenschaften von sichern, dass es eine Erwartungsnutzendarstellung gibt? Rest dieser Vorlesung. Wie lassen sich die Eigenschaften der Bernoulli-Nutzenfunktion in einer solchen Erwartungsnutzendarstellung interpretieren? Vorlesung 3. Wie sieht es mit der empirischen Evidenz aus? Vorlesung 5. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 26 / 28

27 3. Erwartungsnutzendarstellung 3.4. Das Unabhängigkeitsaxiom Definition (Unabhängigkeitsaxiom) Die Präferenzrelation auf erfüllt das Unabhängigkeitsaxiom, wenn für alle p,q,r und α (0,1) gilt: p q α p + (1 α)r αq + (1 α)r Was soll das bedeuten? Zieht man eine Lotterie p einer Lotterie q vor, so sollte diese Präferenz erhalten bleiben, wenn man beide dieser Lotterien mit der gleichen Wahrscheinlichkeit α mit der gleichen anderen Lotterie r mischt. Ist es plausibel? Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 27 / 28

28 3. Erwartungsnutzendarstellung 3.5 Das Erwartungsnutzentheorem Theorem (Erwartungsnutzentheorem) Eine rationale und stetige Präferenzrelation auf kann genau dann durch eine Bernoulli-Nutzenfunktion u dargestellt werden, wenn das Unabhängigkeitsaxiom erfüllt. Die eine Richtung des Beweis (Erwartungsnutzendarstellung impliziert Unabhängigkeitsaxiom) ist einfach. Die andere Richtung (Unabhängigkeitsaxiom impliziert Erwartungsnutzendarstellung) ist schwerer.... und wir werden daher nur ein grafisches Argument für den Fall einer monotonen Präferenzrelation auf einer Menge von monetären Lotterien mit n = 3 betrachten. Entscheidung VL 2 (FS 11) Erwartungsnutzen 28 / 28