Geometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1

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1 Geometrie 3 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Mathe-Squad GbR 28. Oktober 2016 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1

2 Lage zweier Geraden Geraden g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R h : #» X = #» B + µ #» v mit µ R Verschiedene Möglichkeiten g und h schneiden sich in einem Punkt g und h verlaufen parallel g und h sind identisch g und h verlaufen windschief Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage zweier Geraden 2

3 Prüfe, ob #» u = k #» v für k R Falls ja, dann g und h identisch für A h g und h parallel für A h Falls nein, dann g und h schneiden sich, wenn Schnittpunkt vorhanden g und h windschief, wenn kein Schnittpunkt vorhanden Erinnerung Der erste Schritt ist äquivalent zu: Prüfe, ob #» v und #» u linear unabhängig sind Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage zweier Geraden 3

4 Lage einer Geraden zu einer Ebene Gerade und Ebene g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R E : #» n ( #» X #» B ) = 0 Verschiedene Möglichkeiten g und E schneiden sich in einem Punkt g und E verlaufen parallel g liegt in E Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage einer Geraden zu einer Ebene 4

5 Prüfe, ob Normalenvektor senkrecht auf dem Richtungsvektor #» n #» v Falls ja, dann g liegt in E für A E g und E parallel für A E Falls nein, dann g und E schneiden sich in einem Punkt Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage einer Geraden zu einer Ebene 5

6 Erinnerung Der erste Schritt ist äquivalent zu: Prüfe, ob #» n #» u = 0 Bemerkung Sollten die Ebenen in Parameterform vorliegen, berechne zuerst die Normalenform Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage einer Geraden zu einer Ebene 6

7 Lage zweier Ebenen Ebenen E : #» n ( #» X #» A ) = 0 F : #» m ( #» X #» B ) = 0 Verschiedene Möglichkeiten E und F schneiden sich in einer Geraden E und F verlaufen parallel E und F identisch Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage zweier Ebenen 7

8 Prüfe, ob #» n = k #» m für k R Falls ja, dann E und F identisch für A F E und F parallel für A F Falls nein, dann E und F schneiden sich in einer Geraden Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage zweier Ebenen 8

9 Erinnerung Der erste Schritt ist äquivalent zu: Prüfe, ob #» n und #» m linear unabhängig sind Bemerkung Sollten die Ebenen in Parameterform vorliegen, berechne zuerst die Normalenform Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Lage zweier Ebenen 9

10 Schnittwinkel Zwei Geraden Winkel zwischen Richtungsvektoren #» u und #» v Ebene und Gerade Komplementärwinkel des Winkels zwischen Normalenvektor #» n und Richtungsvektor #» u, d.h. gesuchter Winkel ist 90 α Zwei Ebenen Winkel zwischen Normalenvektoren #» n und #» m Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Schnittwinkel 10

11 Erinnerung Schnittwinkel α zwischen zwei Vektoren #» a und #» b ist: cos(α) = #» a #» b #» a #» b Achtung! Hier spitzer Schnittwinkel α zwischen zwei Vektoren #» a und #» b gesucht! Damit: cos(α) = #» a #» b #» a #» b Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Schnittwinkel 11

12 Schnittpunkt Gerade - Gerade Gegeben sind die Geraden g und h Durch Gleichsetzen der Geraden g und h ergibt sich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen Finde durch 2 der 3 Gleichungen λ und µ Setze nun λ und µ in die übrige Gleichung ein Falls die Gleichung gelöst wird, führen die gefunden Werte λ und µ zum Schnittpunkt Ansonsten gibt es keinen Schnittpunkt Falls ein Schnittpunkt vorhanden ist, berechne diesen mithilfe der Geradengleichungen und den Werten λ und µ Bemerkung Einsetzten der berechneten Werte λ und µ in die jeweilige Geradengleichungen ergeben den selben Schnittpunkt Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Schnittpunkt Gerade - Gerade 12

13 Schnittpunkt Gerade - Ebene Gegeben ist die Gerade g und die Ebene E Allgemeiner Geradenpunkt in die Ebene E in Normalenform einsetzen Ermittle den Wert für λ Setze λ in die Geradengleichung ein um den Schnittpunkt P zu erhalten Bemerkung Zur Kontrolle den Punkt P in die Normalform der Ebene E einsetzen und überprüfen, ob ein richtiges Ergebnis herauskommt Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Schnittpunkt Gerade - Ebene 13

14 Schnittgerade Ebene - Ebene Gegeben ist die Ebene E und die Ebene F Stelle das Gleichungssystem der beiden Ebenen in Normalenform auf Setze in beiden Gleichungen x 1 = λ Löse nun die Gleichungen nach x 2 und x 3 auf Die gerade lässt sich nun ablesen Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Schnittgerade Ebene - Ebene 14

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