Eine kleine Sammlung abiturähnlicher Aufgaben Grundkurs

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1 Eine kleine Sammlung abiturähnlicher Aufgaben Grundkurs

2 Analysis

3 Mountainbike Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikes entstehen Fixkosten in Höhe von 5000 e und variable Kosten V(x) (in e), die durch folgende Tabelle modellhaft gegeben sind: x V(x) a) Bestimme die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V sowie der monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x. Skizziere das Schaubild von H für 0 < x < 200 in ein geeignetes Koordinatensystem. Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten? b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450 e pro Stück an einen Händler verkauft. Gib den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an und skizzieren Sie das Schaubild der Gewinnfunktion in das vorhandene Koordinatensystem. Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat? c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike senken. Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000 e betragen soll? Gruber/Neumann: Erfolg im Mathe-Abi Freiburg, Freiburger Verlag 2006

4 Küstenlinie Ein Naturschutzgebiet hat in idealisierter Weise den dargestellten Küstenverlauf. Im Scheitel der Bucht zwischen den zwei Kaps - diese entsprechen den Punkten C und D - befindet sich ein Hafen (Punkt B). Zur näherungsweisen Beschreibung des Gebietes wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem so gelegt, dass der Punkt A im Nullpunkt liegt und die x-achse das Naturschutzgebiet begrenzt. Die Koordinaten der Punkte B und C sind gegeben: B(1 2) und C(2 4). Eine Längeneinheit soll 10 km in der Realität entsprechen. a) Bestimme mit Hilfe der Punkte A, B und C eine geeignete Polynomfunktion 4. Grades, die den Küstenverlauf der Küste mit den Punkten A, B und C beschreibt. Begründe diesen Ansatz sowie die verwendeten Bedingungen. b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtet werden. Verwende für den Küstenverlauf die Funktion f mit f(x) = 3x 4 +14x 3 21x 2 +12x und berechne die Entfernung zwischen C und D. c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberliegenden Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion k(x) = 0,5x 2 0,25x+4. Berechne die Länge der Fahrtstrecke. d) Bestimme den Kurs, d.h. den Winkel zur Nordrichtung, den das Boot einschlagen muss, um von B zum Punkt P(0,5 4) zu gelangen. e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die Küstenlinie einen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging nur durch die Punkte B und C des heutigen Naturschutzgebiets und lässt sich durch eine Funktion g mit g(x) = 0, 5x 2 + 0, 5x + 1 beschreiben. Berechne den Landgewinn für das Gebiet zwischen A und C, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist und begründe dein Vorgehen. Gruber/Neumann: Erfolg im Mathe-Abi Freiburg, Freiburger Verlag 2006

5 Küstenlinie - Lösung zu a) Bestimme mit Hilfe der Punkte A, B und C eine geeignete Polynomfunktion 4. Grades, die den Küstenverlauf der Küste mit den Punkten A, B und C beschreibt. Begründe diesen Ansatz sowie die verwendeten Bedingungen. Ansatz: f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e Gemäß den Informationen aus Text und Abbildung ist: f(0) = 0, f(1) = 2, f (1) = 0, f(2) = 4, f (2) = 0 Diese Informatinen führen auf ein 5 5-Gleichungssystem, dessen Lösung mit dem GTR bestimmt wird: a = 3, b = 14, c = 21, d = 12, e = 0. Man erhält also die Funktion f(x) = 3x x 3 21x x. zu b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtet werden. Verwende für den Küstenverlauf die Funktion f mit f(x) = 3x 4 +14x 3 21x x und berechne die Entfernung zwischen C und D. D ist offensichtlich ein Hochpunkt des Graphen; wir können die Koordinaten von D daher ermitteln, indem wir die Extremstellen suchen (zwei davon kennen wir ja schon). Hier helfen die Ableitungen: f(x) = 3x x 3 21x x f (x) = 12x x 2 42x + 12 f (x) = 36x x 42 Die notwendige Bedingung für Extremstellen (f (x) = 0) ist wegen 12x 3 +42x 2 42x+ 12 = 0 GTR x = 0,5 x = 1 x = 2 außer an den bereits bekannten Stellen noch für x = 0,5 erfüllt. Die hinreichende Bedingung für Extremstellen (f (x) = 0 f (x) 0) ist für x = 0,5 wegen f (0,5) = 9 ebenfalls erfüllt (aber das war ohnehin klar). Mit f(0,5) = 2,3125 erhalten wir D(0,5 2,3125). Der Abstand zwischen C und D ergibt sich dann als d(c, D) = (0,5 2) 2 + (2,3125 4) 2 = 2,2578. Die gesuchte Entfernung beträgt also etwa 22,6 km. zu c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberliegenden Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion k(x) = 0,5x 2 0,25x + 4. Berechne die Länge der Fahrtstrecke. Wir suchen den Abstand von B(1 2) zu einem Punkt P(x k(x)) der Küstenlinie. Dieser Abstand berechnet sich als d(c, P) = (x 1) 2 + (k(x) 2) 2, also d(c, P) = (x 1)2 + (0,5x 2 0,25x + 4 2) 2 = 0,25x 4 0,25x 3 + 3,0625x 2 3x + 5. Der Term 0,25x 4 0,25x 3 + 3,0625x 2 3x + 5 wird minimal, wenn 0,25x 4 0,25x 3 + 3,0625x 2 3x + 5 minimal wird, so dass wir nach den Extremstellen von d mit d(x) = 0,25x 4 0,25x 3 + 3,0625x 2 3x + 5 suchen müssen; das Minimum bei x = 0,5 findet man völlig mühelos. Wir erhalten den gesuchten Abstand, indem wir x = 0,5 in d(c, P) einsetzen; es ergibt sich d(c, P) = 4,25 2,0616. Die Fahrtstrecke ist also etwa 20,6 km lang.

6 zu d) Bestimme den Kurs, d.h. den Winkel zur Nordrichtung, den das Boot einschlagen muss, um von B zum Punkt P(0,5 4) zu gelangen. Diese Aufgabe ist beleidigend einfach, es ist tan(α) = Gegenkathete Ankathete = x = 0,5 y 2 = 0,25, also α 14,036 o. Das Boot sollte also einen Kurs von etwa 14 o einschlagen. zu e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die Küstenlinie einen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging nur durch die Punkte B und C des heutigen Naturschutzgebiets und lässt sich durch eine Funktion g mit g(x) = 0, 5x 2 +0, 5x+1 beschreiben. Berechne den Landgewinn für das Gebiet zwischen A und C, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist und begründe dein Vorgehen. Hier interessieren wir uns für das Integral der Funktion d mit d(x) = f(x) g(x) in den Grenzen von 0 bis 2. Wir berechnen hier nicht etwa die Fläche zwischen den Graphen, sondern die Bilanzsumme, weil es an einigen Stellen auch Landverlust gibt. 2 2 f(x) g(x)dx = 0 0 3x x 3 21,5x ,5x 1dx = ,467 Der Landgewinn beträgt also etwa 46,7 km 2.

7 Umgehungsstraße Quer und schnurgerade durch den kleinen niederrheinischen Ort Raas geht eine vielbefahrene Bundesstraße. Die Bewohner des Ortes haben lange gekämpft, nun soll endlich die langersehnte Umgehungsstraße gebaut werden. Die Abbildung zeigt einen Kartenausschnitt, auf dem die alte Bundesstraße (Gerade durch die Punkte A und C) und der ungefähre Verlauf der neuen Umgehungsstraße (gestrichelte Kurve) eingezeichnet sind (alle Angaben in km). a) Bestimme aus der Grafik die lineare Funktion, die die alte Bundesstraße beschreibt. b) Die neue Umgehungsstraße soll im Punkt A glatt an der alten Bundesstraße anschließen, sie soll durch den Punkt B gehen und am Punkt C unter einem beliebigen Winkel wieder auf die Bundesstraße treffen. Bestimme mit Hilfe der Skizze und den genannten Bedingungen eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die die Umgehungsstraße zwischen den Anschlusspunkten beschreibt. Zur Kontrolle: f(x) = 1 6 x3 1 3 x x c) Nördlich der Geraden y = 2 befindet sich ein Naturschutzgebiet. Der Abstand der neuen Umgehungsstraße zu diesem Gebiet soll den Abstand von 100m nicht unterschreiten. Untersuche, ob die durch die Funktion f beschriebene Straße diese Anforderung erfüllt. d) Bestimme den Punkt der Umgehungsstraße, in dem sich das Krümmungsverhalten der Straße ändert. e) Der nördliche Ortsrand von Raas ist näherungsweise parabelförmig und wird durch die Funktion g(x) = 3 4 x2 1 2 x + 5 recht gut beschrieben. Die Fläche, die von der neuen 4 Umgehungsstraße, dem nördlichen Ortsrand und Teilen der Bundesstraße eingeschlossen wird, ist Eigentum der Gemeinde Raas und soll vollständig in ein Gewerbegebiet umgewandelt werden. Stelle diese Fläche in der Graphik dar und bestimme die Höhe der Einnahmen, mit denen der Stadtkämmerer rechnen kann, wenn das Land vollständig zu einem Preis von 10 e pro m 2 verkauft wird. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

8 Lipnature Die Kosmetikfirma lipnature, die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein neues Firmenlogo entwerfen. Die PR-Abteilung der Firma schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines Kussmundes zu verleihen. Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Funktion vierten Grades (f 1 ), welche an der Stelle x 0 = 4 eine Nullstelle und an der Stelle x E = 2 ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y-achse an der Stelle y S = 2. Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer quadratischen Funktion f 2 benutzt werden, die durch die Funktionsgleichung f 2 (x) = 1 8 x2 2 gegeben ist. a) Bestimme die Gleichung der Funktion f 1, welche die Randlinie der Oberlippe beschreibt. [Zur Kontrolle: f 1 (x) = 1 64 x x2 + 2] b) Bestimme die gemeinsamen Schnittpunkte der Funktionen f 1 und f 2. c) Bestimme alle relativen Extrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion f 1. d) Skizziere das Firmenlogo. e) Berechne den Flächeninhalt des Kussmundes. f) Die PR-Abteilung der Kosmetikfirma schlägt vor, den Firmennamen lipnature als Schriftzug so in den Kussmund zu integrieren, dass er in einem Rechteck zwischen der x-achse und der Unterlippenrandlinie erscheint. Berechne die Maße des entsprechenden Rechtecks maximalen Flächeninhalts und geben Sie zudem die Flächenmaßzahl an. g) Die Fläche des in Teilaufgabe f) ermittelten Rechtecks reicht nicht aus, um den Firmennamen angemessen darin unterbringen zu können. Nun soll die Gleichung, welche die Unterlippenrandlinie beschreibt, derart verändert werden, dass die Nullstellen bei x 0 = ±4 erhalten bleiben, aber die Lage des Scheitelpunkts auf der y-achse variieren kann. Zeige, dass alle möglichen Unterlippenrandlinien durch eine allgemeine Funktion f t mit f t (x) = tx 2 16t (t R >0 ) wiedergegeben werden. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

9 Lipnature - Lösung zu a) Bestimmung der Funktionsgleichung Ansatz für die achsensymmetrische Funktion vierten Grades: f(x) = ax 4 + bx 2 + c Bedingungen: f 1 hat an der Stelle x 0 = 4 eine Nullstelle, also f 1 (4) = 0, f 1 hat an der Stelle x E = 2 ein relatives Extremum, also f 1 ( 2) = 0 und der Graph schneidet die y-achse an der Stelle y S = 2, also f 1 (0) = 2. Aus f 1 (0) = 2 folgt sofort c = 2. Die beiden anderen Bedingungen liefern: f 1 (4) = 0 : 256a + 16b + 2 = 0 f 1 ( 2) = 0 : 32a 4b = 0 Ergo: 256a + 16b 32a 4b = = a + 16b 128a Die gesuchte Funktionsgleichung ist also = = 2 2 : : f(x) = 1 64 x x2 + 2 b = 1 8 a = 1 64 zu b) Um die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, setzt man die beiden Funktionsterme gleich: 1 64 x x2 + 2 = 1 8 x x4 = 4 x 4 = 256 x = 4 x = 4 Mit f 1 ( 4) = f 2 ( 4) = 0 und f 1 (4) = f 2 (4) = 0 ergeben sich die Schnittpunkte sind also S 1 ( 4 0) und S 2 (4 0). zu c) In dieser Teilaufgabe sind Ableitungen vonnöten: f 1 (x) = 1 16 x x, f 1 (x) = 3 16 x und f 1 (x) = 3 8 x Extrempunkte: notwendige Bedingung für Extrema: f 1(x) = x x = x(x2 4) = 0 x = 0 x = 2 x = 2 hinreichende Bedingung für Extrema: f 1 (x) = 0 f 1 (x) 0 f 1 (0) = 1 > 0 Min T(0 2) 4 f 1 ( 2) = 1 2 < 0 Max H 1( 2 2,25) f 1 (2) = 1 2 < 0 Max H 2(2 2,25) Wendepunkte: notwendige Bedingung für Wendepunkte: f 1 (x) = x = (x2 4 3 ) = 0 x = 4 3 x = 4 3 hinreichende Bedingung für Wendepunkte: f 1 (x) = 0 f 1 (x) 0

10 f 1 f 1 ( ) 4 3 = 3 ( ) > 0 re-li-wp W 1 ( 1,15 2,15) ( ) = 3 ( ) 8 < 0 li-re-wp W 2 (1,15 2,15) zu d) Skizze des Firmenlogos zu e) Flächeninhalt des Kussmundes A = f 1 (x) f 2 (x) dx = 2 f 1 (x) f 2 (x) dx = (( ) (0) ) = 2 12,8 = 25,6 [FE] zu f) Extremwertaufgabe Gesucht ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt: 0 A = a b Wir betrachten zunächst nur die rechte Hälfte des Rechtecks. Nebenbedingungen: a = x und b = f 2 (x) = 1 8 x x4 + 4 dx = 2 [ x5 + 4x ] 4 0 = Funktionsgleichung: A(x) = x ( 1 ) 8 x2 + 2 = 1 8 x3 + 2x Bestimmung der Extremwerte: notwendige Bedingung für Extrema: A (x) = 0 A (x) = 3 8 x2 + 2 = 0 x 2 = 16 3 x = 4 x = 4 ( 4 wird verhöhnt.) notwendige Bedingung für Extrema: A (x) = 0 ( ) 4 3 A = 3 ( ) < 0 Max ( ) 4 A 3 = = ,079 [FE] 3 Der Flächeninhalt des ganzen Rechteks ist demnach 6,158 FE Beachte: Der Vergleich mit den Rändern erbringt wegen A(0) = A(4) = 0 keine neuen Erkenntnisse.

11 zu g) Funktionsschar Ansatz für die gesuchte Funktion: f(x) = tx 2 + c Bedingungen: f(4) = 0, also 16t + c = 0, also c = 16t Ergo: f t (x) = tx 2 16t

12 Der Bahndamm In einem ebenen Gelände soll für eine neue Bahntrasse auf einer Strecke von 3 km der zugehörige Bahndamm neu errichtet werden. Dabei sollen die folgenden, in der Abbildung angedeuteten Bedingungen eingehalten werden: Die Hangkurven auf den Intervallen [ 16; 10] und [0; 6] sind achsensymmetrisch zueinander. Für die Kurve auf dem Intervall [0; 6] wird angenommen, dass sie einer ganzrationalen Funktion dritten Grades entspricht, die bei x = 0 einen Hochpunkt hat. Wie die Grafik zeigt befinden sich bei x = 4 und bei x = 6 Nullstellen. a) Rekonstruiere aus den gegebenen Daten die Funktionsgleichung für die Kurve auf dem Intervall [0; 6]. [zur Kontrolle: f(x) = 5 48 x x2 + 6] b) Damit das Material nicht abrutscht, darf die Steigung am Hang maximal 65 o betragen. Wird dieser Wert eingehalten? c) Welche Tiefe hat die Rinne an ihrer tiefsten Stelle? d) Wie groß (in m 3 ) ist die für den Bau des Damms heranzuschaffende Menge an Erde? Bedenke dabei auch den Aushub! e) Ein Alternativvorschlag geht von einem einfachen gleichschenkligen Trapez ABCD aus. Welcher Vorschlag ist bezüglich der zu beschaffenden Erde günstiger? Auf welche Stelle auf der x-achse müsste der Punkt B verschoben werden, damit die zu beschaffende Erde bei beiden Vorschlägen gleich groß ist? f) Die Planungskommission möchte zur Überprüfung auch die Funktionsgleichung für den Damm über dem Intervall [ 16; 10] kennen. Bestimme diese mit Hilfe von Symmetrieüberlegungen und Verschiebung entlang der x-achse. Cornelsen

13 Zwei Graphen Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Gleichungen f(x) = kxe 1 2x und g(x) = kx 2 e 1 2x, x R, kgeq0. In der Abbildung sind die zugehörigen Graphen G f und G g dargestellt. a) Begründe, dass die Zuordnung im Koordinatensystem korrekt erfolgt ist. b) Es wird behauptet, dass der Hochpunkt von G g mit dem Wendepunkt von G f zusammenfällt. Prüfe diese Behauptung. c) Zeige, dass es genau zwei Stellen gibt, an denen f und g die gleiche Steigung haben. d) Weise nach, dass S(x) = k 2 x2 e 1 2x eine Stammfunktion von s(x) = f(x) g(x) ist. e) Für welchen Wert von k schließen die beiden Graphen auf dem Intervall von 0 bis zur Schnittstelle der Graphen eine Fläche von 1 FE ein? f) Es sei k = 3. Die Gerade zu x = u schneidet die Graphen in den Punkten A und B. Der Punkt C(0 1) liegt auf der y-achse. Für welchen Wert von u ist der Inhalt des Dreiecks ABC am größten? Hängt das Ergebnis überhaupt von k ab? Cornelsen

14 Stausee Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst wird er mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch z(x) = (x 2 10x + 24) e 1 2 x Der Graph von z ist rechts abgebildet. Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Kubikmeter pro Tag angegeben. Betrachtet wird das Intervall [0; 6, 5], d.h.: 0 x 6, 5. Hinweis: Eine negative Zulaufrate bedeutet, dass Wasser aus dem Stausee herausläuft. Ohne eigene Herleitung dürfen Sie im Weiteren z (x) = ( 1 4 x2 1 2 x 2) e 1 2 x und z (x) = ( 1 8 x x 3 2) e 1 2 x verwenden. a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft. b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal ist. Zeigen Sie, dass z (x) = ( 1 2 x2 3x + 2 ) e 1 2 x gilt. c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 möglich sind. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert. e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen. f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x = 0 befinden sich bereits Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch w(x) = x 3 12x x. Dabei wird x wieder in Tagen angegeben und w(x) in Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach 3 Tagen. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

15 Stausee - Lösung zu a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft. Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt, sind x = 4 und x = 6 (also am Ende des 4. Tages und am Ende des 6. Tages). Dieses Ergebnis ergibt sich aus z(x) = 0 (x 2 10x + 24) e 1 2 x = 0 x 2 10x + 24 = 0 e 1 2 x = 0 x 2 10x + 24 = 0 x = 4 x = 6 Das Zulaufen von Wasser ist gleichbedeutend mit z(x) > 0, das Ablaufen von Wasser ist gleichbedeutend mit z(x) < 0. Hieraus ergibt sich, dass für 0 x < 4 Wasser zuläuft, für 4 < x < 6 Wasser abläuft und für x > 6 wieder Wasser zuläuft. zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal ist. Zeigen Sie, dass z (x) = ( 1 2 x2 3x + 2 ) e 1 2 x gilt. Das gesuchte Maximum liegt entweder an den Rändern oder an einem relativem Maximum vor. Für das Auffinden relativer Maxima benötigen wir die erste Ableitung. z(x) = (x 2 10x + 24) e 1 2 x u(x) = x 2 10x + 24 u (x) = 2x 10 v(x) = e 1 2 x v (x) = 2 1 e 1 2 x z (x) = (2x 10) e 2 1 x + (x 2 10x + 24) 1 2 e 1 2 x = (2x 10) e 2 1 x + ( 1 2 x2 5x + 12 ) e 1 2 x = ( 2x x2 5x + 12 ) e 1 2 x = ( 1 2 x2 3x + 2 ) e 2 1 x Wir suchen nun relative Extrema: Notwendige Bedingung: z (x) = 0 z (x) = 0 ( 1 2 x2 3x + 2 ) e 2 1 x = x2 3x + 2 = 0 e 2 1 x = x2 3x + 2 = 0 x 2 6x + 4 = 0 x = 3 5 x = 3 5 x 0,763 x 5,236 Hinreichende Bedingung: z (x) = 0 z (x) 0 z (3 ( 1 5) = 4 (3 5) (3 ) 5) 2 e 1 2 (3 5) 3,276 < 0 z (3 + ( 1 5) = 4 (3 + 5) (3 + ) 5) 2 e 1 2 (3+ 5) 30,654 > 0 Bei x = 3 5 liegt also ein Hochpunkt und bei x = ein Tiefpunkt vor. Mit z(3 5) 24,826 und z(3 5) 12,945 erhalten wir H(0,763 24,826) als Hochpunkt und T(5,236 12,945) als Tiefpunkt. Wegen z(0) = 24 < 24,826 < 32,238 = z(6,5) nimmt z sein absolutes Maximum auf dem Rand des Definitionsbereichs an, nämlich bei x = 6,5.

16 zu c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 möglich sind. Mit z(5) 12, erfahren wir, dass die Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 sehr stark abnimmt (zum Vergleich: z(3 5) 12,945, siehe 2.). Wäre die Zulaufrate einen ganzen Tag lang so niedrig wie zum Zeitpunkt x = 5, würden etwa ,5 m 3 Wasser ablaufen. zu d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert. Die größte Änderung von z liegt an einer Extremstelle von z (also an einer Wendestelle von z) oder am Rand vor. Wir suchen daher zunächst nach Wendestellen: Notwendige Bedingung: z (x) = 0 z (x) = 0 ( 1 4 x2 1 2 x 2) e 2 1 x = x2 1 2 x 2 = 0 e 2 1 x = x2 1 2 x 2 = 0 x 2 2x 8 = 0 x = 2 x = 4 Hinreichende Bedingung: z (x) = 0 z (x) 0 z (4) = ( ) 3 1 e ,084 > 0 x = 2 liegt außerhalb des Definitionsbereiches. Aus z (0) = 2, z (4) 14,778 und z (6.5) 93,490 entnehmen wir, dass sich die Zulaufrate zum Zeitpunkt x = 6,5 am stärksten ändert. zu e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen. Die Menge zufließenden Wassers wird repräsentiert durch die Flächen oberhalb der x- Achse, die Menge abfließenden Wassers wird repräsentiert durch die Fläche unterhalb der x-achse. Da letztere ersichtlich wesentlich kleiner ist als die Fläche, die für den ersten Zulauf steht (also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-achse über dem Intervall [0; 4]), wird die Anfangswassermenge nicht wieder erreicht. zu f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x = 0 befinden sich bereits Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch w(x) = x 3 12x x. Dabei wird x wieder in Tagen angegeben und w(x) in Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach 3 Tagen. 3 In den ersten 3 Tagen kommen x 3 12x xdx Bakterien hinzu, d. h. für die Anzahl W der Bakterien zum Zeitpunkt x = 3 gilt: 0 3 W(3) = W(0) x 3 12x xdx. Wegen 3 x 3 12x xdx = [ 1 4 x4 4x ,5x 2] 3 = 69,75 gibt es nach 3 Tagen W(3) = = Bakterien. 0

17 Arzneimittelkonzentration Bei einer Arznei, z. B. einer Tablette, steht die Wirkung (z. B. Schmerzlinderung o.a.) in direktem Zusammenhang mit der Konzentration des in der Arznei enthaltenen Wirkstoffes im Blut, d.h., bei hoher Konzentration des Wirkstoffes verspurt der Patient eine intensive Wirkung. Die Konzentration des Wirkstoffes im Blut wird in µg pro Liter angegeben. Die nachfolgende Graphik zeigt die Änderungsrate der Konzentration in µg pro Liter je Stunde in Abhangigkeit von der Zeit t in h. Dabei ist t die Zeit in h seit Beginn der Einnahme (t = 0). Änderungsrate in µg pro Liter / h t in h a) Gib die Zeitintervalle an, in denen die Wirksamkeit zunimmt und die Zeitintervalle, in denen die Wirksamkeit abnimmt. Begründe deine Aussagen. b) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Wirkstoffes am größten ist und begründe dein Ergebnis. c) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am größten ist und begründe dein Ergebnis. d) Die Wirksamkeit der Arznei wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(t) = 3t e 2 t (t 0) beschrieben. Dabei beschreibt f(t) die Konzentration des Wirkstoffes im Blut (gemessen in µg pro Liter) zur Zeit t (gemessen in h seit der Einnahme). Weise unter Verwendung von f rechnerisch nach, dass dein Ergebnis aus Teilaufgabe b) korrekt ist. (Falls du b) nicht gelöst hast, berechne nun den in b) gesuchten Zeitpunkt). Berechne auch die Höhe der Konzentration zu diesem Zeitpunkt. e) Begründe, dass das Vorzeichen von f durch den Term 3 3t bestimmt wird, und erkläre mit Hilfe dieser Aussage nachträglich den Verlauf des abgebildeten Graphen. f) Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Wirksamkeit der Arznei. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

18 Arzneimittelkonzentration - Lösung zu a) Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen die Wirksamkeit zunimmt und die Zeitintervalle, in denen die Wirksamkeit abnimmt. Begründen Sie Ihre Aussagen. Die Wirksamkeit nimmt zu, solange die Änderungsrate der Konzentration positiv ist, und sie nimmt ab, sobald die Änderungsrate der Konzentration negativ ist; also: die Wirksamkeit nimmt zu im Intervall 0 < x < 1, und sie nimmt ab für x > 1. zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Wirkstoffes am größten ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. Aus a) folgt sofort, dass die Konzentration zum Zeitpunkt x = 1 am größten ist, denn für x > 1 nehmen die Konzentration und damit auch die Wirksamkeit ab. zu c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am größten ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. Hier suchen wir das Minimum der Änderungsrate; dieses liegt, wie der Graph zeigt, bei x = 2. zu d) Die Wirksamkeit der Arznei wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(t) = 3t e 2 t (t 0) beschrieben. Dabei beschreibt f(t) die Konzentration des Wirkstoffes im Blut (gemessen in µg pro Liter) zur Zeit t (gemessen in h seit der Einnahme). Weisen Sie unter Verwendung von f rechnerisch nach, dass Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe b) korrekt ist. (Falls Sie b) nicht gelöst haben, berechnen Sie nun den in b) gesuchten Zeitpunkt). Berechnen Sie auch die Höhe der Konzentration zu diesem Zeitpunkt. Dass für t = 0 und für t = die Konzentration = 0 ist, liegt auch ohne Rechnung auf der Hand. Also ist hier das relative Maximum auch das absolute Maximum: Für dessen Bestimmung benötigen wir die ersten beiden Ableitungen: f(t) = 3t e 2 t u(t) = 3t u (t) = 3 v(t) = e 2 t v (t) = e 2 t f (t) = 3 e 2 t + 3t ( e 2 t ) u(t) = 3 3t u (t) = 3 = (3 3t) e 2 t v(t) = e 2 t v (t) = e 2 t f (t) = 3 e 2 t + (3 3t) ( e 2 t ) = ( 6 + 3t) e 2 t Notwendige Bedingung: f (t) = 0 f (t) = 0 (3 3t) e 2 t = 0 3 3t = 0 e 2 t = 0 3 3t = 0 t = 1 Hinreichende Bedingung: f (t) = 0 f (t) 0 f (1) = ( 6 + 3) e 2 1 = 3 e 8,155 < 0 Bei t = 1 liegt also ein Hochpunkt vor. Mit f(1) = 3 e 8,155 erhalten wir T(1 8,155)

19 als Hochpunkt. Für t = 1 haben wir also die höchste Konzentration des Wirkstoffs im Blut, nämlich 8,155 µg pro Liter. zu e) Begründen Sie, dass das Vorzeichen von f durch den Term 3 3t bestimmt wird, und erklären Sie mit Hilfe dieser Aussage nachträglich den Verlauf des abgebildeten Graphen. Der Funktionsterm von f (t) ist ein Produkt aus zwei Faktoren, nämlich 3 3t und e 2 t. Weil e 2 t positiv ist für alle t, hängt das Vorzeichen von f nur von 3 3t ab, d. h. f ist positiv, wenn 3 3t > 0, wenn also t < 1, und f ist negativ, wenn 3 3t < 0, wenn also t > 1. Genau dies zeigt der Graph. zu f) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Wirksamkeit der Arznei. Die Wirksamkeit der Arznei nimmt zunächst rasch zu und erreicht nach einer Stunde ihren Höhepunkt (Konzentration: 8,154 µg pro Liter). Danach nimmt sie fast ebenso rasch wieder ab. Nach 4 Stunden liegt die Konzentration nur noch bei 1,624 µg pro Liter, nach 6 Stunden bei 0,3296 µg pro Liter und nach 8 Stunden nur noch bei 0,059 µg pro Liter. Entsprechend gering ist die Wirkung.

20 Eine merkwürdige Pflanze Die Wachstumsrate einer sehr merkwürdigen Pflanze kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion f mit f(t) = ( t 2 + t + 3 4) e t 1 2 und t [ 0 ; 2,1 ]. Dabei steht t für die Zeit in Stunden ab Beginn der Messung und f(t) für den Höhenzuwachs in Meter pro Stunde. Zu Beginn der Untersuchung ist die Pflanze 20 cm hoch. Hinweis: Ohne Rechnung darf vorausgesetzt werden, dass dort, wo die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt ist, auch tatsächlich eine Wendestelle vorliegt. a) Bestimme die Nullstellen von f und erläutere ihre Bedeutung. b) Ermittle den Zeitpunkt, [ an dem die Pflanze am schnellsten wächst. ] Nur zum Vergleich: f (t) = ( t 2 t + 1,75) e t 1 2 c) Ermittle den Zeitpunkt, an dem sich die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze am stärksten verändert. d) Zeige, dass die Funktion F mit F(t) = ( t 2 + 3t 2,25 ) e t 1 2 eine Stammfunktion von f ist. e) Gib denjenigen Zeitpunkt an, an dem die Pflanze ihre größte Höhe erreicht hat. Ermittle, wie hoch die Pflanze zu diesem Zeitpunkt ist. f) Erläutere, warum der Definitionsbereich von f auf das Intervall [ 0 ; 2,1 ] beschränkt ist. Ermittle, wie hoch die Pflanze zum Zeitpunkt t = 2,1 nach diesem Modell wäre. g) Die Wachstumsrate einer zweiten Pflanze kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion g mit g(t) = ( 2t t 2) e t 1 2 Untersuche, ob es einen Zeitpunkt gibt, an dem beide Pflanzen gleich schnell wachsen.

21 Radioaktiver Zerfall Beim radioaktiven Zerfall einer Substanz S 1 beschreibt m 1 (t) die Masse der noch nicht zerfallenen Substanz zum Zeitpunkt t. Dabei wird m 1 (t) in mg und t in Stunden nach Beobachtungsbeginn angegeben. Es gilt: m 1 (t) = 100 e 0,5t. a) Gib an, wie groß die Masse der Substanz S 1 am Beobachtungsbeginn war. Berechne die Halbwertszeit dieses Zerfalls, d.h. die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Substanz vorhanden ist. Bestimme die nach 6 Stunden bereits zerfallene Masse. Das Zerfallsprodukt der radioaktiven Substanz S 1 ist die Substanz S 2. Auch diese Substanz ist radioaktiv und zerfällt demzufolge weiter. Für die Masse m 2 (t) der noch nicht zerfallenen Substanz S 2 gilt dann: m 2 (t) = 100 e 0,5t (1 e 0,5t ). b) Berechne, wie viel an Substanz S 2 zum Zeitpunkt t = 0 vorhanden ist und interpretiere dieses Ergebnis. Begründe, dass es zu einem gewissen Zeitpunkt eine maximale Masse der Substanz S 2 geben muss und berechne den Zeitpunkt und die zugehörige Menge. c) Zeichne die Graphen von m 1 und von m 2 in ein Koordinatensystem ein. Gegeben ist die Funktion g durch g(x) = 50 e 0,5x e x (x R + ). d) Bestimme die Null- und Extremstellen von g. Beschreibe das Verhalten von g für x. Zeichne auch den Graphen von g in dein Koordinatensystem ein. Zeige, dass die Funktion m 2 eine Stammfunktion zur Funktion g ist. e) Bestimme den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen von g, der x-achse und der y- Achse begrenzt wird. Interpretiere die Bedeutung des Integrals t g(x) dx. 0 Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Jahr 1998 in Baden-Württemberg als Abituraufgabe für den Grundkurs gestellt.

22 Ableitung und Stammfunktion Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit der Gleichung f(x) = (x 2 + 2x + 1) e x ; x R a) Bestimme für die Funktion f die Achsendurchschlagspunkte, das Verhalten im Unendlichen und die relativen Extrema. b) Gegeben sind die Graphen der Funktion f, der Graph ihrer Ableitungsfunktion f und der Graph einer Stammfunktion F von f. Begründe möglichst vielseitig, dass nur Abb. 1 den Graphen von f darstellen kann. Entscheide, welcher Graph f und welcher Graph F darstellt und begründe deine Entscheidung. Abb. 1 Abb. 2 Abb. 3 c) Der Graph von f schließt im I. Quadranten mit der x-achse eine Fläche ein. Zeige, dass die Funktion F mit F(x) = ( x 2 4x 5) e x + 3 eine Stammfunktion zu f ist. Berechne den Inhalt der oben beschriebenen Fläche. Zeichne den Graphen der Funktion g mit g(x) = e x in Abb. 1 ein. Dieser Graph teilt die soeben berechnete Fläche in zwei Teile. Berechne das Teilverhältnis. b d) Gegeben ist das Integral (f(x) g(x))dx. Für immer größer werdende Werte von b 2 nähert sich der Integralwert dem Wert 0. Interpretiere dieses Ergebnis hinsichtlich der von den Graphen der Funktionen f und g insgesamt eingeschlossenen Fläche. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

23 Vektorgeometrie

24 Flugbahnen Bei der Flugsicherung des Sportflughafens herrscht Alarmzustand: Bert Bruch hat sich soweit von den Folgen seiner letzten Landung erholt, dass er wieder in einem Flugzeug sitzen kann. Er befindet sich derzeit im Anflug auf die Landebahn mit den Eckpunkten A( ), B( ), C( ) und D( ) (1 Einheit = 1 m) Berts Flugbahn zur Landung verläuft entlang einer Geraden. Er befindet sich zum Zeitpunkt t (in s) im Punkt X(t) mit 100 0,1 X (t) = t ,75 1,5 a) Zeige, dass die vier Eckpunkte der Landebahn in einer Ebene liegen und ein Rechteck bilden. b) Bestimme den Abstand der Flugbahn von der (näherungsweise als punktförmig betrachteten) Flugsicherung in F(0 0 8). c) Damit Bert nicht schon wieder eine Bruchlandung macht, muss er natürlich im Bereich der Landebahn aufsetzen. Seine oben angegebene Flugbahn darf beim Aufsetzen nicht um mehr als 6 o gegen die Landebahn geneigt sein. Prüfe, ob Bert beiden Bedingungen gerecht wird und es diesmal schafft. d) Auch ein zweites Flugzeug im Bereich des Sportflughafens bewegt sich entlang einer Geraden. Es befindet sich zum Zeitpunkt t im Punkt Y(t) mit 53 2 Y (t) = t ,75 4 Weise nach, dass die Flugbahn von Bert Bruchs Flugzeug die Flugbahn dieses Flugzeuges schneidet. Begründe, dass es trotzdem nicht zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt. e) Berechne, wo sich die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t = 50 befinden. Berechne außerdem den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt. f) Bestimme den Abstand d(t) der beiden Flugzeuge zu einem beliebigen Zeitpunkt t. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt die beiden Flugzeuge ihren kleinsten Abstand haben. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

25 Flugbahnen In einem räumlichen Koordinatensystem beschreibt die x-y-ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die x-achse weise in die Ostrichtung und die y-achse in die Nordrichtung. Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P steigt das Flugzeug F 1 näherungsweise geradlinig auf. 10,5 21 Die Flugbahn von F 1 verläuft auf der Geraden g : x = 14 + t ,2 4 Ein zweites Flugzeug F 2 bewegt sich entlang der Geraden h : x = 9,6 + t Die Längeneinheit ist 1 km. a) Beschreibe die Himmelsrichtungen, in welche die beiden Flugzeuge fliegen. Das Flugzeug F 1 überfliegt in 6 km Höhe das Zentrum einer Stadt. Berechne den Abstand des Stadtzentrums vom Abhebepunkt P. Berechne den Steigungswinkel der Flugbahn von F 1. b) Als das Flugzeug F 1 in einer Wolkendecke verschwindet, hat es vom Punkt P einen Abstand von 37 km. Bestimme die Höhe, in welcher F 1 in die Wolkendecke eintaucht. c) Zeige, dass die Flugzeuge F 1 und F 2 auf den angegebenen Bahnen nicht kollidieren können. d) Bestimme den Abstand der beiden Flugzeuge für den Fall, dass sich F 2 genau über F 1 befindet. Entscheide, ob dieser Abstand mit dem Abstand der beiden Flugbahnen übereinstimmt. Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen einer Aufgabe in der KMK-EPA.

26 Eine Aufgabe wie jede andere Gegeben sind: 1 die Gerade g durch den Punkt P(2 1 1) und den Richtungsvektor a = 2 1 und die Gerade h t durch den Punkt Q(9 12 2) und den Richtungsvektor 2 b = t 3. a) Bestimme t so, dass sich die beiden Geraden schneiden, und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S. (Ergebnis: t = 1; S(6 9 7)) b) Bestimme die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von Q die Entfernung 3 11 haben. Erstelle dazu eine Skizze. (Ergebnis: A(6 9 7) = S, B(4 5 3)) c) Q sei der Spiegelpunkt von Q bzgl. der Geraden g. Trage Q in deine Skizze aus Teilaufgabe b) ein und berechne die Koordinaten von Q. d) Gib eine Koordinatengleichung der durch die Geraden g und h t= 1 gebildeten Ebene E an. (mögliches Ergebnis: 8x 5y+z = 10) Zeige, dass die Ebene F mit F : x + 2y + 2z = 29 senkrecht auf der Ebene E steht.

27 Haus mit Walmdach Ein Haus ist quaderförmig mit einem aufgesetzten Walmdach. Die Maßangaben in der Zeichnung sind in Meter. a) Bestimme die Gleichungen der Dachebenen E 1 und E 2 in Parameter- und in Normalenform. b) Berechne den Schnittwinkel der beiden Dachebenen E 1 und E 2. c) Ermittle, in welcher Höhe über dem Boden sich die Ebene E 1 und die (durch die Punkte G, H und J festgelegte) Ebene E 3 schneiden. ( ) ( ) d) Über dem Haus fliegt ein Vogel, dessen Flugbahn durch die Gerade g : x = +t beschrieben werden kann. Bestimme den minimalen Abstand des Vogels von der Geraden durch I und J und den minimalen Abstand des Vogels von der Ecke J. e) Ermittle den Ort, an dem der Vogel aus d) landen wird. Bestimme auch den Winkel, in dem der Vogel auf die Erde trifft. ( ) ( ) f) Ein weiterer Vogel fliegt auf der Flugbahn mit der Gleichung h a : x = Ermittle denjenigen Wert von a, für den sich die beiden Flugbahnen kreuzen t 2 a J(6 4 12) E I( ) H E 3 E 2 E 1 F G(2 7 8) C(2 7 0) A(16 4 0) B( )

28 Pyramide Gegeben seien die Punkte A(1 6 0), B(4 7 2), C(2 7 1), D(2 0 2). a) Es sei E die Ebene durch A, B, C. Stelle eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung für E auf. Zeige, daß D nicht in der Ebene E liegt. 24 b) Zeige, dass die Gerade g durch D mit dem Richtungsvektor v = 2 parallel zu E ist. Berechne ihren Abstand von E. 11 c) Die zu E orthogonale Ebene durch die Gerade g aus b) schneidet die Ebene E in einer Geraden h. Gib eine Gleichung für die Gerade h an. d) Die Gerade g AB durchstößt die zu g AB orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimme diesen Punkt und berechne die Länge der Strecke CF. Berechne dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. e) Berechne mit Hilfe der Ergebnisse in b) und d) das Volumen der Dreieckspyramide ABCD. f) Verifiziere dein Ergebnis aus e), indem du das Pyramidenvolumen mit Hilfe des Spatproduktes berechnest.

29 In Ägypten In Ägypten wurde eine außergewöhnliche Gruppe von Pyramiden entdeckt. Es handelt sich um zwei kleine Pyramiden, die keinerlei Kammern enthalten. Da eine astronomische Funktion vermutet wurde, wurden die Pyramiden sorgfältig vermessen. Der Koordinatenursprung wurde senkrecht unter die Spitze der ersten Pyramide auf Bodenhöhe gelegt, die positive x 1 -Richtung entspricht der Richtung Norden. Die Angaben sind in m. Für die Koordinaten der ersten Pyramide gilt: A(6, 5 16, 5 0), B(16, 5 6, 5 0), C( 6, 5 16, 5 0), D( 16, 5 6, 5 0) und E(0 0 24). a) Zeige, dass die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist und berechne den Flächeninhalt. b) Die Dichte des verwendeten Kalksteins beträgt 2,8 g/cm 3. Berechne die Masse der Pyramide. c) Ein Hinweis auf die astronomische Bedeutung ist die Abweichung der ersten Pyramide aus der Süd-Nord-Richtung. Sie entspricht der Ekliptik von 23,5 o. Überprüfe diese Übereinstimmung. d) Berechne den Winkel zwischen zwei Seitenflächen der Pyramiden. Für die zweite Pyramide gilt: F(36 3 0), G(36 3 0), H(24 3 0), I(24 3 0) und J( ). Auf der Seitenfläche der kleineren Pyramide, die der größeren zugewandt ist, entdeckte man eine kleine Öffnung, die jedoch nur zu einer kleinen, verschütteten Röhre führte. Es zeigte sich, dass der Schatten der Spitze der großen Pyramide am Tag der Wintersonnenwende genau auf diese Öffnung fiel. Daher vermutet man, dass die Röhre geradlinig zur gegenüberliegenden Seite der Pyramide führt, um damit diesen Tag genau bestimmen zu kön- 5 nen. Die Sonne scheint am Mittag der Wintersonnenwende in Richtung des Vektors 0. 3 e) Bestimme die Höhe, in der die zweite Öffnung der Röhre liegen sollte. f) Berechne den Abstand der Spitze E der ersten Pyramide von der Ebene, in der die Punkte F, G und J der zweiten Pyramide liegen.

30 Pyramide In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte A( 3 2 3), B(3 4 3), C( 1 4 3) und S(1 0 4, 5) Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S. a) Weise nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Stelle diese Pyramide in einem kartesischen Koordinatensystem dar. Berechne das Volumen dieser Pyramide. b) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, so dass das Viereck mit den Eckpunkten A, B, C und D ein Quadrat ist c) Eine Ebene E ist gegeben durch E : x = 4 +r 7 +s 1. Untersuche, welche Seitenfläche der Pyramide in der Ebene E liegt. d) Zeige, dass für jeden Wert r R der Punkt Q r ( 3 + 3r 2 r 3) auf der Geraden g durch die Punkte A und B liegt. Ermittle den Wert r, für den die Strecke OQ r senkrecht zur Geraden g liegt. Gib alle Werte r an, für die der Punkt Q r auf der Kante AB liegt.

31 Vierflach Durch die vier Punkte A(4 1 3), B(4 2 6), P(3 1 4) und Q(6,5 3,5 13) ist ein Vierflach gegeben. a) Zeige, dass die von A ausgehende Kanten 60 o -Winkel miteinander bilden. Zeige, dass das Vierflach nicht regelmäßig ist. Ermittle den Rauminhalt des Vierflachs. b) Senkrecht zur Fläche des Dreiecks ABQ verläuft durch den Punkt R(3,5 0,5 5,5) eine Gerade g. Der Punkt E auf dieser Geraden bilde mit den Punkten A, B, Q ein Vierflach mit dem Volumen 22,5 Raumeinheiten. Welche Koordinaten hat der Punkt E? Wie viele Lösungen gibt es? c) Ausgehend von dem gegebenen Vierflach ABPQ sollen nun die Eckpunkte eines regelmäßigen Vierflachs ABCD ermittelt werden: Die Eckpunkte A und B bleiben dabei erhalten, der Punkt C liege auf der Geraden AP und der Punkt D auf der Geraden AQ. Ermittle die Koordinaten von C und D. Begründe, dass durch A, B, C und D tatsächlich ein regelmäßiges Vierflach festgelegt ist. Für die folgenden Aufgabenteile sei nun C(1 1 6) und (5 2 7). d) Die gegenüberliegenden Kanten des regelmäßigen Vierflachs liegen ersichtlich (kein Beweis erforderlich) auf windschiefen Geraden. Zeige für ein Kantenpaar: Die Richtungsvektoren der windschiefen Geraden sind orthogonal. Ermittle den Abstand dieser Geraden. e) Die vier Eckpunkte des regelmäßigen Vierflachs liegen auf einer Kugel. Ermittle deren Gleichung.

32 Dreieckspyramide Gegeben sind die Punkte A( 6 8 7), B( 3 4 4), C(1 8 6) und D(9 4 2). a) Ermittle die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. [mögliches Ergebnis: 2x + y 2z = 18] b) Gib die Schnittpunkte S x, S y und S z der Ebene E mit den Koordinatenachsen an und zeichne das Dreieck S x S y S z in ein Koordinatensystem ein. (1 LE = 0,5 cm, Verkürzungsfaktor in x-richtung: 1 2 2) c) Zeige, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechne den Abstand des Punktes D von der Ebene E. d) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, den man durch Spiegelung des Punktes D an der Ebene E erhält. e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet k f) Durch h k : x = 8 + t 2 2k (t, k R) ist eine Geradenschar mit dem k gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeige, dass alle Geraden der Schar in der Ebene E liegen. g) Entscheide, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar h k ist. h) Berechne den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h 5 einschließt.

33 Dreieckspyramide - Lösung Gegeben sind die Punkte A( 6 8 7), B( 3 4 4), C(1 8 6) und D(9 4 2). zu a) Ermittle die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. [mögliches Ergebnis: 2x + y 2z = 18] Als Parameterform ergibt sich E : X = 8 + r 12 + s Bestimmung des Normalenvektors: = 18, also n = Ergo ist E : 6 2 X 8 1 = Für die Koordinatenform ergibt sich durch Ausmultiplizieren 2x + y 2z = 18. zu b) Gib die Schnittpunkte S x, S y und S z der Ebene E mit den Koordinatenachsen an und zeichne das Dreieck S x S y S z in ein Koordinatensystem ein. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S x (x 0 0):2x = 18:x = 9:S x ( 9 0 0) S y (0 y 0):y = 18:S y (0 18 0) S z (0 0 z):2z = 18:z = 9:S z (0 0 9) zu c) Zeige, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechne den Abstand des Punktes D von der Ebene E. Einfach einsetzen: ( 4) 2 ( 2) = Für den Abstand gilt: = = = 12 3 zu d) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, den man durch Spiegelung des Punktes D an der Ebene E erhält. D ( ) zu e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet. A = 27 und V Pyr = 108 zu f) Durch h k : k x = 8 + t 2 2k (t, k R) ist eine Geradenschar mit dem gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeige, dass alle Geraden der Schar in der Ebene E liegen k h k E : 2 ( 6+t+2kt)+(8+2t 2kt) 2 (7+2t+kt) = 12+2t+4kt+8+2t 2kt 14 4t 2kt = 18

34 Unabhängig von k ist die Gleichung wahr, d. h. jede Gerade der Schar liegt in E. zu g) Entscheide, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar h k ist. Ja, da A h k (das ist trivial) und C h k : k k 7 = t + 2kt 8 = 8 + t 2 2k 16 = t 2 2k 16 = 2t 2kt k k 1 = 2t + kt Dieses Gleichungssystem führt zu t = 3 und k = 5 3. zu h) Berechne den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h 5 einschließt cos(ϕ) = 0, 73994, also ϕ 42, o. 16 1

35 Vierecke und Pyramiden In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3 3 2), B(5 7 2), C(1 9 6), D( 1 5 2) und P a ( 4 2a a) gegeben. a) Die Punkte A, B und C bestimmen eine Ebene E. Ermittle je eine Gleichung der Ebene E in Parameterform und in parameterfreier Form. Für genau einen Wert a liegt der zugehörige Punkt P a in der Ebene E. Berechne die Koordinaten dieses Punktes. b) Es existiert mindestens ein Punkt F, so dass die Punkte A, B, C und F Eckpunkte eines Trapezes mit den folgenden Eigenschaften (1) und (2) sind: (1) AB FC, (2) eine der beiden parallelen Seiten ist doppelt so lang wie die andere der parallelen Seiten. Berechne die Koordinaten eines solchen Punktes F. Ermitte alle Trapeze mit den Eigenschaften (1) und (2). c) Zeige, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. Das Viereck ABCD ist Grundfläche von Pyramiden mit der Höhe 65. Berechne das Volumen einer solchen Pyramide. Es gibt genau zwei solche Pyramiden, deren Höhen parallel zur Geraden g mit der 1 2 Gleichung x = 3 + t 6 verlaufen und die den Diagonalenschnittpunkt der 2 5 Grundfläche als Höhenfußpunkt haben. Ermittle die Koordinaten aller Punkte, die Spitzen dieser Pyramiden sein können. Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen einer Aufgabe in der KMK-EPA.

36 Zelt Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Längen der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 2,0 m. a) Bestimme die Neigungswinkel der Pyramidenkanten gegenüber der Bodenfläche. Benachbarte Seitenflächen bilden einen stumpfen Winkel. Bestimme dessen Größe. b) In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung ABCD in Form eines symmetrischen Trapezes. C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der Strecke AS. Die Strecke AB hat die Länge 1,0 m. Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die Einstiegsöffnung? c) Zur Beleuchtung wird im Zeit eine Lampe aufgehängt, die im Folgenden als punktförmige Lichtquelle betrachtet worden soll. Ihr Licht dringt durch die Einstiegsöffnung nach außen und erzeugt auf dem Boden vor dem Zelt das Bild ABC D der Einstiegsöffnung als Lichtteppich. Berechne die Länge der Strecke C D, wenn sich die Lampe 25 cm unter der Zettspitze befindet. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Jahr 2004 in Baden-Württemberg als Abituraufgabe gestellt.

37 Turm Ein Turm besitzt die Form eines Quaders ABCDEFGH mit einer aufgesetzten geraden Pyramide mit der Spitze S. Die Höhe des Turmes beträgt 14 m. Die Koordinaten folgender Punkte A(3 2 0), B(7 5 0), C(4 9 0), G(4 9 10) sind gegeben. (1 LE entspricht 1 m) a) Zeige, dass die Strecken AB und BC gleich lang sind. Die Grundfläche des Turms ist ein Quadrat. Ermittle die Koordinaten des Punktes D. Gib die Koordinaten der restlichen Punkte an und zeichne den Turm in ein kartesisches Koordinatensystem ein. b) Das Dach des Turmes soll mit Kupfer gedeckt werden. Dazu müssen alle Winkel einer Dachfläche ermittelt werden. Berechne die Größen der Winkel sowie den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche. Wie viel Quadratmeter Kupfer benötigt man zur Eindeckung des gesamten Daches, wenn 5 % Verschnitt zu berücksichtigen sind? c) Um das Dach zu sichern, werden Stützbalken eingezogen. Der eine Balken verläuft vom 32 Mittelpunkt der Dachkante EH in Richtung 24 zur Dachfläche FGS. 25 Zeige, dass dieser Balken senkrecht auf der Fläche FGS steht und berechne seine Länge! Der zweite Balken verläuft vom Punkt E zur Dachkante GS, dabei teilt das Ende des Balkens die Kante GS im Verhältnis 1 : 3. Ermittle auch die Länge dieses Balkens.

38 Turm Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Länge der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 6 m. a) Es werden Stützbalken eingezogen. Jeder Balken ist in einer der Quadratecken verankert und stützt den jeweils gegenüberliegenden Dachkantenbalken senkrecht ab. Berechne die Länge der Stützbalken. Welchen Abstand hat ihr Kreuzungspunkt zu den Dachflächen? b) Welcher Punkt im Innern der Pyramide hat von den Dachflächen und der Grundfläche denselben Abstand?

39 Kiste Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinatensystem durch die Eckpunkte A(0 0 0), B(3 0 0), D(0 5 0) und F(3 0 4) festgelegt. Die Fläche EFGH stellt den Deckel der geschlossenen Kiste dar. Dieser ist drehbar um die Kante EH. Weiterhin ist für jedes t 0 eine Ebene Et gegeben durch: E t : tx 1 x 3 = 4. a) Berechne den Abstand zwischen den Kanten AB und GH. Zeige, dass die Gerade durch E und H in jeder Ebene E t liegt. In welcher Ebene E t liegt der Deckel bei geschlossener Kiste? Liegt der Deckel in eine Ebene E t, wenn er um 90 o geöffnet ist? b) Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E 2 liegt, wird er durch einen Stab orthogonal zum Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifft im Punkt P auf den Deckel. Berechne die Koordinaten von P. c) Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in E 2 liegt? In welcher Ebene E t liegt der Deckel, wenn der Öffnungswinkel 60 o beträgt? Bestimme den Parameter t in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel α für α < 90 o. d) Eine punktförmige Lichtquelle in L(0 2,5 20) beleuchtet die Kiste. Wie weit kann man die Kiste höchstens öffnen, ohne dass Licht von L in die Kiste fällt?

40 Kiste - Lösung Es ist sinnvoll, zunächst die Koordinaten aller Punkte festzuhalten: A(0 0 0), B(3 0 0), C(3 5 0), D(0 5 0), E(0 0 4), F(3 0 4), G(3 5 4), H(0 5 4), L(0 2,5 20) zu a) Berechne den Abstand zwischen den Kanten AB und GH. Weil AB und GH parallel sind, gilt: d(ab, GH) = D(A, H) = = 41 6,403. Zeige, dass die Gerade durch E und H in jeder Ebene E t liegt. Die Punktprobe für E(0 0 4) führt ebenso wie die für H(0 5 4) zur wahren Aussage t 0 4 = 4. In welcher Ebene E t liegt der Deckel bei geschlossener Kiste? F E t führt zu 3t 4 = 4, also t = 0; bei geschlossener Kiste liegt der Deckel also in E 0. Liegt der Deckel in eine Ebene E t, wenn er um 90 o geöffnet ist? Wenn der Deckel um 90 o geöffnet ist, liegt er in der von E t verschiedenen Ebene F : x 1 = 0. Zudem gilt für den Winkel α zwischen E EFH und E t : cos(α) = 0 t t = 1 t , also α 90o. zu b) Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E 2 liegt, wird er durch einen Stab orthogonal zum Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifft im Punkt P auf den Deckel. Berechne die Koordinaten von P. Gesucht ist der Schnittpunkt der Stabgerage g Stab mit E 2. g Stab verläuft durch M EF in Richtung des Normalenvektors von E 2, also 1,5 2 g Stab : x = 0 + t g Stab E 2 führt zu 2 (1,5 + 2t) (4 t) = 4 t = 3 5 ; daher ist P = 1, = P( ).