Eigenschaften von LPs

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1 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Eigenschaften von LPs Definition 24 Eine Menge K IR n heißt konvex gdw für je zwei Punkte Punkte x (1) K und x (2) K auch jeder Punkt mit 0 λ 1 zu K gehört y = λx (1) + (1 λ)x (2) Die konvexe Hülle H einer Menge K IR n ist die kleinste konvexe Menge, die K enthält Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 40

2 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs konvexe Menge nicht konvexe Menge Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 41

3 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Definition 25 Es seien x (1),,x (r) Punkte des IR n und λ 1,,λ r seien nichtnegative relle Zahlen mit r i=1 λ i = 1 Dann heißt x = r i=1 λ ix (i) Konvexkombination von x (1),,x (r) Gilt sogar λ i > 0(i = 1,,r), so heißt x echte Konvexkombination von x (1),,x (r) Die Menge aller Konvexkombinationen endlich vieler Punkte x (1),,x (r) des IR n heißt (durch diese Punkte aufgespanntes) konvexes Polyeder Bemerkung: Das durch r Punkte aufgespannte konvexe Polyeder ist identisch mit der konvexen Hülle der aus diesen Punkten bestehenden Menge Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 42

4 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Definition 26 y heißt Ecke von K, wenn sich y nicht als echte Konvexkombination zweier verschiedener Punkte x (1) und x (2) von K darstellen lässt Bemerkung: Ein konvexes Polyeder enthält endlich viele Ecken Satz 21 Es gilt: Die Menge der hinsichtlich jeder einzelnen Nebenbedingung zulässigen Lösungen ist konvex Die Menge X der zulässigen Lösungen eines LP ist konvex Die Menge X der optimalen Lösungen eines LP ist konvex Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 4

5 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Satz 22 Die Menge X der zulässigen Lösungen hat endlich viele Ecken Ist X ein konvexes Polyeder, so nimmt die Zielfunktion ihr Optimum in mindestens einer Ecke von X an Ist X unbeschränkt, aber F(x) auf X (nach oben) beschränkt, so nimmt die Zielfunktion ihr Optimum in mindestens einer Ecke von X an Ist X unbeschränkt und F(x) auf X unbeschränkt, so hat das LP keine Lösung Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 44

6 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Definition 27 Gegeben sei ein LP in der Normalform mit m als Rang der (m n) Matrix A x IR n heißt Basislösung gdw n m Komponenten x i gleich Null und die zu den restlichen Variablen gehörenden Spaltenvektoren a j linear unabhängig sind Eine Basislösung, die zulässig ist, heißt zulässige Basislösung Die m linear unabhängigen Spaltenvektoren a j einer (zulässigen) Basislösung heißen Basisvektoren, die zugehörigen Variablen x j Basisvariablen (BV) Alle übrigen Spaltenvektoren heißen Nichtbasisvektoren, die zugehörigen Variablen Nichtbasisvariablen (NBV) Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 45

7 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Die Menge aller Basisvariablen x j einer Basislösung bezeichnet man als Basis Satz 2 x ist genau dann eine zulässige Basislösung eines LP, wenn x ist Ecke von X ist Beispiel 24 Wir greifen das Beispiel mit dem Eisverkäufer (Beispiel 21 bzw 22) wieder auf Maximiere z = 0x x x 1 x 2 x x 4 x 5 = x 1,,x 5 0 Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 46

8 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Die redundante Nebenbedingung x 1 6 wurde weggelassen Man erhält ( 5 ) = 10 Systeme von Spalten der Matrix A: Für die Ecke 0 wird der maximale Zielfunktionswert angenommen 0 7 Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 47

9 2 Lineare Programmierung Eigenschaften von LPs Bemerkung: Wenn m der Rang von A ist, sind im Normalfall genau m Koordinaten einer Ecke positiv, die übrigen Null Definition 28 Es sei m der Rang von A Eine Ecke heißt entartet (degeneriert) gdw weniger als m Koordinaten positiv sind Bemerkung: Bei entarteten Ecken ist das System der linear unabhängigen Spalten von A nicht eindeutig bestimmt Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 48

10 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Der Simplex-Algorithmus Standardverfahren zur Lösung von LPs, von G B Dantzig entwickelt Grundidee: Versuche ausgehend von einer Startecke mit einer Ausgangsbasis durch Basisaustausch zu einer Ecke mit besserem Zielfunktionswert fortzuschreiten Da es nur endlich viele Ecken gibt, erhält man nach endlich vielen Schritten die optimale Lösung Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 49

11 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Beispiel 25 Wir bleiben beim Problem des Eisverkäufers und ordnen die Daten in einem Tableau an: x 1 x 2 x x 4 x 5 b i x x x z Die Strukturvariablen x 1,x 2 sind NBV, die Schlupfvariablen x, x 4, x 5 sind BV Die Werte der BV ergeben sich aus den Nebenbedingungsgleichungen, die durch die Zeilen des Tableaus repräsentiert werden Letzte Zeile ist Zielfunktionszeile, Zielfunktionswert ganz rechts Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 50

12 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Basisaustausch: x 1 verspricht den größeren Zuwachs, x 1 -Spalte ist die Pivotspalte x 1 kann höchstens den Wert 0/5 = 6 annehmen, x 4 wird dann Null x 4 -Zeile ist die Pivotzeile Pivotspalte und Pivotzeile schneiden sich im Pivotelement, hier a 21 = 5 Die Pivotzeile entspricht der Gleichung 5x 1 + 2x 2 + x 4 = 0 Somit x 1 = x x 4 Dies setzen wir in alle übrigen Gleichungen ein Für die erste Zeile erhalten wir ( x x 4) +x2 +x = 10 Dies ergibt 5 x 2 + x 1 5 x 4 = 4 Die Pivotzeile wird zu x x x 4 = 6 Die dritte Zeile bleibt unverändert, da x 1 dort nicht auftritt Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 51

13 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Die Zielfunktionszeile wird zu 0(6 2 5 x x 4) 25x 2 + z = 0, also 1x 2 + 6x 4 + z = 180 Das neue Tableau: x 1 x 2 x x 4 x 5 b i x x x z Man dividiert also die Pivotzeile durch den Pivotwert Zu den übrigen Zeilen addiert man ein Vielfaches der Pivotzeile, so daß in der Pivotspalte Nullen entstehen Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 52

14 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Durch Vertauschen der Spalten für x 1 und x 4 bringt man das Tableau wieder in die übliche Form: x 4 x 2 x x 1 x 5 b i x x x z Die zugehörige Ecke ist Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 5

15 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Der nächste Austauschschritt liefert das Tableau: Das heißt in der Ecke wird das Optimum mit z = 800 angenommen x 4 x 2 x x 1 x 5 b i x x x z Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 54

16 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Algorithmus 21 [Simplexalgorithmus] Start: Es liege ein kanonisches Maximumproblem (b i 0, i = 1,,m) vor Ecke des Ausgangstableaus ist: x 1 x n m x n m+1 x n = 0 0 b 1 b m mit z = 0 Schlupfvariablen sind BV, Strukturvariablen sind NBV Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 55

17 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Ausgangstableau: x 1 x t x n m x n m+1 x n m+s x n b i x n m+1 a 11 a 1t a 1,n m b 1 x n m+s a s1 a s,n m b s x n a m1 a mt a m,n m b m z c 1 c t c n m Wahl der Pivotspalte: Ist die Zielfunktionszeile von der Gestalt z d 1 d t d n m 0 0 d mit d j 0, (j = 1,,n m), so liegt eine Optimallösung vor Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 56

18 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Andernfalls mache man eine Spalte t mit negativem d j zur Pivotspalte und die NBV x t zur BV Wahl der Pivotzeile: Sind in der Pivotspalte alle a it 0, so wächst z unbeschränkt, da x t unbeschränkt wachsen kann Es gibt dann keine Optimallösung Andernfalls bestimme man eine Zeile s durch b s = min m i=1 b i a it für a it > 0 Die NBV x t wird BV und bekommt den Wert b s Die bisherige BV x n m+s wird BV und nimmt den Wert 0 an Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 57

19 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Austauschschritt: Das neue Tableau lautet: Linke Hälfte: x 1 x t x n m a 11 a 1t a s1 0 a 1,n m a 1t a s,n m a s1 a 1 s,n m a m1 a mt a s1 0 a m,n m a mt a s,n m z d 1 d t a s1 0 d n m d t a s,n m x n m+1 x t x n Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 58

20 2 Lineare Programmierung Simplex-Algorithmus Rechte Hälfte: x n m+1 x n m+s x n b i 1 a 1t 0 b 1 b s a 1t 1 b 0 0 s 0 a mt 1 b m b s a mt 0 d t 0 d b s d t Terminierung: Wenn alle Koeffizienten der Zielfunktionszeile nichtnegative Werte haben, beschreibt das Tableau eine optimale Ecke Rechts unten steht z max Operations Research FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 08/09 59