Es sei x 1. Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass dann für jede natürliche Zahl n 0 gilt: n x k = 1 xn+1 1 x.

Transkript

1 Aufgabe 1. (5 Punkte) Es sei x 1. Zeigen Sie mittles vollständiger Induktion, dass dann für jede natürliche Zahl n 0 gilt: n x k = 1 xn+1 k=0 1 x.

2 Aufgabe 2. (7 Punkte) Bestimmen Sie das folgende Integral mit Hilfe partieller Integration: 2x 2 e 2x+5 dx

3 Aufgabe 3. (12 Punkte) Im Rahmen einer Studie wurde die Abhängigkeit der Lebenserwartung von Primaten von der Schwangerschaftsdauer untersucht. Hierfür wurden als Durchschnittswerte die folgenden Datenpaare festgehalten: Gibbon Gorilla Lemur Makak Mensch Schimpanse Schwangerschaftsdauer (in Wochen) X i Lebenserwartung (in Jahren) Y i Tabelle 1: Datensatz Lebenserwartung und Schwangerschaftsdauer (i) (5 Punkte) Zeichnen Sie einen Boxplot, der die Schwangerschaftsdauer darstellt. Gehen Sie dafür wie folgt vor: (i.1) Berechnen Sie die benötigten Quantile. (i.2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Schwangerschaftsdauern. (i.3) Geben Sie die minimale und maximale Ausprägung an. (i.4) Fassen Sie die Daten in einem Boxplot zusammen. (ii) (7 Punkte) Berechnen Sie die Regressionsgerade, mittels der die Lebenserwartung der Primatenarten in Abhängigkeit von deren Schwangerschaftsdauer beschrieben wird. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: (ii.1) Geben Sie die Formel für die Regressionsgerade an. (ii.2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Lebenserwartungen. (ii.3) Berechnen Sie die Varianz der Schwangerschaftsdauer. (ii.4) Berechnen Sie die Kovarianz zwischen der Lebenserwartung und der Schwangerschaftsdauer. (ii.5) Geben Sie nun die Regressionsgerade in der Form y(x) = m x + b an mit m,b R. (ii.6) Welche Lebenserwartung lässt sich demnach bei einer Primatenart vermuten, die eine Schwangerschaftsdauer von 28 Wochen hat.

4 Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. 3:

5 Aufgabe 4. (6 Punkte) Gegeben sei die Anfangswertaufgabe y (x) = e x y(x) 2, y(2) = 0. (i) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe mit Hilfe der Trennung der Variablen. (ii) (1 Punkt) Machen Sie die Probe. D.h., überprüfen Sie, ob Ihre Lösungsfunktion y(x) aus (i) richtig ist, indem Sie diese in die gegebene Differentialgleichung einsetzen.

6 T E I L II Aufgabe 5. (10 Punkte) Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der Test zu 99% positiv aus. Hat ein Sportler aber kein Doping genommen, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man, dass 20% der Sportler gedopt sind. (i) (3 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat. (ii) (3 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt. (iii) (4 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, obwohl seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.

7 Aufgabe 6. (6 Punkte) Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit Parameter λ = 1/8, d.h. X sei stetig verteilt mit Dichte { 1 f (x) = 8 e 8 x, x 0, 0, x < 0. (i) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0 und 8 annimmt. (ii) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der größer als 8 ist. (iii) (2 Punkte) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.

8 Aufgabe 7. (6 Punkte) Bei einer Studie wurde die Flügelspannweite von 30 Bienen untersucht. Dabei hat man eine durchnittliche Spannweite von 8 mm und eine geschätzte Varianz von 4 mm ermittelt. Nehmen Sie an, dass die Flügelspannweite normalverteilt ist und bestimmen Sie ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau von 99% für den Erwartungswert der Flügelspannweite von Bienen.

9 Aufgabe 8. (8 Punkte) Für Tulpenzwiebeln wird eine Keimfähigkeit von genau 80% garanatiert. In einer Stichprobe von n = 100 keimten 35 Zwiebeln. Liegt eine signifikante Abweichung vom garantierten Ergebnis vor? (i) (4 Punkte) Formulieren Sie hierfür zuerst die zu überprüfende Nullhypothese, sowie die entsprechende Alternativhypothese und zeigen Sie, dass der Stichprobenumfang n hinreichend groß ist, um den Binomialtest anwenden zu können. (ii) (4 Punkte) Überprüfen Sie mithilfe eines Binomialtests die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau von α = 2,5%. Gehen Sie dazu wie folgt vor: (ii.1) Geben Sie die Bedingung an, unter der die Nullhypothese angenommen wird. (ii.2) Bestimmen Sie das benötigte Quantil. (ii.3) Geben Sie an, ob die Nullhypothese angenommen wird.

10 r x X e x X x

11 Die Quantile t n,γ der t-verteilung Freiheitsgrade 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0, ,078 6,314 12,706 31,821 63, , ,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31, ,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12, ,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8, ,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6, ,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5, ,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5, ,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5, ,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4, ,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4, ,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4, ,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4, ,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4, ,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4, ,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4, ,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3, ,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3, ,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3, ,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3, ,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3, ,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3, ,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3, ,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3, ,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3, ,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3, ,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3, ,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3, ,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3, ,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3, ,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3, ,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3, ,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3, ,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3, ,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3, ,291 1,662 1,987 2,368 2,632 3, ,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,390 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290 Ablesebeispiel: t 28;0,995 = 2, 763

12 Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. :

13 Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. :

14 Weitere Rechnungen zu Aufgabe Nr. :