Allgemeine Relativitätstheorie

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Joseph Kraus
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1 Allgemeine Relativitätstheorie (ART) c 1 /4h by sphere, powered by LAT E X

2 was soll das alles überhaupt?

3 was soll das alles überhaupt? ˆ damals : Newton-Mechanik

4 was soll das alles überhaupt? ˆ damals : Newton-Mechanik ˆ Einstein: Spezielle Relativitätstheorie (SRT)

5 was soll das alles überhaupt? ˆ damals : Newton-Mechanik ˆ Einstein: Spezielle Relativitätstheorie (SRT)

6 was soll das alles überhaupt? ˆ Einstein: Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

7 was soll das alles überhaupt? ˆ Einstein: Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

8 was soll das alles überhaupt? ˆ Einstein: Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ˆ Relativistische Gravitationstheorie

9 was soll das alles überhaupt? ˆ Einstein: Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ˆ Relativistische Gravitationstheorie ˆ Ersetze Inertialsysteme

10 was soll das alles überhaupt? ˆ Einstein: Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ˆ Relativistische Gravitationstheorie ˆ Ersetze Inertialsysteme ˆ Grenzfälle: SRT, Newton

11 Diffeomorphismen-Invarianz

12 Diffeomorphismen-Invarianz ˆ statt IS: Naturgesetze koordinatenunabhängig

13 Diffeomorphismen-Invarianz ˆ statt IS: Naturgesetze koordinatenunabhängig ˆ Äquivalenzprinzip:

14 Diffeomorphismen-Invarianz ˆ statt IS: Naturgesetze koordinatenunabhängig ˆ Äquivalenzprinzip: ˆ Freier Fall schwerelos (lokales IS) }{{} SRT valide

15 Diffeomorphismen-Invarianz ˆ statt IS: Naturgesetze koordinatenunabhängig ˆ Äquivalenzprinzip: ˆ Freier Fall schwerelos (lokales IS) }{{} SRT valide

16 Diffeomorphismen-Invarianz ˆ statt IS: Naturgesetze koordinatenunabhängig ˆ Äquivalenzprinzip: ˆ Freier Fall schwerelos (lokales IS) }{{} SRT valide ˆ Gravitation lokal wegtransformierbare Scheinkraft

17 Äquivalenzprinzip ˆ Global: Gezeitenfeld verdreht Lichtkegel

18 Äquivalenzprinzip ˆ Global: Gezeitenfeld verdreht Lichtkegel ˆ dynamisches Metrikfeld

19 Raumzeit als Mannigfaltigkeit

20 Raumzeit als Mannigfaltigkeit Def.: Die Menge (M, g) heißt genau dann wenn: ˆ pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit,

21 Raumzeit als Mannigfaltigkeit Def.: Die Menge (M, g) heißt genau dann wenn: ˆ pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit, ˆ M ist topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis

22 Raumzeit als Mannigfaltigkeit Def.: Die Menge (M, g) heißt genau dann wenn: ˆ pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit, ˆ M ist topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ˆ lokal homöomorph zur flachen Raumzeit

23 Raumzeit als Mannigfaltigkeit Def.: Die Menge (M, g) heißt genau dann wenn: ˆ pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit, ˆ M ist topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ˆ lokal homöomorph zur flachen Raumzeit ˆ g ist pseudometrischer Tensor

24 Raumzeit als Mannigfaltigkeit Def.: Die Menge (M, g) heißt genau dann wenn: ˆ pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit, ˆ M ist topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis ˆ lokal homöomorph zur flachen Raumzeit ˆ g ist pseudometrischer Tensor

25 Geometrische Effekte

26 Geometrische Effekte ˆ Geodätische Weltlinien

27 Geometrische Effekte ˆ Geodätische Weltlinien ˆ Gravitationsfeld = Variationen im metrischen Tensor

28 Geometrische Effekte ˆ Geodätische Weltlinien ˆ Gravitationsfeld = Variationen im metrischen Tensor ˆ Gravitationspotential = Zeit- und Raumkomponenten der Metrik

29 Geometrische Effekte ˆ Geodätische Weltlinien ˆ Gravitationsfeld = Variationen im metrischen Tensor ˆ Gravitationspotential = Zeit- und Raumkomponenten der Metrik ˆ Gravitative Zeitdehnung + Längenkontraktion

30 Geometrische Effekte ˆ Geodätische Weltlinien ˆ Gravitationsfeld = Variationen im metrischen Tensor ˆ Gravitationspotential = Zeit- und Raumkomponenten der Metrik ˆ Gravitative Zeitdehnung + Längenkontraktion ˆ Gezeitenfeld = Krümmung der Raumzeit

31 Quellen des Gezeitenfelds

32 Quellen des Gezeitenfelds ˆ SRT: E = mc 2 Energie gravitiert und ist Quelle

33 Quellen des Gezeitenfelds ˆ SRT: E = mc 2 Energie gravitiert und ist Quelle ˆ Energie-Impuls-Tensor: (T µν ) = Energiedichte Impulsdichte D r T 21 Impulsdichte T 12 T 13 u T 31 T 32 T 23 c k

34 Feldgleichungen

35 Feldgleichungen ˆ Energie ist Raumzeitkrümmung: R µν Rµ µ 2 g µν + Λg µν = 8πG T c 4 µν

36 Feldgleichungen ˆ Energie ist Raumzeitkrümmung: R µν Rµ µ 2 g µν + Λg µν = 8πG T c 4 µν ˆ 10 unabhängige Gleichungen!

37 Feldgleichungen ˆ Energie ist Raumzeitkrümmung: R µν Rµ µ 2 g µν + Λg µν = 8πG T c 4 µν ˆ 10 unabhängige Gleichungen!

38 Lösungen: SRT Limit

39 Lösungen: SRT Limit ˆ Massendichten: Newtonsches Gravitationsgesetz (statisches Feld)

40 Lösungen: SRT Limit ˆ Massendichten: Newtonsches Gravitationsgesetz (statisches Feld) ˆ Massenströme: gravitomagnetisches Feld + Lorentzkraft

41 Lösungen: SRT Limit ˆ Massendichten: Newtonsches Gravitationsgesetz (statisches Feld) ˆ Massenströme: gravitomagnetisches Feld + Lorentzkraft ˆ Quadrupolverteilung Gravitationswellen

42 Lösungen: SRT Limit ˆ Massendichten: Newtonsches Gravitationsgesetz (statisches Feld) ˆ Massenströme: gravitomagnetisches Feld + Lorentzkraft ˆ Quadrupolverteilung Gravitationswellen ˆ Lichtablenkung, Gravitationslinseneffekt

43 ˆ Gravitationslinseneffekt:

44 ˆ Gravitationslinseneffekt:

45 Exakte Lösung: Schwarzschildmetrik

46 Exakte Lösung: Schwarzschildmetrik ˆ Zeitunabhängige, kugelsymmetrische Vakuumlösung:

47 Exakte Lösung: Schwarzschildmetrik ˆ Zeitunabhängige, kugelsymmetrische Vakuumlösung: ˆ Keplerbahnen + Perihelshift

48 Exakte Lösung: Schwarzschildmetrik ˆ Zeitunabhängige, kugelsymmetrische Vakuumlösung: ˆ Keplerbahnen + Perihelshift ˆ statische schwarze Löcher:

49 Exakte Lösung: Schwarzschildmetrik ˆ Zeitunabhängige, kugelsymmetrische Vakuumlösung: ˆ Keplerbahnen + Perihelshift ˆ statische schwarze Löcher: ˆ Zentralmasse M hat Schwarzschildradius r s = 2GM c 2

50 Exakte Lösung: Schwarzschildmetrik ˆ Zeitunabhängige, kugelsymmetrische Vakuumlösung: ˆ Keplerbahnen + Perihelshift ˆ statische schwarze Löcher: ˆ Zentralmasse M hat Schwarzschildradius r s = 2GM c 2 ˆ Beim Unterschreiten: Schwarzes Loch mit Ereignishorizont

51 Weitere exakte Lösungen

52 Weitere exakte Lösungen ˆ Kerr-Newman-Metrik: geladene, rotierende schwarze Löcher

53 Weitere exakte Lösungen ˆ Kerr-Newman-Metrik: geladene, rotierende schwarze Löcher ˆ Robertson-Walker-Metrik: Homogene, isotrope Friedmann-Expansion

54 Weitere exakte Lösungen ˆ Kerr-Newman-Metrik: geladene, rotierende schwarze Löcher ˆ Robertson-Walker-Metrik: Homogene, isotrope Friedmann-Expansion ˆ...

55 Fragen

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