Das Wichtigste auf einen Blick

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1 Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte, z.b. A wird als Anfangspunkt herangezogen, der Vektor ABgibt die Richtung der Gerden an, so dass sich die sogenannte Parameterform einer Geraden ergibt g a AB zu jedem der unendlich vielen Punkte der Geraden gehört genau ein Parameterwert. Beispiel die Gerade durch A(,,-) und B(,,-) hat die Parameterform g und beinhaltet z.b. für den Punkt (-,-,-), für - den Punkt (,,) usw.

2 Zur Überprüfung, ob ein Punkt auf einer Geraden g liegt, setzt man die Geradenform und den Punkt gleich, woraus ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten entsteht. Beispiel enthält die obige Gerade den Punkt (,-8,-)? 8 das Gleichungssystem ist nicht lösbar, d.h. (,-8,-) liegt nicht auf g.lagebeziehung von zwei Geraden Zwei Geraden können a) echt parallel sein b) identisch sein c) einen Schnittpunkt besitzen d) nicht parallel sein und keinen Schnittpunkt besitzen, d.h. zueinander windschief liegen Die Fälle a) parallel oder b) identisch zweier Geraden g und h liegen dann vor, wenn die Richtungsvektoren identisch oder parallel (d.h. Vielfache) sind. Zur Unterscheidung dieser Fälle untersucht man ferner, ob der Anfangspunkt von g auf der Geraden h liegt.

3 Beispiel,, h g sind parallel oder identisch, da die Richtungsvektoren parallel g g und h sind echt parallel Die Fälle c) Schnittpunkt oder d) windschief zweier Geraden g und h liegen dann vor, wenn die Richtungsvektoren eben nicht parallel sind. Zur Unterscheidung dieser Fälle untersucht man, ob ein Schnittpunkt berechenbar ist Beispiel, h g Richtungsvektoren sind nicht parallel, III II I Die Kontrollgleichung III liefert einen Widerspruch zur Lösung von und, die in Gleichung I und II berechnet wurden, d.h. g und h sind windschief.

4 .Ebene Parameterform einer Ebene Eine Ebene bzw. eine ebene Fläche ist durch die Angabe dreier Punkte A, B und C eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte, z.b. A wird als Anfangspunkt herangezogen, die Vektoren AB und AC bilden die Richtungsvektoren. E a AB AC zu jedem der unendlich vielen Punkte der Ebenen gehören genau zwei Parameterwerte und. Die einzige Forderung an die beiden Richtungsvektoren ist, dass sie nicht parallel sein dürfen. Anmerkungen - ein Punkt und eine Gerade bilden genau dann eine Ebene, wenn der Punkt nicht auf der Geraden liegt - zwei Geraden bilden genau dann eine Ebene, wenn sie echt parallel sind oder einen Schnittpunkt besitzen. Spurpunkte einer Ebene Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen - auf den Schnittpunkt einer Ebene mit der x -Achse kommt man, indem man für die Ebenengleichung x und x jeweils setzt - auf den Schnittpunkt einer Ebene mit der x -Achse kommt man, indem man für die Ebenengleichung x und x jeweils setzt - auf den Schnittpunkt einer Ebene mit der x -Achse kommt man, indem man für die Ebenengleichung x und x jeweils setzt

5 Beispiel E - Schnittpunkt von E mit der x -Achse (,,) III II - auf den Schnittpunkt von E mit der x -Achse,) (, III I - Schnittpunkt von E mit der x -Achse (,,) II I Normalenform einer Ebene Eine alternative Darstellung der Ebene ist die Normalenform, diese hat keinen vektoriellen Charakter, sondern gibt mit Hilfe einer Gleichung an, welche Punkte auf der Ebene E liegen Beispiel E x x - x (,,) liegt in E, da die Koordinaten die Gleichung erfüllen. (,,-) liegt nicht in E, da die Koordinaten die Gleichung nicht erfüllen. Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene benötigt man einen Punkte, von dem man weiß, dass er in E enthalten ist, und den Normalenvektor, d.h. einen Vektor, der senkrecht zur Ebene steht; diesen gewinnt man i.d.r. aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.

6 Umrechnung Parameterform Normalenform Normalenvektor n v v Einsetzen des Anfangspunktes in die Normalenform zur Bestimmung von n Beispiel E n x x x n n n -9 E x x x 9

7 Umrechnung Normalenform Parameterform Beispiel Finden von drei Punkten aus der Normalenform, z.b. Spurpunkte Aufstellen der Parameterform aus drei Punkten E x - x x A(,,), B(,-,), C(,,) E.Lagebeziehug von Geraden & Ebenen Eine Gerade und eine Ebene können - einen Schnittpunkt besitzen - keinen Schnittpunkt besitzen, d.h. parallel zueinander liegen - unendlich viele gemeinsame Punkte besitzen, wenn nämlich die Gerade in der Ebene liegt Strategie empfehlenswert ist es, die Lagebeziehung zu überprüfen, indem man die Normalform der Ebene aufstellt und anschließend für die Variablen x, x und x die einzelnen Zeilen der Geradenform einsetzt.

8 Rechnerisch kann man dabei drei verschiedene Ergebnisse erhalten - erhält man ein festen Wert für, so liegt die Beziehung Schnittpunkt vor, dieser ist berechenbar, indem man das berechnete in die Geradengleichung einsetzt. - erhält man ein widersprüchliche Gleichung, so liegt die Beziehung parallel vor z.b. ( ) ( - ) - erhält man ein allgemeingültige Gleichung, so liegt die Beziehung g in E vor z.b. ( ) ( - ).Lagebeziehug von Ebenen & Ebenen Zwei Ebenen können folgende Lagebeziehungen zueinander besitzen - Schnittgerade - parallel - identisch Strategie empfehlenswert ist es, die Lagebeziehung zu überprüfen, indem man von beiden Ebenen jeweils die Normalformen aufstellt; anschließend wählt man eine der drei Variablen x, x und x als Parameter und ersetzt diese durch.

9 Beispiel E x y z x y - F x y x y Man erhält nun ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, welches (in Abhängigkeit vom Parameter zu lösen ist II y x in I x - x - x - in II y - Die Schnittgerade hat demnach die Form und ist durch Trennen des festen und variablen Anteils umzuformen in im Falle E ist parallel zu F bzw. E liegt in F erhält man ein unlösbares bzw. ein allgemeingültig lösbares Gleichungssystem. 6. Lot, Lotfußpunkt, Spiegelung a) Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene P P Die Verbindungsgerade PP steht senkrecht zur Ebene, ist also parallel zu deren Normalenvektor, d.h. die Lotgerade hat die Form l p n E Schneidet man l mit E, erhält man für das berechnete den Lotfußpunkt F Setzt man in die Geradengleichung ein, so erhält man den Spiegelpunkt P

10 b) Spiegelung eines Punktes an einer Geraden P P g Es ist dafür zu sorgen, dass die Verbindungsgerade PP senkrecht zu g steht. Rechnerisch setzt man dazu einen Fußpunkt F an, der auf g liegen muss, der Vektor PF und der Richtungsvektor von g müssen senkrecht zueinander stehen, d.h. das Skalarprodukt ist Aus dem Skalarprodukt erhält man den Wert für, um F berechnen zu können, die Spiegelung von P gelingt über den Ansatz PF p p ' Beispiel spiegele (,,) an g Ansatz Skalarprodukt v PF Fußpunkt F(,,) ' ' p PF p p P (,,)

11 7. Abstandrechnung Abstandsberechnungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten sind in der Geometrie wichtig; im folgenden soll systematisch zwischen verschiedenen Ausgangssituationen unterschieden werden, dabei sind einige Berechnungsformen Wiederholung a) Abstand Punkt-Punkt P ist der Betrag des Vektors P P d.h. der Abstand von A(,,-) zu B(/-/-) beträgt ) ( P b) Abstand Punkt-Gerade zunächst ist das Lot vom Punkt auf die Gerade zu fällen (vergleiche 6.b, Lotfußpunkt F ), anschließend die Länge des Lotes von P zu F zu berechnen d.h. der Abstand von P(/-/) zu g ist P g F,, d

12 c) Abstand Punkt-Ebene Liegt die Ebene in der Normalform vor, ist diese in die sog. Hesse-Normalform umzuwandeln; dazu ist die Normalform - zunächst mit (-) zu multiplizieren, wenn n positiv ist - durch den Betrag von n zu dividieren P Beispiel Normalform von E x y z Hesse-Normalform erster Schritt Multiplikation mit (-) -x y - z zweiter Schritt Division durch ( ) ( ) 6 ( -x y z ) 6 Anschließend ist die die HNF nur noch der Punkt einzusetzen, von welchem der Abstand bestimmt werden soll das Ergebnis (bzw. der Betrag davon) gibt direkt den Abstand an Beispiel Abstand des Punktes (-//) von E x y z E ( -(-) ) 6 6 d) Abstand Ebene-Ebene macht nur Sinn, wenn die beiden Ebenen parallel sind, da im Falle der Schnittgerade bzw. im Falle der Identität der kürzeste Abstand der beiden Ebenen wäre. Dann ist Fall d) auf Fall c) zurückführbar, da der Abstand der beiden Ebenen als Abstand eines Punktes der Ebene E (z.b. Spurpunkt) zur Ebene F interpretiert werden kann. Dieser Abstand ist über die HNF berechenbar Beispiel Abstand der Ebenen E x y z und F x y z Einsetzen des Spurpunktes (//) von F in E HNF ( -x y z ) 6 6

13 e) Abstand Gerade-Ebene macht nur Sinn, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft, da im Falles eines Schnittpunkts der kürzeste Abstand wäre. Dann ist Fall e) auf Fall c) zurückzuführen, da der Abstand der zu E parallelen Geraden g als Abstand des Anfangspunktes von g zur Ebene E interpretiert werden kann. Beispiel Abstand der Geraden g zu E x y z g ist parallel zu E, da der Richtungsvektor senkrecht zu E n steht. d.h. der Abstand von g zu E ist der Abstand des Punktes (-//) zu E, nämlich 6 (siehe c) f) Abstand paralleler Geraden der Abstand zweier paralleler Geraden kann auf Fall b) zurückgeführt werden, da der Abstand von g zu h an jeder Stelle gleich ist. Beispiel Abstand von g zu h die beiden Geraden sind parallel, da die Richtungsvektoren parallel sind und (/-/) nicht in g enthalten ist. Der Abstand von g zu h ist folglich der Abstand von P(/-/) zu g, dieser beträgt (vergleiche b),, d

14 g) Abstand windschiefer Geraden Die Abstandslinie zweier zueinander windschiefer Geraden muss zu beiden Geraden senkrecht stehen. Dazu konstruiert man zunächst eine Hilfsebene H (in Normalenform) - der Normalenvektor das Kreuzprodukt von g v und h v ist - n ist dadurch zu bestimmen, dass man den Anfangspunkt von g einsetzt. - anschließend bestimmt man die Hesse-Normalenform der Hilfsebene H. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden ist dann der Abstand des Anfangspunktes von h von der Hilfsebene, welcher durch Einsetzen in die HNF berechnet wird. Beispiel Die Geraden g und h sind offensichtlich windschief (Nachweis wäre natürlich erforderlich) Aufstellen der Hilfsebene H H x y z n Einsetzen von (//) n n - H HNF z y x Abstand Einsetzen von (//) in H HNF, d.h. der Abstand beträgt,

15 8. Winkelberechnungen Zur Berechnung von Winkeln in der Vektorgeometrie dient die Formel ab cos( a, b) a b Die beiden Vektoren sind in verschiedenen Aufgabenstellungen nur besonders zu wählen a) Schnittwinkel zwischen zwei Geraden Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist als der kleiner der beiden möglichen definiert, im Bild also der Winkel β α β Dies erreicht man systematisch, indem man in die Formel zur Winkelberechnung einen Betrag einschiebt cos( a, b) ab a b b) Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene Zunächst errechnet man den Winkel zwischen Richtungsvektor der Geraden und Normalenvektor nder Ebene; anschließend ist dieser von 9 zu subtrahieren. n g E

16 c) Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der Schnittwinkel der beiden Normalenvektoren cos( n E, n F ) n n E E n F n F