Bogenmaß, Trigonometrie und Vektoren

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2 20 1 Einführung Bogenmaß: Bogenmaß, Trigonometrie und Vektoren Winkel können in Grad ( ) oder im Bogenmaß (Einheit: 1 Radiant, Abkürzung 1 rad) angegeben werden. Dabei gilt 2 rad 360. Die Einheit 1 rad wird auch oft weggelassen. Rechnet man mit dem Taschenrechner mit den trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, ) von Winkeln im Bogemaß, so muss unbedingt von DEG auf RAD umgestellt werden! Umrechnung zwischen und rad: in rad in bzw. in in rad. Beispiel: a) Ein Winkel von 60 entspricht also 60 rad im Bogenmaß. Wie oben bereits angegeben, wird statt rad oft einfach geschrieben. b) Der Winkel entspricht 165. c) Oft muss man sinnvoll runden, z.b. entspricht ein Winkel von 211 gerundet 211 3,68 rad. Einige trigonometrische Beziehungen: Abbildung 1.1: Rechtwinkliges Dreieck zur Definition von sin, cos und tan. Am rechtwinkligen Dreieck (vgl. dazu Abbildung 1.1) definiert man Sinus, Kosinus und Tangens wie folgt: uvk-lucius.de

3 1.7 Ein paar mathematische Grundlagen 21 sin tan, cos, sowie. Abbildung 1.2: Dreieck zur Illustration des Sinus- und des Kosinussatzes. Im allgemeinen Dreieck (vgl. dazu Abbildung 1.2) gelten und (Sinussatz) 2 cos (Kosinussatz). Der Kosinussatz ist auch sinngemäß auf die Winkel und übertragbar. Die Umkehrfunktionen von Sinus, Kosinus und Tangens heißen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens, kurz arcsin, arccos und arctan. Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Gleichungen a) sin 1 sowie b) tan 2,00 2 mit a) arcsin 30 b) arctan 2,00 63,4. Wir berechnen probehalber beide Winkel auch im Bogenmaß. Es ergibt sich dann a) arcsin b) arctan 2,00 1,11. uvk-lucius.de

4 22 1 Einführung Trigonometrischer Pythagoras: Für alle Winkel gilt die Beziehung sin cos 1. Übrigens schreibt man statt sin verkürzt sin. Vektoren: Abbildung 1.3: Zum Vektorbegriff. Vektoren haben einen Betrag und eine Richtung und sofern es sich um physikalische Größen handelt eine Einheit. Man kann daher einen Vektor durch einen Pfeil darstellen (vgl. Abbildung 1.3), dessen Länge ein Maß für den Betrag ist und dessen Richtung durch die Gerade bestimmt ist, entlang derer der Vektor ausgerichtet ist. Oft wird zusätzlich der Begriff der Orientierung verwendet. Durch die Pfeilspitze ist die Orientierung festgelegt. Sprechen wir vom Betrag des Vektors, so schreiben wir, oder kurz. Vektoren können als freie, linienflüchtige oder gebundene Vektoren auftreten. Freie Vektoren können beliebig zu sich selbst parallel verschoben werden, sie spielen in diesem Vorkurs aber keine bedeutende Rolle. Wichtiger sind hier die linienflüchtigen Vektoren, die längs ihrer Wirklinie verschoben werden können. Kräfte sind hier das wichtigste Beispiel, vgl. Abschnitt 2.3. Gebundene Vektoren sind z.b. Ortsvektoren. Der Ortsvektor eines Punkts ist der Pfeil, der vom Ursprung eines Koordinatensystems zu diesem Punkt zeigt. Zum Umgang mit Vektoren, wie wir ihn in diesem Vorkurs benötigen, siehe Abschnitt 2.3. Wir kommen hier mit wenigen Eigenschaften und Rechengesetzen aus. Eine ausführlichere Darstellung findet sich jedoch in [2] bzw. aus mathematischer Sicht in [3]. uvk-lucius.de

5 1.7 Ein paar mathematische Grundlagen 23 Differentialrechnung Wir beschränken uns an dieser Stelle auf die Wiederholung elementarer Ableitungsregeln und verweisen ansonsten auf [3]. Elementare Ableitungsregeln: Summen- und Faktorregel: Gegeben seien zwei beliebige Funktionen und, deren erste Ableitungen existieren. Die zugehörigen ersten Ableitungen bezeichnen wir mit und. Möchte man dann die zusammengesetzte Funktion ableiten, so gilt ( und sind hier beliebige, aber konstante Zahlen). Produktregel: Gegeben seien zwei beliebige Funktionen und, deren erste Ableitungen existieren. Möchte man dann die zusammengesetzte Funktion ableiten, so gilt. Kettenregel: Gegeben seien zwei beliebige Funktionen und, deren erste Ableitungen existieren. Möchte man dann die verkettete Funktion ableiten, so gilt. Schreibweise in der Physik bei zeitlichen Ableitungen: In der Physik taucht häufig die Zeit als Variable auf. Tritt dann die erste Ableitung einer zeitabhängigen Funktion auf, so schreibt man in der Physik für diese meistens (anstatt ). Beispiele: Wir bestimmen die folgenden ersten Ableitungen: a) 3 sinx, also 3 cosx (unter der Anwendung der Summen- und Faktorregel) b) cosx, also cos (unter Anwendung der Produktregel) c) 5 cos2, also 5 sin sin2 (unter Anwendung der Kettenregel). uvk-lucius.de

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