Lösungsvorschlag Probeklausur zur Elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Prof. Dr. V. Schmidt WS 200/20 G. Gaiselma, A. Spettl Lösugsvorschlag Probeklausur zur Elemetare Wahrscheilichkeitsrechug Hiweis: Der Umfag ud Schwierigkeitsgrad dieser Probeklausur muss icht dem Umfag ud dem Schwierigkeitsgrad der richtige Klausur bzw. Nachklausur etspreche. Aufgabe I eier Klasse seie 7 Mädche ud 3 Jugs. Uter diese 30 Schüler werde vier Tafel Schokolade ausgelost. Dabei sei P A k das Ereigis, dass geau k dieser vier Tafel Mädche erhalte k 0,, 2, 3,. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit P A k für k 0,, 2, falls a jeder Schüleri höchstes eie Tafel erhält bzw. b jeder Schüleri mehrere Tafel erhalte ka. Ure mit 2 Merkmalsgruppe Mädche, Juge N 30 Objekte isgesamt davo S 7 Mädche ud R 3 Jugs. -mal Ziehe ohe Beachtug der Reihefolge a Ziehe ohe Zurücklege: Hypergeometrische Verteilug S P A k k N S k N P A P A 7 k 3 k 30, k 0,, 2, 3, 3! 26! 30! 9! ! P A ! 2! b Ziehe mit Zurücklege: Biomialverteilug S P A k k N k S N k k 7 k k, k 0,, 2, 3,

2 3 P A P A! !3! P A 2! !2! Aufgabe 2 Vor Ihe stehe zwei Ure A ud B. I Ure A befide sich 0 weiße ud 5 schwarze Kugel. I Ure B sid weiße ud 8 schwarze Kugel ethalte. Aus Ure A werde rei zufällig 3 Kugel gezoge ud i Ure B gelegt das Ergebis dieser Ziehug ist icht bekat. Aschließed werde aus Ure B rei zufällig 2 Kugel gezoge. a Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass beide aus Ure B gezogee Kugel weiß sid? Rude Sie das Ergebis auf die vierte Nachkommastelle. b Aus Ure B wurde 2 weiße Kugel gezoge. Welche Farbkombiatio der vorher hieigelegte Kugel ist da am wahrscheilichste? Wie groß ist diese Wahrscheilichkeit? Ure A: 0 weiße, 5 schwarze Kugel Ure B: weiße, 8 schwarze Kugel 3-mal Ziehe ohe Zurücklege aus A 2-mal Ziehe ohe Zurücklege aus B Wähle z. B. Ω {ω, ω 2 Ω : ω Azahl weiße Kugel i Ure B, ω {, 5, 6, 7}, ω 2 Azahl der aus B gezogee weiße Kugel, ω 2 {0,, 2}} Defiiere: A k {ω, ω 2 Ω : ω + k} {k weiße Kugel wurde aus Ure A gezoge, } k0,,2,3. Da gilt P A k 0 k 3 k Ω A 0... A 3. > 0 für k 0,, 2, 3 ud A k A l für k l, B {ω, ω 2 Ω : ω 2 } { weiße Kugel wurde aus Ure B gezoge, } 0,,2.

3 a Gesucht: P B 2 Mit Zerlegug A sid alle Voraussetzuge für de Satz der totale Wkt. erfüllt P B 2 Satz der tot. Wkt. 3 k0 3 +k 2 k0 +k3+k 5 0 k 5 3 k k 3 k3! b Gesucht: P A k B 2 k 0,, 2, 3 Weil P B 2 > 0 ach Teil a, ka ma schreibe: P A k B 2 P B 2 A k P A k P B 2 ist maximal, falls Zähler maximal ist: k 0 : P B 2 A 0 P A 0 20 k : P B 2 A P A 2000 k 0 : P B 2 A 2 P A k 0 : P B 2 A 3 P A wahrscheilichste Farbkombiatio: 2 weiß, schwarz mit P A 2 B Aufgabe 3 Es sei Ω, F, P ei Wahrscheilichkeitsraum. Beweise oder widerlege Sie, dass es Ereigisse A ud B F gibt mit 0 < P B <, P A B P A ud P A B P A B. Aahme: es gibt A, B mit 0 < P B < ud P A B P A i P A B P A B ii

4 Da: ii P A B P A + P B P A B i P A B + P B P A B P B 2 P A B P B P B }{{}}{{} P B <, P B< P B < P B Dies ist ei Widerspruch, etspreched ist die Aahme falsch ud die Behauptug widerlegt. Aufgabe Zwei Studete wolle sich zwische 2 ud 3 Uhr a der Mesa treffe. Die beide komme ierhalb der agegebee Stude rei zufällig a. Die Akuftszeit des eie hat dabei keie Eifluss auf die Akuftszeit des adere. Keier der beide ist jedoch bereit, läger als 0 Miute auf de adere zu warte. a Mit welcher Wahrscheilichkeit kommt es zu eiem gemeisame Treffe? b Wie lage müsste die Studete bereit sei, aufeiader zu warte, damit die Wahrscheilichkeit, dass sie sich treffe, midestes 0.7 beträgt? Ω {x, y [0, 60] 2 }, A {x, y Ω : x y d 0} d A d 0 d 60 d 60

5 a P Treffe P Akuft X Akuft Y 0 A Ω b d 60 d P Treffe bei d Miute warte d 2! 0.7, d 0, 60] d d de d 60 0 d Aufgabe 5 Der Zufallsvektor X, Y sei absolutstetig mit gemeisamer Dichte { 2 f X,Y x, y x + y e x+y, falls x > 0, y > 0, 0, sost. a Bestimme Sie die Dichte vo X + Y. b Bestimme Sie die Kovariaz CovX + Y, X Y.

6 a Die Dichte vo X + Y ist für z > 0 gegebe durch: f X+Y z z>0 z>0 t>0,z t>0 z e z 2 z f X+Y z b Es gilt X d Y, de f X x VarX VarY Damit: f X,Y x, y dy f X,Y x,yf X,Y y,x 0 f X,Y t, z t dt 2 t + z te t+z t dt z dt 0 }{{} z 2 z2 e z, z > 0 2 z2 e z I {z>0} CovX + Y, X Y CovX + Y, X CovX + Y, Y f X,Y x, y dx f Y y CovX, X + CovY, X CovX, Y CovY, Y }{{}}{{}}{{} VarX CovX,Y VarY 0 Aufgabe 6 Die Kozetratio vo Kohlemooxid im Abgas eies Heizwerkes wird gemesse. Der Messwert wird durch eie Zufallsvariable X mit E X µ i g/cm 3 ud Var X gut beschriebe. Wieviele uabhägige Messuge müsse durchgeführt werde, so dass mit eier Wahrscheilichkeit vo midestes 0.97 das arithmetische Mittel der Messuge vom Erwartugswert µ um maximal g/cm 3 abweicht? Beatworte Sie die Frage a mittels des Tschebyschev-Ugleichug, b mittels des zetrales Grezwertsatzes. E X µ, VarX σ , X k i.i.d., X k d X

7 Gesucht: so, dass P Beachte: X k µ k E Var X k µ k X k VarX k a Tschebyschev-Ugleichug: P X k µ k P X k µ > k Var X k k Tschebyschev-Ugl. Vor. erfüllt, ε }{{} 00 9 Es müsse midestes 37 Messuge durchgeführt werde. b Zetraler Grezwertsatz: P X k µ k P σ0.0 P /! 0.97 X k µ k X k µ σ/ / k ZGWS Vor. erfüllt Φ Φ , Φ Φ0.3! 0.97 Es müsse midestes 53 Messuge durchgeführt werde.

8 Aufgabe 7 Sei {X } eie Folge vo uabhägige Zufallsvariable mit X U[0, ] ud X U[0, ] uabhägig vo der Folge {X }. Ferer sei Z logx ud Y max{x,..., X } für alle. Bereche Sie die Verteilugsfuktioe vo Y, ud Z. Die Verteilugsfuktio vo Z ist gegebe durch: F Z x P log X x log P X e x P X < e x e x I 0, x { e x, falls x > 0, 0, sost. Die Verteilugsfuktio vo Y,, ist gegebe durch: F Y x P max{x,..., X } x P max{x,..., X } x P max{x,..., X } < x P X < x,..., X < x [P X < x ] 0, falls x > x < 0, x, falls 0 x 0 x,, falls x < 0 x >. i.i.d.